
Avant tout, représentons le domaine en question:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill = white, outer sep = 0pt] (img) {
\begin{tikzpicture}[>=latex,yscale=0.75]
\fill[courbe,opacity=0.25] (-1,1) plot[domain=-1:1.5] (\x,{\x*\x}) -- (-1,1);
\draw[->] (-2,0) -- (2,0) node[below left] {$t$};
\draw[->] (0,-0.5) -- (0,4.5) node[right] {$y$};
\draw[thick,courbe] plot[domain=-2:2,samples=100] (\x,{\x*\x});
\draw[dashed,courbe3] (-1,0) node[below] {$-1$} -- (-1,1) -- (0,1) node[right] {1};
\fill[courbe3] (-1,1) circle (2pt) node[below left] {A};
\fill[courbe3] (1.5,{9/4}) circle (2pt) node[below right] {M};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

M\coord{x}{x^2} et A\coord{-1}{1}. La droite (AM) a pour équation $y=mt+p$ où :
\[
m=\dfrac{y_M-y_A}{x_M-x_A}=\dfrac{x^2-1}{x+1}
\]
et donc :
\[
p=y_A-mx_A=1+\dfrac{x^2-1}{x+1}=\dfrac{x^2+x}{x+1}.
\]
Ainsi,
\[
\text{(AM)}\quad :\quad y=\dfrac{x^2-1}{x+1}t+\dfrac{x^2+x}{x+1}.
\]
L'aire du domaine coloré est alors :
\begin{align*}
\mathcal{A}(x) & = \dint_{-1}^x \left( \dfrac{x^2-1}{x+1}t+\dfrac{x^2+x}{x+1} - t^2\right)\dx[t]\\
& = \left[ -\dfrac{1}{3}t^3 +\dfrac{x^2-1}{2(x+1)}t^2+\dfrac{x^2+x}{x+1}t\right]_{-1}^x\\
& = \dfrac{1}{6}(x^3+3x^2+3x+1).
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
\mathcal{A}(x)=1 & \iff x^3+3x^2+3x-5=0.
\end{align*}
Posons :
\[
f(x)=x^3+3x^2+3x-5.
\]
Alors,
\[
f'(x)=3x^2+6x+3=3(x+1)^2\geqslant0.
\]
$f$ est donc croissante sur \R; comme $\limite{x}{-\infty}{f(x)}=-\infty$ et $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty$, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution sur $\R$ à l'équation $f(x)=0$.

\`A l'aide de la calculatrice (par exemple), on trouve : $x\approx0,817$.

\medskip

Ainsi, le domaine a une aire égale à 1 lorsque M a une abscisse d'à peu près 0,817.
