\chapter{Loi des grands nombres}

\pagestyle{coursstyle}

\section{Transformation de variables aléatoires}

\subsection{Transformation affine}

\begin{defin}[rappels sur l'espérance mathématique]
Soit $X=\{x_1;x_2;\ldots;x_n\}$ une variable aléatoire discrète telle que $\probavar{X}{x_i}=p_i$ pour $1 \leqslant i \leqslant n$, $n\in\N*$.

L'espérance mathématique de $X$ est le nombre $E(X)$ défini par:
\[
E(X)=\sum_{i=1}^n x_i \times p_i.
\]
\end{defin}

\begin{exemple}
$X$ est une variable aléatoire de loi de probabilité:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{exemple}\color{exemple!60!red}}Sr|*{11}{Sc|}}
\hline
$X=x_i$ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\
\hline
$P(X=x_i)$ & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{1}{18}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{9}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{1}{9}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{18}$ & $\dfrac{1}{36}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Alors, $\begin{aligned}[t]
E(X) & = 2\times\dfrac{1}{36}+3\times\dfrac{1}{18}+4\times\dfrac{1}{12}+\cdots+11\times\dfrac{1}{18}+12\times\dfrac{1}{36}\\[8pt]
\Aboxed{E(X) & = 7}
\end{aligned}$
\end{exemple}

\begin{defin}[transformation affine]
Soit $X=\{x_1;x_2;\ldots;x_n\}$ une variable aléatoire discrète, et soient $a$ et $b$ deux réels.

La variable aléatoire $Y$ définie par $Y=aX+b$ est la variable qui prend les valeurs $y_i = ax_i + b$, pour tout entier $i$ compris entre 1 et $n$ inclus.
\end{defin}

\begin{prop}[espérance et variance d'une transformation affine]
Soit $X=\{x_1;x_2;\ldots;x_n\}$ une variable aléatoire discrète, et soient $a$ et $b$ deux réels.
\begin{itemize}
\item L'espérance de $Y=aX+b$ est: $\esp{Y} = \esp{aX+b} = a\esp{X} + b$.
\item La variance de $Y$ est: $\var{Y}=\var{aX+b}=a^2\var{X}$.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{exemple}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}\coord{20}{0,25}$.

Soit $Y=3X+0,7$. Alors,
\begin{align*}
\esp{Y} & = 3\esp{X} + 0,7 = 3\times(20\times0,25) + 0,7 = 15,7.\\
\var{Y} & = 3^2\var{X} = 9 \times \big(20 \times 0,25 \times (1-0,25)\big) = 33,75.
\end{align*}
\end{exemple}

\newpage

\subsection{Somme de deux variables aléatoires}

\begin{defin}[somme de deux variables aléatoires]
Soient $X=\{x_i\}_{1\leqslant i\leqslant n}$ et $Y=\{y_j\}_{1\leqslant j\leqslant p}$ deux variables aléatoires.

On définit la somme de ces deux variables aléatoires comme étant la variable aléatoire: $$X+Y = \{ x_i+y_j \}_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\1\leqslant j\leqslant p}}.$$
\end{defin}

\begin{exemple}
Si $X = \{1;2\}$ et $Y=\{-1;0;1\}$ alors les différentes sommes possibles des valeurs sont:\\ $1+(-1)=0$, $1+0=1$, $1+1=2$, $2+(-1)=1$, $2+0=2$, $2+1=3$ donc:
\[
X+Y = \{0;1;2;3\}.
\]
\end{exemple}

\begin{prop}
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires. 

L'espérance de la variable aléatoire $X+Y$ est:
\[
E(X+Y) = E(X) + E(Y).
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
Xavier et Yvonne vont au restaurant. Xavier hésite de façon équiprobable entre les menus à 18~\euro, 24 \euro{} et 36 \euro. Yvonne hésite, quant à elle, de façon équiprobable entre les menus à 24~\euro{} et 36~\euro.

On note $X$ et $Y$ les variables aléatoires représentant le prix du menu choisi respectivement par Xavier et Yvonne. Alors, $X = \{18;24;36\}$ et $Y = \{24;36\}$. De plus,

\medskip
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{align*}
E(X) & = \dfrac{1}{3}\times18 + \dfrac{1}{3}\times24 + \dfrac{1}{3}\times36\\
& = 6+8+12\\
&=26
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{align*}
E(Y) & = \dfrac{1}{2}\times24+\dfrac{1}{2}\times36\\
& =12+18\\
&=30.
\end{align*}
\end{minipage}

\medskip

Ainsi,
\[
E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 26+30=56.
\]
On peut ainsi dire que le prix moyen de la facture de ce repas est 56 \euro.
\end{exemple}


\begin{defin}[variables aléatoires indépendantes]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires.

$X$ et $Y$ sont indépendantes si:
\[
P\big((X=x) \cap (Y=y)\big)=P(X=x) \times P(Y=y).
\]
\end{defin}

\begin{prop}
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires \textit{indépendantes}. 

La variance de la variable aléatoire $X+Y$ est:
\[
V(X+Y)=V(X)+V(Y).
\]
\end{prop}



\section{Inégalités de concentration}

\subsection{Inégalité de Markov}

\begin{thm}[inégalité de Markov]
Soit $X$ une variable aléatoire discrète d'espérance finie, et à valeurs positives. Alors :
\[
\forall a > 0,\quad P(X \geqslant a) \leqslant \dfrac{E(X)}{a}.
\]
\end{thm}

\begin{demo}
Notons:
\[
E(X)=\sum_{k=1}^n x_kP(X = x_k).
\]

On peut couper cette somme en deux sommes: la première comportant toutes les valeurs de $X$ inférieures strictement à $a$ et la seconde comportant les valeurs de $X$ supérieures ou égales à $a$, ce qui donne:
\[
E(X) = \sum_{x_k \geqslant a} x_kP(X=x_k) \quad + \quad \sum_{x_k < a} x_kP(X=x_k).
\]


On sait que $X \geqslant 0$, ce qui signifie que pour tout entier $k$ compris entre 1 et $n$, $x_k \geqslant 0$. 

De plus, une probabilité est toujours supérieure ou égale à 0.

Ainsi, pour tout entier $k\in[1;n]$, $x_kP(X=x_k)\geqslant0$, ce qui implique que:
\[
\sum_{x_k < a} x_kP(X=x_k) \geqslant 0.
\]

On déduit que:
\[
E(X) \geqslant \sum_{x_k \geqslant a} x_kP(X=x_k).
\]
Or, dans cette somme, $x_k \geqslant a$, ce qui implique:
\[
E(X) \geqslant \sum_{x_k \geqslant a} aP(X=x_k)
\]
soit:
\[
E(X) \geqslant a\sum_{x_k \geqslant a} P(X=x_k).
\]
De plus, par définition:
\[
\sum_{x_k \geqslant a} P(X=x_k) = P(X \geqslant a)
\]
ce qui implique alors:
\[
E(X) \geqslant aP(X \geqslant a).
\]
On en déduit alors, en divisant par $a\neq0$:
\[
\dfrac{E(X)}{a} \geqslant P(X \geqslant a).
\]
\end{demo}

\newpage

\subsection{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev}

\begin{thm}[inégalité de Bienaymé-Tchebychev]
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $V(X)$. 

Quel que soit le réel $\delta > 0$, 
\[
P\big(|X-\mu| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}.
\]
\end{thm}

\begin{demo}
On considère la variable $Y = \big[X-E(X)\big]^2$.

