
\begin{enumerate}
\item D'après le cours, $(E_0)$ a pour solutions :
\[
\boxed{ y_0(x)=C\e^{2x}\quad,\quad C\in\R}
\]

\item
\begin{enumerate}
\item $f(x)=a\cos(x) + b\sin(x) \Rightarrow f'(x)=-a\sin(x) + b\cos(x)$.
\begin{align*}
f\text{ solution de (E)} & \iff f'(x) - 2f(x) = 7\sin(x)\\
& \iff -a\sin(x) + b\cos(x) - 2(a\cos(x) + b\sin(x)) = 7\sin(x)\\
& \iff (-2a+b)\cos(x) + (-a-2b-7)\sin(x) = 0\\
& \iff
\begin{cases}
-2a+b=0\\
-a-2b=7
\end{cases}\\
&
\iff
\begin{cases}
b = 2a\\
-a-2(2a)=7
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
b=2a\\
a = -\dfrac{7}{5}
\end{cases}
\end{align*}

\begin{align*}
f\text{ solution de (E)}& \iff \begin{cases}
b=-\dfrac{14}{5}\\[8pt]
a = -\dfrac{7}{5}
\end{cases}
\end{align*}
Ainsi,
\[
\boxed{f(x)=-\dfrac{7}{5}\cos(x) - \dfrac{14}{5}\sin(x)\text{ est une solution particulière de (E).}}
\]

\item On déduit de ce qui précède que l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions :
\[
\boxed{y(x)=-\dfrac{14}{5}\cos(x) - \dfrac{7}{5}\sin(x) + C\e^{2x},\ C\in\R}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
