
\begin{enumerate}
\item $f'(x)=\dfrac{1}{x}-1$.

Or, pour $x\geqslant1$, $0<\dfrac{1}{x}\leqslant1$, et donc $f'(x)\leqslant0$.

La fonction $f$ est donc décroissante sur \intervFO{1}{+\infty}.

\item $f(1)=-1$, donc $f(x)<0$ sur \intervFO{1}{+\infty}. Donc $\ln(x)<x$ sur cet intervalle.

\medskip

De plus, on sait que pour $x\geqslant1$, $\ln(x)\geqslant0$.

\medskip

On en déduit alors que sur \intervFO{1}{+\infty}, $0\leqslant\ln(x)<x$.


\item Posons $x=\sqrt{u}$, $u\geqslant1$.

Alors, de ce qui précède, on déduit que \[
0\leqslant\ln\big(\sqrt{u}\big)<\sqrt{u}.
\]
Ainsi, en divisant par $u$, on a :
\[
0\leqslant\dfrac{\ln\big(\sqrt{u}\big)}{u}<\dfrac{\sqrt{u}}{u},\]
on encore :
\[
0\leqslant\dfrac{\frac{1}{2}\ln(u)}{u}<\dfrac{1}{\sqrt{u}}.
\]
Que l'on mette $u$ ou $x$ importe peu. Ainsi,
\[
\forall x\in\intervFO{1}{+\infty},\ 0\leqslant\dfrac{\ln(x)}{2x}<\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
\]

\item $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)}=0$ donc, d'après le théorème des gendarmes, $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{\ln x}{2x}\right)}=0$.

Multiplier l'expression par $\dfrac{1}{2}$  ne change pas la limite, donc $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)}=0$.
\end{enumerate}