Par définition, $Y$ est une variable aléatoire à valeurs positives et:
\[
E(Y) = E\big[ (X-E(X))^2 \big] = V(X).
\]
L'inégalité de Markov appliquée à $Y$ donne alors:
\begin{align*}
& \forall a>0,\qquad P(Y \geqslant a) \leqslant \dfrac{E(Y)}{a}\\[6pt]
\iff & \forall a>0,\qquad P\Big( \big(X-E(X)\big)^2 \geqslant a\Big) \leqslant \dfrac{V(X)}{a}.
\end{align*}
Posons alors $a=\delta^2$ avec $\delta>0$. On obtient alors:
\[
\forall \delta >0,\qquad P\Big( \big(X-E(X)\big)^2 \geqslant \delta^2\Big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}.
\]
Or, 
\[
\big(X-E(X)\big)^2 \geqslant \delta^2 \iff \big| X-E(X)\big| \geqslant \delta
\]
car $\delta > 0$. Cela donne alors:
\[
\forall \delta >0,\qquad P\Big( \big| X-E(X)\big| \geqslant \delta \Big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}.
\]
\end{demo}

De ce théorème (fondamental), on peut notamment conclure que pour une variable aléatoire quelconque $X$ d'écart-type $\sigma$ et d'espérance $\mu$:
\[
P\big(|X-\mu| \geqslant 2\sigma \big) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{(2\sigma)^2}
\]
soit:
\[
P\big(|X-\mu| \geqslant 2\sigma \big) \leqslant \dfrac{1}{4}.
\]
Cela signifie alors que la probabilité que $X$ s'écarte de sa moyenne d'au moins $2\sigma$ est inférieure à 0,25.

\begin{rem}
Par simulation (manuelle ou informatique), on s'aperçoit en fait que cette probabilité est très souvent majorée par 0,05.
\end{rem}



\section{Loi des grands nombres}

\subsection{Cas général}

\begin{defin}[moyenne empirique variables aléatoires indépendantes]
Soient $X_1$, ..., $X_n$ $n$ variables aléatoires indépendantes. On pose alors:
\[
S_n = \sum_{k=1}^n X_k = X_1+\cdots+X_n\quad\text{et}\quad M_n=\dfrac{S_n}{n}.
\]
$M_n$ est appelée la \textit{moyenne empirique} des variables $X_i$ ($1\leqslant i\leqslant n$).

%Alors,
%\begin{itemize}
%\item $E(S_n) = \displaystyle\sum_{k=1}^n E(X_k)$ et $V(S_n)=\displaystyle\sum_{k=1}^n V(X_k)$.
%
%\item $E(M_n)=\displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n E(X_k)$ et $V(M_n)=\displaystyle\dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n V(X_k)$.
%\end{itemize}
\end{defin}



\begin{prop}
Soient $X_1,\ X_2,\ \ldots,\ X_n$ $n$ variables aléatoires discrètes réelles indépendantes ayant toutes la même loi d'espérance $\mu$ et de variance $\var{X}$. Alors,
\[
\forall \delta >0, \quad P\left( \left| \dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\mu \right| \geqslant \delta \right) \leqslant \dfrac{\var{X}}{n\delta^2}.
\]
\end{prop}

\begin{demo}
On pose $M_n = \dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$.

\medskip

Par linéarité de l'espérance, on a:
\begin{align*}
E(M_n) & = E\left(\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}\right)\\ 
		 & = \dfrac{1}{n}E(X_1+\cdots+X_n)\\
		 & = \dfrac{1}{n}\big[ E(X_1) + \cdots + E(X_n) \big]\\
		 & = \dfrac{1}{n}(\mu + \cdots + \mu) = \dfrac{1}{n} \times n\mu \\
E(M_n) & = \mu.
\end{align*}

De plus, comme les $X_k$ sont indépendantes, on a:
\begin{align*}
V(M_n) & = V\left(\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}\right)\\
       & = \dfrac{1}{n^2}V(X_1+\cdots+X_n)\\
		 & = \dfrac{1}{n^2}\big[ V(X_1) + \cdots + V(X_n) \big]\\
		 & = \dfrac{1}{n^2}(\var{X} + \cdots + \var{X})\\
		 & = \dfrac{\var{X}}{n}.
\end{align*}

D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_n$, pour tout $\delta > 0$, on a:
\[
P\big( |M_n - \mu| \geqslant \delta \big) \leqslant \dfrac{\var{X}}{n\delta^2}.
\]
\end{demo}

\subsection{Loi des grands nombres}

\begin{thm}[théorème de Khintchine, ou \textit{loi des grands nombres}]
Soient $X_1$, ..., $X_n$ $n$ variables aléatoires indépendantes de même loi, d'espérance $\mu$. Alors, pour tout réel $\delta > 0$, 
\[
\lim_{n\to+\infty}P\left( \left| \dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\mu \right| \geqslant \delta \right)=0.
\]
\end{thm}

\begin{demo}
C'est une conséquence de la propriété précédente.
\end{demo}

\subsection{Cas de variables aléatoires suivant la même loi binomiale}

\begin{prop}
Soient $X_1$, $X_2$, ..., $X_n$ $n$ variables aléatoires suivant la même loi de Bernoulli de paramètre $p$ (c'est-à-dire que $P(X_i=1)=p$).

On pose $S_n = X_1+\cdots+X_n$ et $M_n = \dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}$.

Alors,
\[
\forall \delta>0,\qquad \begin{aligned}[t]
P\big( |S_n-np| \geqslant \delta\big) & \leqslant \dfrac{np(1-p)}{\delta^2}.\\[8pt]
P\big( |M_n - p| \geqslant \delta \big) &  \leqslant \dfrac{p(1-p)}{n\delta^2}.
\end{aligned}
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
On lance 100 fois un dé équilibré, à quatre faces de couleurs différentes. On note $X_i$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) qui vaut:
\begin{itemize}
\item 1 si la face obtenue lors du lancer $i$ est rouge;
\item 0 sinon.
\end{itemize}
Ainsi, 
\[
P(X_i=1)=\dfrac{1}{4}=0,25.
\]
On note $S_{100}$ le nombre de faces rouges obtenues à l'issue de ces 100 lancers.

On a alors:
\[
\forall \delta>0,\qquad P\big( |S_{100} - 100\times0,25| \geqslant \delta \big) \leqslant \dfrac{100\times 0,25 \times 0,75}{\delta^2}
\]
soit:
\[
\forall \delta>0,\qquad P\big( |S_{100} - 25| \geqslant \delta \big) \leqslant \dfrac{18,75}{\delta^2}.
\]
En prenant par exemple $\delta=5$, cela donne:
\[
P\big( |S_{100} - 25| \geqslant 5 \big) \leqslant  \dfrac{18,75}{25}=0,75.
\]
D'où:
\[
1 - P( 20 < S_{100} < 30) \leqslant 0,75
\]
et donc:
\[
P(21 \leqslant S_{100} \leqslant 29) \geqslant 0,25.
\]
\end{exemple}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exotype
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercicetype}{transformation affine}{}
Chaque jour, Louis emprunte un trajet pour aller de son domicile au lycée qui compte 7 feux tricolores.

On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de feux tricolores qui sont à l'orange ou au rouge rencontrés sur son trajet.

On admet que $E(X) = 3,6$ et $V(X)=2,5$.

Si tous les feux sont au vert, Louis met 35 minutes à vélo.

On note $T$ la variable aléatoire représentant le temps (en minutes) total du trajet.

On admet qu'en moyenne, chaque feu orange ou rouge lui fait perdre 30 secondes.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $T$ en fonction de $X$.
\item En déduire $\esp{T}$ ainsi que $\var{T}$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $T=35+0,5X$. En effet, aux 35 minutes (quand tous les feux sont au vert), il faut ajouter 30 secondes autant de fois qu'il arrive à un feu orange ou rouge.

