
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\left(x^{2}+3 x+2\right) \e^{-x} = \dfrac{x^2}{\e^x}+3 \dfrac{x}{\e^x} + \dfrac{2}{\e^x}$.

$\limite{x}{+\infty}{\big(\e^x\big)}= +\infty$ donc, par inverse, $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{\e^x}\right)}=0$.

De plus, on sait d'après le cours (croissances comparées) que $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{x^n}{\e^x}\right)}= 0$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
		
Ainsi, par produit et par somme,
\[
\boxed{ \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \dfrac{x^2}{\e^x}+3 \dfrac{x}{\e^x} + \dfrac{2}{\e^x} \right) = 0}
\]

\item
\begin{enumerate}
\item $f = u \times v$ avec $\begin{aligned}[t]
u(x) = x^2+3x+2 & \qquad; \qquad u'(x) = 2x+3\\
v(x) = \e^{-x} & \qquad;\qquad v'(x) = -\e^{-x}
\end{aligned}$

Donc, pour tout nombre réel $x$,
\begin{align*}
f'(x) & = (u'v + v'u)(x)\\
	  &  = \left(2x+3\right) \e^{-x} + \left(x^2+3x+2\right)\left(-\e^{-x}\right)\\
	  & = \left( 2x+3-x^2-3x-2\right)\e^{-x}\\
\Aboxed{f'(x) & = \left(-x^2-x+1\right)\e^{-x}}
\end{align*}

\item $\e^{-x}>0$ sur $\R$ donc $f'(x)$ est du signe du polynôme du second degré $-x^2-x+1$, dont le discriminant est:
\[
\Delta=(-1)^2-4 \times (-1)\times 1= 1+4=5 > 0.
\]
Le polynôme admet donc deux racines :
\[
x_1= \dfrac{1+\sqrt{5}}{-2}= \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}  \quad \text{et} \quad x_2= \dfrac{1-\sqrt{5}}{-2}= \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}.
\]
Le coefficient dominant est négatif; on en déduit donc :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10,colorL=corrigenumbg!10]{$x$/0.7,
signe de $f'(x)$/1,
variations de $f$/2}{$-\infty$,$x_1$,$x_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}
\tkzTabVar{+/$+\infty$,-/$f(x_1)$,+/$f(x_2)$,-/$0$}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\item $0\in\intervOO{x_1}{x_2}$ et $f(x)=2$ donc d'après les variations de la fonction $f$, $f(x)>0$ (en effet, elle est croissante à partir de $x=0$ puis décroissante de limite 0).

\item La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $\intervOF{0}{+\infty}$, et donc sur $\intervFF{0}{\alpha}$.

L'aire $\mathcal{A}(\alpha)$, exprimée en unité d'aire, du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=\alpha$ est donc égale à $\dint_0^{\alpha}f(x)\dx$.

\begin{align*}
\mathcal{A}(\alpha) & = \dint_0^{\alpha}f(x) \dx \\
	 				& = \Big[ F(x) \Big]_0^{\alpha}\\
	 				& = F(\alpha)-F(0)\\
	 				& = \left( -\alpha^2-5\alpha-7\right)\e^{-\alpha}+ 7.
\end{align*}

L'aire cherchée est égale à $ \left( -\alpha^2-5\alpha-7\right)\e^{-\alpha}+7$ unités d'aire.

\end{enumerate}
