
\begin{enumerate}
\item Cherchons avant tout une primitive de $f(x)=\dfrac{\e^x+1}{\e^x+x+1}$.

Si on pose $u(x) = \e^x + x + 1$, alors $u'(x)=\e^x + 1$ donc $f=\dfrac{u'}{u}$.

Par conséquent, une primitive de $f$ est $F=\ln(u)$, soit :
\[
F(x)=\ln\big(\e^x+x+1\big).
\]
Ainsi,
\begin{align*}
\dint_0^1\dfrac{\e^x+1}{\e^x+x+1}\dx & =F(1)-F(0)\\
& = \ln(\e+2)-\ln(2)\\
\Aboxed{\dint_0^1\dfrac{\e^x+1}{\e^x+x+1}\dx& = \ln\left(\dfrac{\e+2}{2}\right)}
\end{align*}

\item Une primitive de $\e^{ax+b}$ est :
\[
f(x)=\e^{ax+b} \Longrightarrow F(x)=\dfrac{1}{a}\e^{ax+b}.
\]
Ainsi, une primitive de $f(x)=\e^{2x+1}$ est $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{2x+1}$ et donc :
\begin{align*}
\dint_0^1\e^{2x+1}\dx & = F(1)-F(0)\\
& = \dfrac{1}{2}\e^3-\dfrac{1}{2}\e\\
\Aboxed{\dint_0^1\e^{2x+1}\dx & =\dfrac{1}{2}\e\big(\e^2-1\big)}
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
\dint_3^5\big(\e^x+x-3\big)\dx & = F(5)-F(3),\ \text{avec }F(x)=\e^x+\dfrac{1}{2}x^2-3x\\
& = \left(\e^5+\dfrac{25}{2}-15\right)-\left(\e^3+\dfrac{9}{2}-9\right)\\
\Aboxed{\dint_3^5\big(\e^x+x-3\big)\dx & = \e^5-\e^3+2}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\dint_{-1}^1\big(3x^3-2x\big)\dx & = F(1)-F(-1),\ \text{avec }F(x)=\dfrac{3}{4}x^4-x^2\\
& = \dfrac{3}{4}-1-\left(\dfrac{3}{4}-1\right)\\
\Aboxed{\dint_{-1}^1\big(3x^3-2x\big)\dx & = 0}
\end{aligned}$

\begin{rem}
Il n'est pas incohérent de trouver une intégrale égale à 0. Cela signifie que sur l'intervalle considéré, la courbe représentative de la fonction est tantôt positive, tantôt négative, et que l'aire des parties sous l'axe des abscisses est égale à celle des parties au-dessus :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',scale=2]
\fill[courbe!50] (-0.816,0) plot[domain=-0.8:0] (\x,{3*\x*\x*\x-2*\x}) -- (-0.816,0);
\fill[courbe!50] (0,0) plot[domain=0:0.816] (\x,{3*\x*\x*\x-2*\x}) -- (0,0);
\fill[courbe2] (-1,0) plot[domain=-1:-0.816] (\x,{3*\x*\x*\x-2*\x}) -- (-1,0);
\fill[courbe2] (0.816,0) plot[domain=0.816:1] (\x,{3*\x*\x*\x-2*\x}) -- (1,0) -- (0.816,0);
\draw[dotted,gray] (-1,-1) grid[step=0.2] (1,1);
\draw[dashed,gray,thick] (-1,-1) grid (1,1);
\draw[->,thick] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw[->,thick] (0,-1) -- (0,1);
\draw[thick] (1,0.1) -- (1,-0.1) node[below] {1};
\draw[thick] (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left] {1};
\draw[courbe3,very thick] plot[domain=-1:1,samples=100] (\x,{3*\x*\x*\x-2*\x});
\draw[<-,courbe] (-0.45,0.2) -- (0.45,0.6) node[above] {même aire};
\draw[<-,courbe] (0.45,-0.2) -- (0.45,0.6);
\draw[<-,courbe2] (0.9,0.2) -- (-1.2,-0.2) node[left] {même aire};
\draw[<-,courbe2] (-0.95,-0.4) -- (-1.2,-0.2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{rem}
\end{enumerate}