\item On déduit alors, par linéarité de l'espérance, que:
\[
\esp{T} = \esp{35+0,5X} = 35 + 0,5\esp{X} = 35 \times 0,5\times 3,6 = 36,8.
\]
De plus,
\[
\var{T}=0,5^2\var{X}=0,25\times 2,5 = 0,625.
\]
\end{enumerate}
\end{exercicetype}

%%%

\begin{exercicetype}{inégalités de concentration}{}
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance 50 et de variance 10.

\begin{enumerate}
\item Donner une majoration de la probabilité $P(|X-50| \geqslant 10)$.
\item En déduire une minoration de $P(41 \leqslant X \leqslant 59)$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On utilise très souvent l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour donner une majoration d'une probabilité du type $P(|X-\mu|\geqslant\delta)$. Cela donne ici:
\[
\forall\delta>0,\qquad 
P(|X-50| \geqslant \delta ) \leqslant \dfrac{10}{\delta^2}.
\]
La question suggère que l'on prenne $\delta=10$, ce qui donne:
\[
P(|X-50| \geqslant 10 ) \leqslant \dfrac{10}{100}\qquad\text{soit}\qquad P(|X-50| \geqslant 10 ) \leqslant 0,1.
\]

\item On déduit de la majoration précédente que:
\begin{align*}
P(|X-50| \geqslant 10 ) \leqslant 0,1 & \iff 1-P(|X-50|<10) \leqslant 0,1\\
& \iff P(40 < X < 60) \geqslant 1-0,1\\
& \iff P(41 \leqslant X \leqslant 59) \geqslant0,9.
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exercicetype}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exercices
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\sectionnn{Somme de variables aléatoires}

%%%

\begin{exocor}{la base}[1]
On considère 5 variables aléatoires $(X_k)_{1 \leqslant k \leqslant 5}$ suivant toutes la loi binomiale $\mathcal{B}\coord{\numprint{1000}}{0,75}$.

Soit la variable aléatoire $S_5=X_1+X_2+\cdots+X_5$.

Calculer l'espérance de $S_5$.


\tcblower

D'après la propriété \ref{prop:somme-vai} sur la somme des variables aléatoires indépendantes, 
\[
E(S_5) = \sum_{k=1}^5 E(X_k).
\]
Or, pour tout entier $k$ compris entre 1 et $5$, 
\[
E(X_k) = \numprint{1000} \times 0,75 = 750.
\]
Par conséquent, $E(S_5) = 5 \times 750 = \numprint{3750}$.
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{en boulangerie}[1]
Dans les boulangeries de la chaîne \og Obonpin \fg, les baguettes sont de temps en temps un peu trop cuites... À vrai dire, elles le sont avec une probabilité de 0,07.

Un contrôleur de la marque \og Obonpin \fg{} rend visite à 20 boulangeries d'un même département et vérifie 30 baguettes dans chacune d'elles. On suppose que dans chaque boulangerie, le nombre de baguettes réalisées est suffisamment grand pour assimiler ceci à un tirage aléatoire avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de baguettes un peu trop cuites à l'issue de ce contrôle.

\medskip

Déterminer l'espérance mathématique de $X$, ainsi que sa variance et son écart-type.

\tcblower

Notons $Y_k$ la variable aléatoire représentant le nombre de baguettes un peu trop cuites dans la boulangerie $k$, pour $k$ entier compris entre 1 et 20.

Alors $Y_k$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\coord{30}{0,07}$ car le contrôleur vérifie dans chaque boulangerie 30 baguettes (on suppose ici que l'on peut assimiler cette vérification à un tirage aléatoire avec remise car le nombre de baguettes est supposé assez grand).

$E(Y_k)=30 \times 0,07 = 2,1$, $V(Y_k)=30 \times 0,07 \times (1-0,07) = 1,953$ et $\sigma(Y_k)=\sqrt{1,953} \approx 1,397$.

\medskip

Ainsi, $X = \displaystyle\sum_{k=1}^{20} Y_k$ et donc, d'après la propriété sur la somme de variables aléatoires indépendantes:
\begin{itemize}
\item $E(X) = 20 \times E(Y_1) = 20 \times 2,1 = 42$;
\item $V(X) = 20 \times V(Y_1) = 20 \times 1,953 = 39,06$;
\item $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\approx 6,25$.
\end{itemize}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{le jeu télévisé}[1]
Un jeu télévisé est composé de deux manches:
\begin{itemize}
\item \textbf{Première manche:} le ou la candidat·e choisit d'ouvrir une des trois portes identiques qui se trouvent devant lui ou elle. Derrière chaque porte se trouve un panneau indiquant le montant gagné : \og 0 \euro \fg, \og 100 \euro \fg{} ou \og 500 \euro \fg.

On notera $X$ la variable aléatoire représentant le gain de cette première manche.

\item \textbf{Seconde manche:} le ou la candidat·e fait tourner une roue partagée en plusieurs secteurs angulaires. Chacun des secteurs correspond à une somme: \og 0 \euro \fg, \og 100 \euro \fg,\linebreak \og 200 \euro \fg, \og 500 \euro \fg{} et \og \numprint{1000} \euro \fg.  

Ici, les secteurs ont une surface telle que la probabilité de gagner $x$ \euro{} est égale à $\dfrac{10}{x}$, pour $x \neq0$, la probabilité de gagner 0 \euro{} étant ce qui reste.

On notera $Y$ la variable aléatoire représentant le gain de cette seconde manche.
\end{itemize}

On note $Z = X+Y$ le gain à l'issue de ces deux manches, $X$ et $Y$ étant indépendantes.

\medskip

Calculer le gain moyen d'un·e candidat·e à ce jeu.

\tcblower

\begin{itemize}
\item $\esp{X}=\dfrac{0+100+500}{3}=200$.
\item $\esp{Y}=100\times\dfrac{10}{100}+200\times\dfrac{10}{200}+500\times\dfrac{10}{500}+\numprint{1000}\times\dfrac{10}{\numprint{1000}}=40$.
\end{itemize}
\[
\esp{Z} = \esp{X} + \esp{Y} = 240.
\]
\underline{Ainsi, le gain moyen d'un·e candidat·e est 240 \euro.}
\end{exocor}


%%%

\newpage

\begin{exocor}{trajet pour aller travailler}[2]
Chaque jour de la semaine, Hubert prend le train pour aller travailler. Selon les statistiques réalisées sur sa ligne, 
\begin{itemize}
\item la probabilité que le train ait 5 minutes de retard est égale à la moitié de celle qu'il ait aucun retard;
\item la probabilité que le train ait 2 minutes de retard est égale au triple de celle qu'il ait 7 minutes de retard;
\item la probabilité qu'il ait 7 minutes de retard est égale au cinquième de celle qu'il n'ait aucun retard.
\end{itemize}
On suppose qu'il n'y a pas d'autres cas possibles.

On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de minutes de retard du train d'Hubert un jour pris au hasard.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité $X$.
\item Calculer l'espérance de $X$.
\item Calculer le retard moyen du train d'Hubert sur un échantillon de 20 jours ouvrés (donc sur un mois).
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Notons $x = \probavar{X}{0}$. La loi de probabilité de $X$ est:
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|Sc|Sc|}
\hline
$X=k$    &  0  & 2 &         5        & 7\\
\hline
$P(X=k)$ & $x$ & $\dfrac{3}{5}x$  & $\dfrac{1}{2}x$ & $\dfrac{1}{5}x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
La somme des probabilités est égale à 1 donc:
\begin{align*}
x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{5}x+\dfrac{1}{5}x = 1 & \iff \dfrac{23}{10}x = 1\\
 & \iff x = \dfrac{10}{23}.
\end{align*}
D'où :
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|Sc|Sc|}
\hline
$X=k$    &  0  & 2 &         5        & 7\\
\hline
$P(X=k)$ & $\dfrac{10}{23}$ & $\dfrac{6}{23}$  & $\dfrac{5}{23}$ & $\dfrac{2}{23}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $\esp{X}=2\times\dfrac{6}{23} + 5\times\dfrac{5}{23} + 7\times\dfrac{2}{23}=\dfrac{51}{23}$.


\item Notons $X_k$ la variable aléatoire représentant le nombre de minutes de retard du train d'Hubert le jour $k$, $1 \leqslant k \leqslant 20$.

Posons alors : $M_{20} = \dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_{20}}{20}$. Alors,
\begin{align*}
E(M_{20}) & = \dfrac{E(X_1 + X_2 + \cdots + X_{20})}{20}\\& = \dfrac{E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_{20})}{20}\\
& = \dfrac{20 \times \frac{51}{23}}{20}\\
& = \dfrac{51}{23}\\
& \approx 2,22.
\end{align*}

\underline{Ainsi, le retard moyen du train d'Hubert sur les 20 jours est d'environ 2 min 13 s.}

\end{enumerate}
\end{exocor}

\bigskip

\sectionnn{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev}

%%%

\begin{exocor}{vrai ou faux ?}[1]
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?

\begin{enumerate}
\item Soit $X$ une variable aléatoire discrète d'espérance $E(X)=9$ à valeurs positives. 

