
\begin{enumerate}
\item $f'(x)=-\sin(x)+x$ et $f''(x)=-\cos(x)+1$.

\item On sait que pour tout réel $x$,
\[
-1 \leqslant -\cos(x) \leqslant 1
\]
donc, en ajoutant 1 à chaque membre de cet encadrement, on a :
\[
0 \leqslant f''(x) \leqslant2.
\]
\underline{Donc $f''(x)\geqslant0$ sur \R, ce qui signifie que $f'$ est croissante sur \R.}


\item $f'(0)=-\sin0+0=0$. Or, $f'$ est croissante sur \R donc :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=corrigenumbg!20,colorV=corrigenumbg!20,colorL=corrigenumbg!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{$-\infty$,0,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/0,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
$f(0)=\cos0-1+\dfrac{1}{2}\times0^2=1-1+0=0$.

\item Des variations de $f$, on déduit que $f(x)\geqslant0$ sur \R, dont :
\[
\cos(x)-1+\dfrac{1}{2}x^2 \geqslant0
\]
soit :
\[
\boxed{\cos(x) \geqslant 1-\dfrac{1}{2}x^2}
\]

\item Considérons la fonction $g(x)=\cos(x)-1+\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{24}x^4$.

Alors, $g'(x)=-\sin(x)+x-\dfrac{1}{6}x^3$ et $g''(x)=-\cos(x)+1-\dfrac{1}{2}x^2=-f(x)$.

Ainsi, pour tout réel $x$, $g''(x)\leqslant0$, ce qui signifie que $g'$ est décroissante sur \R.

$g'(0)=-\sin 0+0=0$ d'où :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=corrigenumbg!20,colorV=corrigenumbg!20,colorL=corrigenumbg!20]{$x$/0.75,$g'(x)$/0.5,$g(x)$/1}{$-\infty$,0,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/,+/0,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}

\end{tikzpicture}
\end{center}
Par conséquent, $g(x)\leqslant0$ sur \R, ce qui signifie que :
\[
\cos(x) \leqslant 1-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{24}x^4.
\]
\item De ce qui vient d'être fait, on peut écrire :
\[
\forall x\in\R,\quad 1-\dfrac{x^2}{2} \leqslant \cos(x) \leqslant 1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}.
\]
En prenant $x=\dfrac{\pi}{50}$, cela donne :
\[
1-\dfrac{\pi^2}{\numprint{5000}} \leqslant \cos\dfrac{\pi}{50} \leqslant 1-\dfrac{\pi^2}{\numprint{5000}}+\dfrac{\pi^4}{\numprint{150000000}}.
\]
Puisque $\dfrac{\pi^4}{\numprint{150000000}}<10^{-6}$, on peut alors considérer qu'une valeur approchée de $\cos\dfrac{\pi}{50}$ à $10^{-6}$ près est $1-\dfrac{\pi^2}{\numprint{5000}}$
\end{enumerate}
