
\begin{itemize}
\item L'équation homogène associée $(E_0):y'-5y=0$ admet pour solutions:
\[
y_0(x)=C\e^{5x},\quad C\in\R.
\]
\item On cherche une solution particulière de (E) de la forme $u(x)=ax+b$ (car le second membre de (E) est une fonction affine). Ainsi,
\begin{align*}
u'(x)-5u(x)=x & \iff a-5(ax+b)=x\\
& \iff (-5a-1)x + (a-5b) = 0
& \iff \begin{cases}
-5a-1 &= 0\\
a-5b=0=0
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
a = -\frac{1}{5}\\
b = -\frac{1}{25}
\end{cases}
\end{align*}
Par conséquent, $u(x)=-\dfrac{1}{5}x - \dfrac{1}{25}$ est une solution particulière de (E).

\item On en déduit alors que les solutions de (E) sont:
\[
\boxed{ y(x)=-\dfrac{1}{5}x - \dfrac{1}{25}+C\e^{5x},\quad C\in\R }
\]
\end{itemize}