Alors, selon l'inégalité de Markov, $P(X \geqslant 10) \leqslant \dfrac{1}{10}$.

\item Soit $X$ une variable aléatoire discrète d'espérance $E(X)=7$ et de variance $\sigma^2 = 9$. 

Alors, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $P\big( | X-7| \geqslant 18\big) <  0,028$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item \textit{Faux}. Selon l'inégalité de Markov, $P(X \geqslant a) \leqslant \dfrac{E(X)}{a}$, ce qui donne dans notre cas:
\[
P(X \geqslant 10) \leqslant \dfrac{9}{10}.
\]

\item \textit{Vrai}. En effet, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, 
\[
P\big( | X-E(X)| \geqslant \delta \big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}
\]
ce qui donne dans notre cas:
\[
P\big( | X - 7| \geqslant 18 \big) \leqslant \dfrac{9}{18^2}
\]
soit:
\[
P\big( | X - 7| \geqslant 18 \big) \leqslant \dfrac{1}{36} < 0,028.
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{dé équilibré}[1]
On jette \numprint{3600} fois un dé équilibré. Minorer la probabilité que le nombre d'apparitions du numéro 1 soit compris entre 480 et 720 à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

\tcblower

Soit $S$ la variable aléatoire comptant le nombre d'apparitions du chiffre 1 au cours de ces lancers. $S$ suit une loi binomiale de paramètres \numprint{3600} et $\dfrac{1}{6}$. On sait donc que:
\[
E(S)=600\qquad\text{et}\qquad V(S)=500.
\]
De plus,
\[
480<S<720 \iff -120<S-600<120\iff|S-600|<120.
\]
Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on obtient:
\[
P(|S-600|\geqslant120)\leqslant \dfrac{500}{120^2} \leqslant 0,035.
\]
On en déduit que:
\[
P(480<S<720)\geqslant1-0,035
\]
soit:
\[
P(480<S<720)\geqslant 0,965.
\]
En particulier, la probabilité que le numéro 1 apparaisse entre 480 et 720 fois au cours de ces \numprint{3600} lancers est supérieure à 0,96.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{pièces d'une usine}[1]
On suppose que le nombre de pièces sortant d'une usine donnée en l'espace d'une semaine est une variable aléatoire d'espérance 50.
\begin{enumerate}
\item À l'aide de l'inégalité de Markov, majorer la probabilité que la production de la semaine prochaine dépasse 75 pièces.
\item On sait, de plus, que la variance de la production hebdomadaire est de 25. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minorer la probabilité que la production de la semaine suivante soit comprise entre 41 et 59.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Commençons par poser $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de pièces sortant de l'usine en l'espace d'une semaine.

D'après l'inégalité de Markov, 
\[
P(X > 75) \leqslant \dfrac{50}{75}
\]
soit :
\[
P(X > 75) \leqslant 0,67.
\]

\item On souhaite une minoration de:
\[
P( 41 \leqslant X \leqslant 59) = P(50-9 \leqslant X \leqslant 50+9) = P(|X-50| \leqslant 9).
\]

\medskip

L'inégalité de Bienaymé-Tchebytchev donne:
\[
P\big( | X-50| \geqslant 10\big) \leqslant \dfrac{25}{10^2}
\]
soit:
\[
P\big( | X-50| \geqslant 10\big) \leqslant 0,25.
\]
On en déduit alors que:
\[
1-P\big( | X-50| < 10\big) \leqslant 0,25
\]
et donc:
\[
P\big( | X-50| \leqslant 9 \big) \geqslant 0,75.
\]
La probabilité pour que la production de la semaine suivante soit comprise entre 41 et 59 est donc au moins de 75\%.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\newpage

\begin{exocor}{particules émise par une substance radioactive}[1]
Pour étudier les particules émises par une substance radioactive, on dispose d'un détecteur. On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de particules qui atteignent le détecteur pendant un intervalle de temps $\Delta t$. Le nombre maximal de particules que le détecteur
peut compter pendant un intervalle de temps $\Delta t$ est de $10^3$. On suppose que $X$ suit une loi d'espérance et de variance égales à $100$.

Donner une majoration de la probabilité que $X$ atteigne au moins $900$.

\tcblower

Pour que $X$ atteigne $900$, il faut que que $|X-100|\geqslant 800$. En effet, $X\geqslant0$ donc $|X-100|\geqslant 800 \iff X \geqslant 900$.

 On utilise donc l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta=800$:
\[
P( |X - 100| \geqslant 800) \leqslant \dfrac{100}{800^2} \leqslant \numprint{0,015625}.
\]
Ainsi, $P(X \geqslant 900) \leqslant \numprint{0,015625}$.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{entreprise de télécommunication}[1]
Une entreprise de télécommunications souhaite estimer la proportion de clients satisfaits de leur service. Elle sait que la probabilité qu'un client soit satisfait est de \pourcent{70}. L'entreprise interroge un échantillon de 100 clients.

\medskip

Déterminez une borne supérieure de la probabilité que le nombre de clients satisfaits dans l'échantillon s'écarte de plus de 10 unités de la moyenne.

\tcblower

Posons $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de clients satisfaits sur les 100 clients contactés.

Alors, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,7$.

\medskip

Son espérance est alors $\esp{X}=np = 70$ et sa variance est $\var{X}=np(1-p)=21$.

\medskip

Le théorème de Bienaymé-Tchebychev nous donne alors:
\[
\forall\delta>0,\quad P( |X-70| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{21}{\delta^2}.
\]
\newpage
On souhaite déterminer une borne supérieure de la probabilité que le nombre de clients satisfaits dans l'échantillon s'écarte de plus de 10 unités de la moyenne, donc prenons $\delta = 11$:
\[
P( |X-70| \geqslant 11) \leqslant \dfrac{21}{121} \leqslant 0,173.
\]
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{composants électroniques}[1]
Une entreprise de fabrication de composants électroniques sait que la probabilité qu'un composant soit défectueux est de \pourcent{5}. L'entreprise teste un lot de 200 composants.

\medskip

Déterminer une minoration de la probabilité que le nombre de composants défectueux dans le lot soit compris entre 5 et 15.

\tcblower

Posons $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de composants défectueux sur les 200 testés.

Alors, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=0,05$.

Ainsi, $\esp{X}=np=10$ et $\var{X}=np(1-p)=9,5$.

\medskip

Le théorème de Bienaymé-Tchebychev nous dit alors:
\[
\forall \delta>0,\quad P(|X-10| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{9,5}{\delta^2}.
\]
On veut déterminer une minoration de la probabilité que le nombre de composants défectueux dans le lot soit compris entre 5 et 15 (soit $10-5$ et $10+5$).

On va donc prendre $\delta=6$:
\begin{align*}
P(|X-10| \geqslant 6) \leqslant \dfrac{9,5}{6^2} & \iff  1-P(|X-10| < 6) \leqslant \dfrac{9,5}{36}\\
& \iff P(|X-10| \leqslant 5) \geqslant 1 - \dfrac{9,5}{36} \geqslant 0,736.
\end{align*}
\end{exocor}



%%% 

\begin{exocor}{trouver un nombre de lancers de dé}[2]
On lance de manière indépendante $n$ fois un dé équilibré à six faces. 

Déterminer une valeur de $n$ pour laquelle la probabilité d'obtenir entre 0 et $\dfrac{n}{3}$ fois le nombre \og 1 \fg{} soit supérieure à $0,99$.


\tcblower

Commençons par poser $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de \og 1 \fg{} obtenus.

$X$ suit alors la loi $\mathcal{B}\left(n;\frac{1}{6}\right)$ et a donc une espérance égale à $\dfrac{n}{6}$ et une variance égale à\linebreak $np(1-p)=\dfrac{5n}{36}$.

