
\begin{enumerate}
\item D'après le cours, $(E_0)$ a pour solutions les fonctions:
\vspace*{-0.7em}
\[
\boxed{ y_0(x) = C\e^{2x}\quad,\quad C\in\R }
\]

\vspace*{-0.5em}
\item $\begin{aligned}[t]
& f(x)=ax^2+bx+c \text{ est une solution particulière de (E)}\\
\iff\ & \forall x\in\R,\ f'(x) - 2f(x) = x^2\\
\iff\ & \forall x\in\R,\ (2ax+b) - 2(ax^2+bx+c) = x^2\\
\iff\ & \forall x\in\R,\ -2ax^2 + (2a-2b)x + (b-2c) = x^2\\
\iff\ & \begin{cases}
-2a=1\\
2a-2b=0\\
b-2c=0
\end{cases} \iff  a=-\frac{1}{2},\quad b=a = -\frac{1}{2},\quad c=\frac{1}{2}b=-\frac{1}{4}
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi, $\boxed{ f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} }$ est une solution particulière de $\rm (E)$

\item D'après le cours, les solutions de (E) sont les fonctions:
\[
\boxed{ y(x) = f(x) + y_0(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} + C\e^{2x},\quad C\in\R}
\]
\end{enumerate}
