
\begin{enumerate}
\item $F(x)=x\ln(x)-x$.

{\bfseries\color{purple} $\pmb{F}$ est une primitive de $\pmb{f}$ si $\pmb{F'=f}$.} On calcule donc $F'(x)$:
\[
F'(x)=1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}-1=\ln(x)+1-1=\ln(x)=f(x).
\]
Ainsi, $F$ est bien une primitive de $f$.

\item $\begin{aligned}[t]
\dint_1^\e \ln(x)\dx & = F(\e)-F(1)\\
& = (\e\ln\e-\e)-(1\ln1-1)\\
& = (\e\times1-\e)-(1\times0-1)\\
& = 0-(-1)\\
\Aboxed{\dint_1^\e \ln(x)\dx & = 1}
\end{aligned}$
\end{enumerate}