On nous demande ici de trouver un entier $n$ tel que:
\[
P\left(0 \leqslant X \leqslant \dfrac{n}{3}\right) \geqslant 0,99.
\]
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev nous dit que:
\begin{align*}
\forall\delta>0,\ & P\left(\left|X-\dfrac{n}{6}\right| \geqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{5n}{36\delta^2}
\\
& \iff P\left[ \left( X-\dfrac{n}{6} \leqslant -\delta\right) \cup  \left( X-\dfrac{n}{6} \geqslant \delta\right) \right] \leqslant \dfrac{5n}{36\delta^2}
\end{align*}

\begin{align*}
\forall\delta>0,\ & \iff 1 - P\left(-\delta \leqslant X-\dfrac{n}{6} \leqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{5n}{36\delta^2}\\
& \iff P\left(-\delta \leqslant X-\dfrac{n}{6} \leqslant \delta\right) \geqslant 1-\dfrac{5n}{36\delta^2}.
\end{align*}
On aimerait arriver à une inégalité avec $P\left(0 \leqslant X \leqslant \dfrac{n}{3}\right)$; cela nous pousse à prendre $\delta=\dfrac{n}{6}$ pour obtenir:
\[
P\left(0\leqslant X \leqslant \dfrac{n}{3}\right) \geqslant 1-\dfrac{5}{n}.
\]
Ainsi, il suffit de choisir un $n$ tel que:
\[
1-\dfrac{5}{n} \geqslant 0,99 \iff n \geqslant 500.
\]
Nous sommes donc assurés que pour $n\geqslant500$, notre probabilité  est supérieure à $0,99$.
\begin{rem}
Ce raisonnement nous assure que la probabilité est supérieure à 0,99 pour $n\geqslant500$ sans affirmer que 500 est la valeur minimale. Pour avoir une valeur minimale, on peut écrire un programme Python (par exemple) qui calcule cette probabilité en partant de $n=500$ et en baissant cette valeur jusqu'à obtenir une probabilité inférieure à 0,99.
\begin{python}
from scipy.stats import binom
n = 500
while binom.cdf(n//3, n, 1/6) >= 0.99:
    print('n = {} ; proba = {}'.format(n,binom.cdf(n//3, n, 1/6)))
    n -= 1
\end{python}
Ce programme nous donne comme dernière valeur de $n$, donc comme valeur minimale de $n$ : $n = 33$. Autant dire que nous en sommes loin avec l'application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebycheff...
\end{rem}
\end{exocor}


%%% 2026

\begin{exocor}{dé équilibré}[2]
Un dé équilibré à six faces est lancé $n$ fois.
\begin{enumerate}
\item On note $M_n$ la variable aléatoire moyenne des résultats des $n$ lancers. 

Calculer $\esp{$M_n$}$ et $\var{$M_n$}$.
\item Déterminer le plus petit nombre entier $n$ tel que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev assure que:
\[
P(|M_n - 3,5| \geqslant 0,4) \leqslant 0,1.
\]
\item Interpréter la valeur de $n$ déterminée dans le contexte
de l'exercice.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Notons $X_i$ la variable aléatoire représentant le nombre obtenu au lancer $i$, avec $1 \leqslant i \leqslant n$.

Il y a équiprobabilité à chaque lancer car le dé est équilibré.

Donc la loi de probabilité de $X_i$ est: 
\[
\forall 1 \leqslant k\leqslant 6,\quad P(X_i=k) = \dfrac{1}{6}.
\]
Alors,
\[
\esp{$X_i$} = \dfrac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = \dfrac{1}{6}\times\dfrac{6\times(6+1)}{2}=\dfrac{21}{6}=\dfrac{7}{2}
\]
et 
\[
\var{$X_i$} = \dfrac{1}{6}\sum_{k=1}^6\left( x_i-\dfrac{7}{2} \right)^2 = \dfrac{35}{12}.
\]
Ainsi,
\[
\esp{$M_n$} = \dfrac{1}{n}\times n\esp{$X_i$} = \dfrac{7}{2}
\]
et, puisque les $X_i$ sont toutes indépendantes,
\[
\var{$M_n$}=\dfrac{1}{n^2}\times n \var{$X_i$} = \dfrac{35}{12n}.
\]

\item L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_n$ donne:
\[
\forall\delta>0,\quad P(|M_n-\esp{$M_n$}| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{\var{$M_n$}}{\delta^2}.
\]
En prenant $\delta=0,4$, cela donne:
\[
P(|M_n-3,5| \geqslant 0,4) \leqslant \dfrac{35}{12n\times 0,4^2}
\]
soit:
\[
P(|M_n-3,5| \geqslant 0,4) \leqslant \dfrac{35}{1,92n}.
\]
On souhaite que cette probabilité soit inférieure ou égale à 0,1, donc il suffit de choisir $n$ tel que:
\begin{align*}
\dfrac{35}{1,92n} \leqslant 0,1 & \iff 35 \leqslant 0,1\times 1,92n\\
& \iff n \geqslant \dfrac{35}{0,192}\\
& \iff n \geqslant 183.
\end{align*}

\item Si l'on effectue 183 lancers ou plus, alors l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantit que la probabilité que la moyenne des résultats s'écarte de 3,5 de plus de 0,40 est inférieure ou égale à \pourcent{10}. 

Autrement dit, avec au moins 183 lancers, on a au moins \pourcent{90}
de chances que la moyenne empirique soit dans l'intervalle \intervFF{3,1}{3,9}.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 2026

\begin{exocor}{usine de vis}[3]
Une usine fabrique des vis dont la longueur (en mm) est modélisée par une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu = 50$~mm et d'écart-type $\sigma = 2$~mm.
 
On prélève un échantillon de $n = 100$ vis, et on note $M_n$ la longueur moyenne de cet échantillon.
 
À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer qu'avec une probabilité d'au moins \pourcent{75}, la longueur moyenne de l'échantillon ne s'écarte pas de plus de $0,4$~mm de la valeur cible $50$~mm.

\tcblower

Les vis sont supposées indépendantes et identiquement distribuées, donc :
\[
  \esp{$M_n$} = \mu = 50
  \qquad \text{et} \qquad
  \var{$M_n$} = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{4}{100} = 0,04.
\]
L'événement $\{49,6 < M_n < 50,4\}$ s'écrit $\{|M_n - 50| < 0,4\}$.

On applique l'inégalité avec $\delta = 0,4$ :
\begin{align*}
P( 49,6 < M_n < 50,4) & \geqslant 1 - \frac{\var{$M_n$}}{\delta^2}\\
                     & \geqslant 1 - \frac{0,04}{(0,4)^2}\\
                     & \geqslant 1 - \frac{0,04}{0,16}\\
                     & \geqslant 0,75.
\end{align*}
Cela signifie que, quel que soit l'échantillon prélevé, il y a au moins \pourcent{75} de chances que la moyenne des $100$ vis mesurées soit comprise entre $49,6$~mm et $50,4$~mm, c'est-à-dire à moins de $0,4$~mm de la valeur cible de $50$~mm.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[3]
Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On suppose que $X$ admet une espérance $E(X)=\mu$ et une variance $V(X)=\sigma^2$. Soit $a>0$.
\begin{enumerate}
\item Soit $\lambda \geqslant 0$. Démontrer que $P(X-\mu \geqslant a) = P(X-\mu +\lambda \geqslant a+\lambda)$.
\item Vérifier que $E\big( (X-\mu+\lambda)^2\big) =\sigma^2 + \lambda^2$.
\item Montrer que pour tout $\lambda > 0$, $P(X-\mu \geqslant a) \leqslant \dfrac{\sigma^2+\lambda^2}{(a+\lambda)^2}$.

\medskip

\textit{Aide :} on pourra utiliser le fait que $P( Z \geqslant \alpha) \leqslant P(Z^2 \geqslant \alpha^2)$ pour toute variable aléatoire $Z$.

\item En déduire que $P\big( |X-\mu| \geqslant a \big) \leqslant \dfrac{2\sigma^2}{a^2+\sigma^2}$.

\item Pour quelles valeurs de $a$ obtient-on une meilleure inégalité que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On a:
\[
X-\mu \geqslant a \iff X-\mu+\lambda \geqslant a + \lambda
\]
donc la probabilité des deux événements $(X-\mu \geqslant a)$ et $(X-\mu+\lambda \geqslant a+\lambda)$ sont égales.

