
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle \intervFO{0}{\dfrac{\pi}{2}},
\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{1}{1+\sin(x)}\\
     & = \dfrac{1}{1+\sin(x)}\textcolor{courbe}{\times\dfrac{1-\sin(x)}{1-\sin(x)}}\\
     & = \dfrac{1-\sin(x)}{1-\sin^2(x)}\\
     & = \dfrac{1-\sin(x)}{\cos^2(x)}\\
\Aboxed{f(x) & = \dfrac{1}{\cos^2(x)} - \dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)}.}
\end{align*}

\item
\begin{enumerate}
\item Soit $U(x) = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Alors,
\begin{align*}
G'(x) & = \dfrac{\big(\sin(x)\,\big)^\prime\cos(x) - \sin(x)\big(\cos(x)\, \big)^\prime}{\cos^2(x)}\\
& = \dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \dfrac{1}{\cos^2(x)}  = g(x).
\end{align*}

Ainsi, $U(x)$ est bien une primitive de $u(x)$.

\item Une primitive de $h:x \mapsto \dfrac{-\sin(x)}{\cos^2(x)}$ est $H:x\mapsto-\dfrac{1}{\cos(x)}$  car:
\[
h=\dfrac{u'}{u^2}\qquad\text{avec}\qquad u:x\mapsto\cos(x)\text{ et }u':x\mapsto-\sin(x).
\]
Ainsi, une primitive de $f$ sur $\intervFO{0}{\frac{\pi}{2}}$ est:
\[
F(x)=U(x)-\dfrac{1}{\cos(x)} = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}-\dfrac{1}{\cos(x)}
\]
soit:
\[
\boxed{F(x)=\dfrac{\sin(x)-1}{\cos(x)}}
\]
\end{enumerate}

\item D'après ce qui a été écrit précédemment,
\[
I(t) = F(t) - F(0) = \dfrac{\sin(t)-1}{\cos(t)}-\dfrac{\sin(0)-1}{\cos(0)}= \dfrac{\sin(t)-1}{\cos(t)}+1.
\]

\item Écrivons:
\begin{align*}
\dfrac{\sin(t)-1}{\cos(t)} & = \dfrac{\sin(t)-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\cos(t)-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}\\
& =  \dfrac{\sin(t)-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{t-\frac{\pi}{2}} \times \dfrac{t-\frac{\pi}{2}}{\cos(t)-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}.
\end{align*}
Par définition du nombre dérivé,
\[
\limite{t}{\frac{\pi}{2}}{\left( \dfrac{\sin(t)-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{t-\frac{\pi}{2}} \right)} = \cos\frac{\pi}{2}=0
\]

\[
\limite{x}{\frac{\pi}{2}}{\left( \dfrac{\cos(t)-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}{t-\frac{\pi}{2}} \right) }=-\sin\frac{\pi}{2}=-1\text{ donc }\limite{x}{\frac{\pi}{2}}{\left( \dfrac{t-\frac{\pi}{2}}{\cos(t)-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)} \right)}=-1.
\]
Ainsi, par produit,
\[
\limite{t}{\frac{\pi}{2}}{\left( \dfrac{\sin(t)-1}{\cos(t)} \right)} = 0 \times (-1) = 0.
\]
On en déduit alors que:
\[
\boxed{I = 1}
\]
\end{enumerate}
