
\bigskip

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $f_n = u \times v$ avec : $\begin{aligned}[t]
u(x) = x^n & \qquad ;\qquad v(x) = \e^{-x}\\
u'(x) = nx^{n-1} & \qquad;\qquad v'(x) = -\e^{-x}
\end{aligned}$

Ainsi, sur \intervFO{0}{+\infty}:
\begin{align*}
f_n'(x) & = (u'v + v'u)(x)\\
		& = nx^{n-1} \times \e^{-x} + x^{n} \times \big(-\e^{-x}\big) = \big(nx^{n-1} - x^{n}\big)\e^{-x} \\
		& = \big(n \times x^{n-1} - x \times x^{n-1}\big)\e^{-x}\\
\Aboxed{f_n'(x) & = \big(n - x\big)x^{n-1}\e^{-x}}
\end{align*}

\item La fonction exponentielle est à valeurs strictement positives sur $\R$, donc:
\[
\forall x \in \intervFO{0}{+\infty},\quad \e^{-x} > 0.
\]
Sur \intervFO{0}{+\infty}, $x^{n-1} \geqslant 0$.

Ainsi, $f_n'(x)$ est du signe de $(n- x)$.

\[
n - x > 0\iff n > x,
\]
donc $f_n'(x) > 0$ sur $\intervFO{0}{n}$, et donc, sur cet intervalle, $f_n$ est strictement croissante. Il en découle que $f_n$ est strictement décroissante sur \intervOO{n}{+\infty}.

De plus,
\begin{itemize}
\item $f_n(0) = 0^{n} \times \e^{-0} = 0$.
\item $f_n(n) = n^n \times \e^{-n} = n^n \times \dfrac{1}{\e^n} = \left(\dfrac{n}{\e}\right)^n$.
\item $f_n(x)=\dfrac{x^n}{\e^x}$ et, d'après le cours (croissances comparées), $\limite{x}{+\infty}{\left( \dfrac{x^n}{\e^x} \right)} = 0$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
\end{itemize}

\end{enumerate}

\item Pour $n$ entier naturel non nul,
\[
f_n(1) = 1^{n}\times \e^{-1} = 1\times \e^{-1} = \e^{-1}.
\]
Le point de coordonnées \coord{1}{\e^{-1}} appartient donc à la courbe $\mathcal{C}_n$.
\end{enumerate}

\newpage

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item La fonction $f_0$ est à valeurs positives sur $[0 ; 1]$, donc $I_0$ correspond à l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface délimitée par la courbe $\mathcal{C}_0$, l'axe des abscisses, et les deux droites verticales d'équation $x = 0$ et $x = 1$.

\item $I_n$ représente l'aire de la surface délimitée par $\mathcal{C}_n$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$. Cette surface semble décroître à mesure que $n$ augmente jusqu'à disparaître.

On conjecture alors que la limite de $I_n$ est nulle.
\end{enumerate}

\item $\begin{aligned}[t]
I_0 & = \dint_{0}^{1} \e^{-x} \dx\\
    & = \Big[-\e^{-x}\Big]_0^1\\
	& = \big(-\e^{-1}\big) - \big(-\e^{-0}\big)\\
	& = -\e^{-1} + \e^{0}\\
\Aboxed{I_0 & = 1 - \e^{-1} }
\end{aligned}$

\item
\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel.
\begin{align*}
x \in \intervFF{0}{1} & \iff 0 \leqslant x \leqslant 1\\
					  & \iff 0\times x^n \leqslant x \times x^n \leqslant 1 \times x^n,\quad \text{ car } x^n \geqslant 0\\
					  & \iff \boxed{ 0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n }
\end{align*}

\item D'après ce qui précède,
\begin{align*}
n\in\N,\ x \in \intervFF{0}{1}  & \iff 0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n\\
								& \iff 0 \leqslant x^{n+1} \e^{-x} \leqslant x^n \e^{-x}\qquad\text{ car }\e^{-x}>0\\
								& \iff 0 \leqslant f_{n+1}(x) \leqslant f_n(x)\\
								& \iff \dint_{0}^{1} 0 \dx \leqslant \dint_{0}^{1} f_{n+1}(x) \dx \leqslant \dint_{0}^{1}f_n(x) \dx \\
								& \iff \boxed{ 0 \leqslant I_{n+1} \leqslant I_n }
\end{align*}
\end{enumerate}

\item D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$:
\begin{itemize}
\item $0 \leqslant I_n$, donc la suite $(I_n)$ est minorée par 0;
\item $I_{n+1} \leqslant I_n$,  donc la suite $(I_n)$ est décroissante.
\end{itemize}

La suite est donc décroissante et minorée (par 0). D'après le théorème de convergence des suites monotones, elle est donc convergente, vers une limite $\ell$ supérieure ou égale à 0.

\item Soit $n$ un entier naturel $n$.