\item Par linéarité de l'espérance, on a:
\begin{align*}
E\big( (\textcolor{red}{X-\mu}+\lambda)^2\big) & = E\big( (\textcolor{red}{X-\mu})^2+2(\textcolor{red}{X-\mu})\lambda + \lambda^2\big)\\
& = \underbrace{E\big((X-\mu)^2\big)}_{=V(X)} + 2\lambda\underbrace{E(X-\mu)}_{=\,0} + \lambda^2\\
& = \sigma^2 + \lambda^2.
\end{align*}

\item Dans un premier temps, on a:
\[
P(X - \mu \geqslant a) = P(X - \mu + \lambda \geqslant a + \lambda ).
\]
Or, 
\[
P(X - \mu + \lambda \geqslant a + \lambda ) \leqslant P\big( (X - \mu + \lambda)^2 \geqslant (a + \lambda)^2 \big).
\]
Ainsi,
\[
P(X - \mu \geqslant a) \leqslant P\big( (X - \mu + \lambda)^2 \geqslant (a + \lambda)^2 \big).
\]
En appliquant l'inégalité de Markov à la variable aléatoire $(X - \mu + \lambda)^2$,  on obtient:
\[
P\big( (X - \mu + \lambda)^2 \geqslant (a + \lambda)^2 \big) \leqslant \dfrac{E\big[ (X - \mu + \lambda)^2 \big]}{(a + \lambda)^2}.
\]
Ainsi, 
\[
P(X-\mu \geqslant a) \leqslant \dfrac{E\big[ (X - \mu + \lambda)^2 \big]}{(a + \lambda)^2}
\]
d'où:
\[
P(X-\mu \geqslant a) \leqslant \dfrac{\sigma^2 + \lambda^2}{(a + \lambda)^2}.
\]

\item Posons $f(\lambda)=\dfrac{\sigma^2+\lambda^2}{(a+\lambda)^2}$, avec $\lambda \geqslant 0$.

Sa dérivée vaut :
\[
f'(\lambda) = 2\dfrac{a\lambda-\sigma^2}{(a+\lambda)^3}.
\]
On en déduit que $f'(\lambda)>0 \iff \lambda > \dfrac{\sigma^2}{a}$.

Notamment, $f$ admet un minimum en $\lambda = \dfrac{\sigma^2}{a}$, et ce minimum vaut $\dfrac{\sigma^2}{\sigma^2+ a^2}$.

Ainsi, 
\[
P(X-\mu \geqslant a) \leqslant \dfrac{\sigma^2 + \lambda^2}{(a + \lambda)^2} \leqslant \dfrac{\sigma^2}{\sigma^2+ a^2}.
\]
On peut écrire:
\[
\big( |X-\mu|\geqslant a \big) = \big( X-\mu \geqslant a \big) \cup \big( \mu- X \geqslant a \big).
\]
Les deux événements $\big( X-\mu \geqslant a \big)$ et $\big( \mu - X \geqslant a \big)$ étant disjoints, 
\[
P\big( |X-\mu|\geqslant a \big) = P\big( X-\mu \geqslant a \big) + P\big( \mu - X \geqslant a \big).
\]
À l'aide de la question précédente, appliquée à $X-\mu$ et à $\mu-X$, on obtient:
\[
P\big( |X-\mu|\geqslant a \big) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{\sigma^2+ a^2} + \dfrac{\sigma^2}{\sigma^2+ a^2}
\]
soit :
\[
P\big( |X-\mu|\geqslant a \big) \leqslant \dfrac{2\sigma^2}{\sigma^2+ a^2}.
\]

\item Cette dernière inégalité est meilleure que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev si:
\begin{align*}
\dfrac{2\sigma^2}{\sigma^2+ a^2} < \dfrac{\sigma^2}{a^2} & \iff \dfrac{2}{\sigma^2+ a^2} < \dfrac{1}{a^2}\\& \iff \dfrac{\sigma^2+a^2}{2} > a^2\\
& \iff \dfrac{\sigma^2+a^2}{2} > \dfrac{2a^2}{2}\\
& \iff \sigma^2 > a^2\\
& \iff a < \sigma\text{ car $a$ et $\sigma$ sont positifs.}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}

\bigskip

\sectionnn{Loi des grands nombres}


%%% 

\begin{exocor}{dans une urne}[2]
On dispose d'une urne dans laquelle sont mises 7 boules rouges et 3 noires. On tire au hasard une boule de cette urne et on la remet dans l'urne; si la boule choisie est noire, on gagne 1 point. Sinon, on ne gagne pas de point.

On note $M_n$ le gain moyen de points après $n$ répétitions indépendantes de cette expérience.

Déterminer une valeur de $n$ pour laquelle la probabilité que la différence entre $M_n$ et 0,3 soit supérieure à $0,1$ est inférieure ou égale à $0,5$.

\tcblower

On cherche un entier $n$ tel que:
\[
P\big( |M_n - 0,3| \geqslant 0,1 \big) \leqslant 0,5.
\]
Notons $X_k$ le nombre de points gagnés au $k$-ième tirage, $1\leqslant k\leqslant n$.

\bigskip

$X_k$ suit la loi de Bernoulli de probabilité $p=\dfrac{3}{10}=0,3$ et de variance $\sigma^2 = 0,3\times(1-0,3)=0,21$.

De plus, par définition, les $X_k$ sont indépendantes donc on peut utiliser la propriété du cours sur l'inégalité de concentration sur la moyenne:

\[
P\left( \left| M_n - 0,3 \right| \geqslant 0,1 \right) \leqslant \dfrac{0,21}{0,1^2n}.
\]

On souhaite que $P\left( \left| M_n - 0,3 \right| \geqslant 0,1 \right) \leqslant 0,5$ donc il suffit de choisir $n$ tel que :
\begin{align*}
\dfrac{0,21}{0,1^2n} \leqslant 0,5 & \iff \dfrac{0,1^2n}{0,21} \geqslant \dfrac{1}{0,5}\\[1em]
& \iff 0,1^2n \geqslant \dfrac{1}{0,5}\times0,21\\
& \iff n \geqslant \dfrac{1}{0,5}\times\dfrac{0,21}{0,1^2}\\[1em]
& \iff n \geqslant 42.
\end{align*}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{marche aléatoire sur \Z}[2]
On considère une marche aléatoire sur $\Z$ définie de la façon suivante : on part de $0$ et, à chaque étape,
\begin{itemize}
\item  on a une probabilité $p$ de faire un pas vers la droite;
\item on a une probabilité $1-p$ de faire un pas vers la gauche.
\end{itemize}
Autrement dit, on considère une suite de variables aléatoires $(X_n)_{n\geqslant1}$ indépendantes et de même loi donnée par:
\[
\forall n\in\N^*, \quad P(X_n=1)=p\qquad\text{et}\qquad P(X_n=-1)=1-p.
\]
On note $S_n=X_1+\cdots+X_n$.
\begin{enumerate}
\item Que représente $S_n$ dans le contexte de cet exercice ?
\item Exprimer, en fonction de $p$, $E(X_k)$.
\item Que vaut $\lim\limits_{n\to+\infty}{\left(\dfrac{S_n}{n}\right)}$ ? Comment interpréter ce résultat ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Regardons les premières valeurs de $S_n$:
\begin{itemize}
\item $S_1 \in \{-1;1\}$ car $X_1$ ne peut prendre pour valeurs que $-1$ ou $1$;
\item $S_2 \in \{-1-1;-1+1;1-1;1+1\}$ soit $S_2 \in \{-2;0;2\}$;
\item $S_3\in\{-3;-1;1;3\}$.
\end{itemize}
On s'aperçoit que $S_n$ est la position à laquelle nous nous trouvons dans $\Z$ à la fin de l'étape~$n$.

