
\begin{enumerate}
\item $f(x)=5(3x+1)^3$.

\medskip

On pose $u=3x+1$. Alors, $u'=3$. Ainsi, nous pouvons écrire:
\[
f(x)=5 \times \dfrac{1}{3}u' \times u^3 = \dfrac{5}{3}u'\times u^3.
\]
Une primitive de $u' \times u^{n}$ est $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ donc une primitive de $f$ est:
\[
F(x)=\dfrac{5}{3}\times\dfrac{(3x+1)^4}{4}\text{ soit } \boxed{F(x)=\dfrac{5}{12}(3x+1)^4}.
\]

\item $f(x)=\dfrac{5}{7\sqrt{2x+1}}$.

\medskip

Posons $u=2x+1$. Alors, $u'=2$ et:
\[
f(x)=\dfrac{5 \times \tfrac{1}{2}u'}{7\sqrt{u}} = \dfrac{5}{7}\times\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}.
\]
Une primitive de $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ est $\sqrt{u}$. Une primitive de $f$ est donc:
\[
\boxed{F(x)=\dfrac{5}{7}\sqrt{u}}.
\]


\item $f(x)=\dfrac{-5}{4(3x+1)^3}$.

\medskip

Posons $u=3x+1$. Alors, $u'=3$ et:
\[
f(x)=\dfrac{-5 \times \tfrac{1}{3}u'}{4u^3} = -\dfrac{5}{12} \times \dfrac{u'}{u^3}.
\]
Une primitive de $\dfrac{u'}{u^3}=u' \times u^{-3}$ est $\dfrac{u^{-2}}{-2}$ donc une primitive de $f$ est:
\[
F(x)=-\dfrac{5}{12}\times\dfrac{(3x+1)^{-2}}{-2} = \dfrac{5}{24}\times\dfrac{1}{(3x+1)^2}\text{ soit }\boxed{F(x)=\dfrac{5}{24(3x+1)^2}}.
\]

\item $f(x)=\dfrac{7}{3x+1}$ .

Posons $u=3x+1$. Alors, $u'=3$ et:
\[
f(x)=\dfrac{7 \times \tfrac{1}{3}u'}{u} = \dfrac{7}{3}\times\dfrac{u'}{u}.
\]
Une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ est $\ln(u)$ (pour $u>0$) donc  une primitive de $f$ est:
\[
\boxed{F(x)=\dfrac{7}{3}\ln(3x+1)}
\]
\end{enumerate}
