
\begin{enumerate}
\item Sur \intervFF{1}{\e}, $\ln(x)\geqslant0$ donc $(\ln(x))^n\geqslant0$ pour tout entier naturel $n$.

Ainsi, $\boxed{I_n=\dint_1^\e (\ln(x))^n\dx \geqslant 0}$.

\item $\begin{aligned}[t]
I_{n+1}-I_n & = \int_1^\e (\ln(x))^{n+1}\dx - \int_1^\e (\ln(x))^n\dx\\
& = \int_1^\e \big[ (\ln(x))^{n+1} - (\ln(x))^n \big]\dx\quad\text{par linéarité de l'intégrale}\\
& = \int_1^\e (\ln(x))^n(\ln(x)-1)\dx\;.
\end{aligned}$

Or, $\begin{aligned}[t]
1 \leqslant x \leqslant \e
& \iff \ln(1) \leqslant \ln(x) \leqslant \ln(\e)\\
& \iff 0 \leqslant \ln(x) \leqslant 1\\
& \iff -1 \leqslant \ln(x)-1 \leqslant 0
\end{aligned}$

Ainsi, sur \intervFF{1}{\e}, $(\ln(x))^n(\ln(x)-1)\leqslant0$ (car $(\ln(x))^n\geqslant0$ sur cet intervalle), et donc $I_{n+1}-I_n\leqslant0$.

\medskip

La suite \suite{I}{n}{} est donc décroissante.

\item Posons $u'(x)=\dfrac{1}{x}(\ln(x))^n$ et $v(x)=x$. Alors, $I_n=\int_1^\e u'(x)v(x)\dx$ et par intégration par parties:
\[
I_n=f(\e)-f(1)-\int_1^\e u(x)v'(x)\dx\;,
\]
avec $u(x)=\dfrac{(\ln(x))^{n+1}}{n+1}$, $v'(x)=1$ et $f(x)=u(x)v(x)=\dfrac{1}{n+1}x(\ln(x))^{n+1}$.

Donc :
\begin{align*}
I_n & = \dfrac{1}{n+1}\times\e\times(\ln \e)^{n+1}-\dfrac{1}{n+1}\times1\times(\ln 1)^{n+1}-\int_1^\e \dfrac{1}{n+1}(\ln(x))^{n+1}\times1\dx\\
I_n& = \dfrac{\e}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}\int_1^\e (\ln(x))^{n+1}\dx\\
I_n& = \dfrac{\e}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}I_{n+1}
\end{align*}

Ainsi, en multipliant par $(n+1)$ chaque membre de cette dernière égalité, on obtient :
\[
\boxed{(n+1)I_n+I_{n+1}=\e}
\]

\item
\begin{enumerate}
\item La relation de récurrence de la question précédente donne :
\begin{itemize}
\item pour $n=0$ : $I_0+I_1=\e$;
\item pour $n=1$ : $2I_1+I_2=\e$.
\end{itemize}
Ainsi, $I_0+I_1=2I_1+I_2$, soit:
\[
\boxed{ I_0-I_1=I_2 }
\]

\item $\begin{aligned}[t]
I_0 & = \dint_1^\e (\ln(x))^0\dx\\
	& = \dint_1^\e 1\dx\\
	& = \big[x\big]_1^\e\\
\Aboxed{I_0&  = \e-1}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
L'(x) & = 1\times\ln(x) + x\times\dfrac{1}{x}-1\\
	  & = \ln(x)+1-1\\
\Aboxed{L'(x) & =\ln(x) }
\end{aligned}$

\medskip

Donc $L$ est bien une primitive de la fonction $\ln$. On en déduit alors :
\begin{align*}
I_1 & =\int_1^\e \ln(x)\dx\\
    & = L(\e)-L(1)\\
    & = \e\ln\e-\e-1\ln1+1\\
\Aboxed{I_1 & = 1}
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
I_2 & = I_0-I_1\\
    & = \e-1-1\\
\Aboxed{I_2 & = \e-2}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