\item $\begin{aligned}[t]
\mu = E(X_k) & = 1\times P(X_k=1) + (-1)\times P(X_k=-1) = 1 \times p + (-1)\times(1-p) = 2p-1.
     \end{aligned}$
\item $\dfrac{S_n}{n}=\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}$ et d'après le théorème de Khintchine (loi faible des grands nombres),
\[
\forall\delta>0,\ 
\lim_{n\to+\infty} P\left( \left| \dfrac{S_n}{n} - \mu \right| \geqslant \delta\right) = 0.
\]
Autrement dit, quand le nombre de pas devient très grand, la moyenne  $\dfrac{S_n}{n}$ se rapproche de $2p-1$.
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{dans un urne}[2]
Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules noires. On tire successivement avec remise des boules de cette urne. À partir de combien de tirages est-on sûrs à 95\% que la proportion de boules rouges tirées est dans l'intervalle $]0,35 ; 0,45[$ ?

\tcblower

Pour $1 \leqslant k \leqslant n$,  considérons l'événement :
\begin{center}
\og une boule rouge est tirée lors du $k$-ième tirage \fg. 
 \end{center}

Notons alors $X_k$ la variable aléatoire représentant le nombre de boules rouges obtenues lors du $k$-ième tirage. $X_k$ soit la loi de Bernoulli de probabilité $\dfrac{2}{5}$, a pour espérance $\mu = \dfrac{2}{5} =  0,4$ et pour variance $\sigma^2 = \dfrac{2}{5}\times
\dfrac{3}{5}= 0,24$.

La proportion de boules rouges obtenues après $n$ tirages  est $M_n=\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}$.

On cherche donc la première valeur de $n$ à partir de laquelle :
\[
P(|M_n-0,4| < 0,05) \geqslant 0,95 \iff P(|M_n-0,4| \geqslant 0,05) \leqslant 0,05.
\]
La propriété du cours sur l'inégalité de concentration sur la moyenne nous dit que, pour $\delta=0,05$:
\[
P(|M_n-0,4| \geqslant 0,05) \leqslant \dfrac{0,24}{0,0025n}.
\]
Une valeur de $n$ satisfaisante est donc la plus petit valeur de $n$ telle que:
\begin{align*}
\dfrac{0,24}{0,0025n} \leqslant 0,05 & \iff \dfrac{0,0025n}{0,24} \geqslant \dfrac{1}{0,05}\\
& \iff 0,0025n \geqslant \dfrac{0,24}{0,05}\\
& \iff n \geqslant \dfrac{0,24}{0,05 \times 0,0025}\\
& \iff n \geqslant \numprint{1920}.
\end{align*}

Ce dernier résultat nous assure à 95\% que la proportion de boules rouges tirées se trouve dans l'intervalle $]0,35 ; 0,45[$.

\begin{rem}
Si l'on effectue des simulations de cette expérience, on peut se rendre compte que l'on obtient une proportion dans l'intervalle pour des valeurs de $n$ plus petites. Il est donc important de se souvenir que l'inégalité de concentration nous assure une valeur de $n$ adéquate mais qu'elle n'est pas toujours minimale.
\end{rem}
\end{exocor}

%%%

\newpage

\begin{exocor}{usine et pièces mécaniques}
Une usine produit des pièces mécaniques. Le poids moyen d'une pièce est de 100 grammes, et la variance du poids est de 16 grammes$^2$ (l'écart-type est donc de 4 grammes). On prélève un échantillon de 50 pièces.

\medskip

Déterminer une majoration de la probabilité que la moyenne des poids des pièces dans l'échantillon s'écarte de plus de 0.6 grammes de la moyenne théorique (100 grammes).

\tcblower

Notons $X_k$ la masse de la pièce contrôlée numéro $k$, où $1 \leqslant k \leqslant 50$ puisque l'on prélève 50 pièces. On a d'après l'énoncé $\esp{$X_k$}=100$ et $\var{$X_k$}=16$.

\medskip

La propriété du cours sur l'inégalité de concentration sur la moyenne donne:
\[
P\left( \left| \dfrac{X_1+\cdots+X_{50}}{50}-100\right| \geqslant \delta \right) \leqslant \dfrac{16}{50 \times \delta^2}.
\]
On prend ici $\delta=0,6$ car on nous demande de déterminer une majoration de la probabilité que la moyenne des poids des pièces dans l'échantillon s'écarte de plus de 0.6 grammes de la moyenne théorique. Cela donne:
\[
P\left( \left| \dfrac{X_1+\cdots+X_{50}}{50}-100\right| \geqslant 0,6 \right) \leqslant \dfrac{16}{50 \times 0,6^2} \leqslant 0,89.
\]
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{dé à 6 faces}[2]
On lance $n$ fois un dé à 6 faces et on regarde la fréquence d'obtention de la face \og 6 \fg. 

Que peut-on dire de cette fréquence quand $n$ devient grand ?

\tcblower

D'après le théorème de Khintchine (loi faible des grands nombres), si on note pour $1 \leqslant k \leqslant n$:
\[
\begin{cases}
X_k = 1 &  \text{ si on obtient un \og 6 \fg{} }\\
X_k = 0 & \text{ Si on n'obtient pas un \og 6 \fg{} }
\end{cases}
\]
où les $X_k$ sont indépendantes et suivent la même loi de Bernoulli de probabilité $\dfrac{1}{6}$ et donc d'espérance %ERR $\mu=\dfrac{1}{6}$
$\mu=\dfrac{1}{6}$, on peut écrire pour tout $\delta>0$:
\[
\lim_{n\to+\infty}
P\left(\left|
\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\mu\right|\geqslant\delta\right)=0
\]
ce qui signifie que la fréquence $\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}$ se rapprochera de $\mu=\dfrac{1}{6}$ quand $n$ deviendra de plus en plus grand.
\end{exocor}


\bigskip

\sectionnn{Objectif bac}

%%%

\begin{exocor}{extrait du bac Métropole 2024}[2]
Lorsqu'une personne commande un article sur internet, on considère que le temps de livraison est modélisé par une variable aléatoire $T$ égale à la somme de deux variables aléatoires $T_1$ et $T_2$ où:
\begin{itemize}
\item $T_1$ représente le nombre entier de jours pour l'acheminement de l'article de l'entrepôt de stockage vers la plateforme de distribution;
\item $T_2$ représente le nombre de jours pour l'acheminement de l'article  de la plateforme vers le domicile du client.
\end{itemize}

On estime que $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes et que:

\begin{itemize}
\item $E(T_1)=4$ et $V(T_1)=2$;
\item $E(T_2)=3$ et $V(T_2)=1$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'espérance $\esp{T}$ ainsi que sa variance $\var{T}$.
\item Un client passe une commande sur internet. Justifier que la probabilité qu'il reçoive son article entre 5 et 9 jours après sa commande est supérieure ou égale à $\dfrac{2}{3}$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item Par linéarité de l'espérance, $\esp{T} = \esp{$T_1+T_2$} = \esp{$T_1$} + \esp{$T_2$} = 4+3=7$;
\item De plus, $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes donc $\var{T} = \var{$T_1$}+\var{$T_2$} = 2+1=3$.
\end{itemize}

\item Nous cherchons ici à démontrer que:
\begin{align*}
P(5 \leqslant T \leqslant 9) \geqslant \dfrac{2}{3} & \iff P(7-2 \leqslant T \leqslant 7+2) \geqslant \dfrac{2}{3}\\
& \iff P( |T-7| \leqslant 2) \geqslant \dfrac{2}{3}.
\end{align*}

D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev,
\begin{align*}
        & \forall \delta > 0,\quad P( | T - \esp{T} | \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{\var{T}}{\delta^2}\\
\iff    & \forall \delta > 0,\quad P( | T - 7 | \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{3}{\delta^2}
\intertext{En prenant alors $\delta=3$, on a:}
 & \quad P( | T - 7 | \geqslant 3) \leqslant \dfrac{3}{3^2}\\
\iff & 1- P( | T - 7 | < 3) \leqslant \dfrac{1}{3}\\
\iff & 1- P( | T - 7 | \leqslant 2) \leqslant \dfrac{1}{3} \quad \text{ car $|T-7|$ est entier}\\
\iff & P(|T-7|\leqslant2) \geqslant 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}.
\end{align*}

\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{Extrait du sujet 1 d'Asie 2025}[2]
Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s'intéresse à deux tests effectués par l'entreprise de jouets : un test \emph{de fabrication} et un test \emph{de sécurité}.