On pose : $\begin{aligned}[t]
u(x) = x^{n+1} & \qquad;\qquad u'(x) = (n+1) x^{n}\\
v(x) = -\e^{-x}& \qquad;\qquad v'(x) = \e^{-x}
\end{aligned}$

\medskip

Alors, par intégration par parties,

\begin{align*}
I_{n+1} & = \int_{0}^{1} u(x)\times v'(x) \dx \\
		& = \Big[u(x) \times v(x) \Big]_0^1 - \int_{0}^{1} u'(x)\times v(x) \dx \\
		& = \Big[x^{n+1} \times \big(-\e^{-x}\big)\Big]_0^1 - \int_{0}^{1} (n+1)x^{n} \times \big(-\e^{-x}\big) \dx	\\
		& =\big(-1^{n+1}\times \e^{-1}\big) - \big(-0^{n+1}\times \e^{-0}\big) +(n+1)\int_{0}^{1} x^{n} \e^{-x} \dx \quad\text{ (par linéarité)}\\
\Aboxed{I_{n+1} & =(n+1)I_n - \dfrac{1}{\e}}
\end{align*}

\item
\begin{enumerate}
\item Supposons que la limite $\ell$ est strictement supérieure à zéro.

Alors, par limite du produit, on a:
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} (n+1)I_n = +\infty.
\]
Puis, par limite de la somme:
\[
\limite{n}{+\infty}{\left( (n+1)I_n - \dfrac{1}{\e} \right) } = +\infty.
\]
Or, $I_{n+1} =(n+1)I_n - \dfrac{1}{\e}$. On en déduit alors que:
\[
\limite{n}{+\infty}{(I_{n+1})} = +\infty,
\]
La suite $(I_n)$ est donc divergente de limite $+\infty$, ce qui est contradictoire avec le résultat trouvé précédemment (question 4) qui stipule que $(I_n)$ converge.

\medskip

\item Nous avons démontré (question 4) que la limite de $(I_n)$ est un nombre $\ell \geqslant 0$. Ensuite, nous avons supposé que $\ell \neq 0$ (questions 6.a.), ce qui nous menait à une contradiction.

Ce raisonnement (par l'absurde) montre alors que $\ell = 0$.
\end{enumerate}

\item Que fait \texttt{mystere(100)} ?

Quand on entre dans la fonction, on stocke dans la variable \texttt{I} la valeur de $I_0$, et on initialise la variable \texttt{L} comme une liste contenant $I_0$.

Ensuite, on exécute la boucle itérative  \og \texttt{for i in range(100)} \fg: la variable \texttt{i} va prendre les valeurs entières 0, 1, 2, ... jusqu'à $100-1=99$.

On va donc exécuter 100 fois les instructions contenues dans cette boucle:
\begin{itemize}
\item dans un premier temps, on calcule le terme suivant de la suite $(I_n)$. Lors de la première exécution ($i=0$), on a : \texttt{I = (0+1)*I - 1/e} qui signifie que le nouveau terme est égal à 1 fois l'ancien terme (celui déjà stocké dans \texttt{I}) auquel on enlève $\dfrac{1}{\e}$. Cela se traduit mathématiquement par: $I_1 = I_0 - \dfrac{1}{\e}$( relation de récurrence obtenue à la question 5);

\item on ajoute ensuite la valeur trouvée à la liste \texttt{L}. Ainsi, lors de la première exécution, \texttt{L} contient $I_0$ et $I_1$.
\end{itemize}
La dernière valeur de \texttt{i} étant \og 99 \fg, la dernière valeur de \texttt{I} sera $I_{100}$ (car pour $i=0$, on a calculé $I_1$, pour $i=1$, on calcule $I_2$, ...).

\medskip

L'appel de \texttt{mystère(100)} renvoie donc la liste des 101 premiers termes de la suite (de $I_0$ à $I_{100}$).

\begin{rem}
Si on a la curiosité de voir ce que fait réellement ce programme, on obtient:

\begin{console}
>>> mystere(20)
[0.6321205588285577, 0.26424111765711533, 0.16060279414278833, 0.11392894125692266,
 0.08783632385624829, 0.07130217810979911, 0.059933627487352314, 0.05165595124002387,
 0.045368168748748605, 0.04043407756729511, 0.03646133450150879, 0.033195238345154365,
 0.03046341897041005, 0.028145005443888316, 0.026150635042994086, 0.024380084473468955,
 0.022201910404060943, 0.009553035697593693, -0.19592479861475587, -4.090450614851804,
 -82.17689173820752]
\end{console}
Les dernières valeurs sont \textit{négatives} (donc incohérentes dans le cadre de notre exercice).

Cela s'explique par le fait que la représentation des nombres réels en informatique (comme le nombre $\e$) n'est pas parfaite et les erreurs d'approximation s'accumulent jusqu'à donner des résultats totalement faux.
\end{rem}



\end{enumerate}