On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de $n$ jouets, où $n$ est un entier strictement positif. On suppose que ce prélèvement se fait sur une quantité suffisamment grande de jouets pour être assimilé à une succession de $n$ tirages indépendants avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un jouet réussisse le test de fabrication est égale à $0,95$.

Soit $S_n$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jouets ayant réussi le test de fabrication. On
admet que $S_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,95$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S_n$ en fonction de $n$.

\item Dans cette question, on pose $n = 150$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P\left(S_{150} = 145\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

\item Déterminer la probabilité qu'au moins 94\,\% des jouets de ce lot réussissent le test de fabrication. Donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\newpage

\item Dans cette question, l'entier naturel non nul $n$ n'est plus fixé.

Soit $F_n$ la variable aléatoire définie par : $F_n = \dfrac{S_n}{n}$. La variable aléatoire $F_n$ représente la proportion des jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets prélevés.

On note $E(F_n)$ l'espérance et $V(F_n)$ la variance de la variable aléatoire $F_n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E(F_n) = 0,95$ et que $V(F_n) = \dfrac{0,0475}{n}$.
\item On s'intéresse à l'évènement $I$ suivant: \og la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets est strictement comprise entre 93\,\% et 97\,\% \fg.

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur $n$ de la taille du lot de jouets à prélever, à partir de laquelle la probabilité de l'évènement $I$ est supérieure ou égale à $0,96$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $S_{n}$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,95$ donc :
\[
E\left(S_n\right)=n\times p = 0,95n \quad \text{et} \quad V(X)=np(1-p)= n \times 0,95 \times 0,05 = 0,0475n.
\]

\item Dans cette question, on pose $n = 150$.
\begin{enumerate}
\item 	$\begin{aligned}[t] 
P\left(S_{150}=145\right) & = \dbinom{150}{145}\times 0,95^{145}\times 0,05^{150 - 145}\\
			& = \numprint{591600030}\times 0,95^{145} \times 0,05^{5}\\
			& \approx 0,109.
\end{aligned}$

\medskip

Dans le contexte de l'exercice, dans environ 10,9\% des cas, 145 jouets sur les 150 du lot réussissent le test de fabrication.

\item \pourcent{94} des jouets de ce lot correspondent à 141 jouets.

À l'aide de la calculatrice, on trouve:
\[
P\left(S_{150} \geqslant 141\right) \approx 0,781.
\]

La probabilité qu'au moins \pourcent{94} des jouets de ce lot réussissent le test de fabrication vaut environ $0,781$.
\end{enumerate}

\item Dans cette question, l'entier naturel non nul $n$ n'est plus fixé.

\begin{enumerate}
\item D'après les propriétés sur l'espérance d'une somme de variables aléatoires :
\[
E\big(\,F_{n}\big)= E\left(\dfrac{S_{n}}{n}\right) = \dfrac{E\left( S_{n}\right)}{n}= \dfrac{0,95n}{n}= 0,95.
\]

D'après les propriétés sur la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes :
\[
V\big( F_{n} \big)= V\left(\dfrac{S_{n}}{n}\right) = \dfrac{V\left( S_{n}\right)}{n^2}= \dfrac{0,0475n}{n^2}= \dfrac{0,0475}{n}.
\]

\item On souhaite déterminer une valeur de $n$ pour laquelle:
\begin{align*}
P(I) \geqslant 0,96 & \iff P(0,93 < F_n < 0,97 \geqslant 0,96\\
& \iff 1- P(|F_n-0,95| \geqslant 0,02) \geqslant 0,96\\
& \iff P(|F_n-0,95| \geqslant 0,02) \leqslant 0,04.
\end{align*}
Or, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev,
\[
\forall \delta>0,\quad P(|F_n-E(F_n)|\geqslant\delta) \leqslant\dfrac{V(F_n)}{\delta^2}.
\]
En prenant $\delta=0,02$, cela donne:
\[
P(|F_n-0,95|\geqslant0,02) \leqslant\dfrac{0,0475}{4\times10^{-4}n}=\dfrac{118,75}{n}.
\]
Ainsi, pour que $P(|F_n-0,95| \geqslant 0,02) \leqslant 0,04$, il suffit de prendre $n$ tel que:
\[
\dfrac{118,75}{n} \leqslant 0,04  \iff n \geqslant \dfrac{118,75}{0,04} \iff n \geqslant \numprint{2968,75}.
\]
Ainsi, à partir de $\numprint{2969}$ jouets prélevés, la probabilité de l'événement $I$ est supérieure ou égale à $0,96$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{Extrait du sujet 1 de Polynésie, septembre 2025}[2]
Une auto-école présente pour la première fois à l'examen de conduite 10 candidats qui ont suivi la formation de conduite accompagnée. 

On modélise le fait de passer les examens de conduite par des épreuves aléatoires indépendantes.

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de ces 10 candidats qui auront leur permis dès la première tentative.

\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,747$.

\item Calculer $P(X \geqslant 6)$. Interpréter ce résultat.

\item Déterminer $E(X)$ et $V(X)$.

\item Il y a aussi 40 candidats qui n'ont pas suivi la formation de conduite accompagnée et qui se présentent pour la première fois à l'examen de conduite. De la même manière, on note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de ces candidats qui auront le permis à la première tentative. On admet que $Y$ est indépendante de la variable $X$ et qu'en fait $E(Y)=22,53$ et $V(Y)=9,81$.

\medskip

On note alors $Z$ la variable aléatoire comptant le nombre total de candidats (parmi les 50) qui auront le permis de conduire dès la première tentative dans cette auto-école.

\begin{enumerate}
\item Exprimer $Z$ en fonction de $X$ et $Y$. En déduire $E(Z)$ et $V(Z)$.

\item En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative est inférieure à 0,12.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item  L'expérience consistant à choisir un candidat est une épreuve de Bernoulli, dont la probabilité du succès (obtenir le permis dès la première fois) est $p=0,747$.

On réalise 10 fois cette expérience et on suppose que les épreuves aléatoires sont indépendantes.

Donc  la variable aléatoire $X$, donnant le nombre de ces 10 candidats qui auront leur permis dès la première tentative, suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,747$.

\item $P(X \geqslant 6) = 1-  P(X \leqslant 5)$.

À la calculatrice, on trouve  $P(X \leqslant 5) \approx 0,082$ donc $P(X \geqslant 6) \approx 0,918$.

On peut donc estimer à $91,8\,\%$ le pourcentage de chances que sur 10 candidats, au moins 6 obtiennent le permis dès leur première tentative.

\item $E(X)=np=10\times 0,747=7,47$.

$V(X)=np\left (1-p\right )=10\times 0,747 \times 0,253 \approx 1,890$.

\item
\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé, $Z=X+Y$.

Par linéarité de l'espérance,
\[
E(Z)=E(X)+E(Y) = 7,47+ 22,53 = 30.
\]
Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes, donc: 
\[
V(Z)=V(X)+V(Y) \approx 1,89 + 9,81 = 11,7.
\]

\item La variable aléatoire $Z$ a pour espérance $E(Z)$ et pour variance $V(Z)$ donc, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a:
\[
\forall\delta>0,\qquad P( |Z-E(Z)| \geqslant \delta ) \leqslant \dfrac{V(Z)}{\delta^2}.
\]
soit ici:
\[
\forall\delta>0,\qquad P( |Z-30| \geqslant \delta ) \leqslant \dfrac{11,7}{\delta^2}.
\]
On cherche la probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats reçus, soit:
\[
20 \leqslant Z \leqslant 40 \iff -10 \leqslant Z-30 \leqslant 10 \iff |Z-30|\leqslant10.
\]
Pour $\delta=10$, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev devient:
\[
P(|Z-30| \geqslant 10) \leqslant \dfrac{11,7}{10^2}
\]
soit:
\[
P(|Z-30| \geqslant 10) \leqslant 0,117.
\]
La probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative est donc inférieure à 0,12.	
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}


\corriges
