\chapter{Bac blanc 01}

\pagestyle{corrigesbb}

\tcbstartrecording


\begin{exobb}{5 points}
Une entreprise souhaite construire un bâtiment dont le profil a la forme  représentée dans un repère orthonormé \Rij{} ci-dessous, dont l'unité graphique représente 50 mètres.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,yscale=5, xscale=5]
\draw[->] (-1.2,0) -- (1.8,0);
\draw[->] (0,-0.2) -- (0,1.2);
\draw[very thick,courbe] plot[domain=-1:0,samples=100] (\x,{(\x+1)*exp(-\x)});
\draw[very thick, courbe] plot[domain=0:1.65745,samples=100] (\x,{1+ln(2)-ln(exp(\x)+exp(-\x))});
\foreach \x in {-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,1.6} 
{
\draw (\x,0.01) -- (\x,-0.01) node[below] {$\x$};
}
\node[below left] at (0,0) {0};
\foreach \y in {0.2,0.4,0.6,0.8,1} 
{
\draw (0.01,\y) -- (-0.01,\y) node[left] {$\y$};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Pour cela, on considère la fonction $f$ définie par:
\[
f(x) = \begin{cases}
(x+1)\e^{-x} & \quad \text{ pour } -1 \leqslant x < 0\\
1+\ln(2)-\ln\big(\e^{x} + \e^{-x}\big) & \quad\text{ pour } x\geqslant0
\end{cases}
\]

\bigskip

\partie{A: étude de la fonction \boldmath $f$}

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f$ est continue en 0.
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que sur \intervFO{0}{+\infty}, la dérivée de $f$ est:
\[
f'(x) = \dfrac{1-\e^{2x}}{1+\e^{2x}}.
\]
\item En déduire que $f$ est strictement décroissante  sur \intervOO{0}{+\infty}.
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur \intervFO{0}{+\infty}. On la notera $\alpha$.

Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-5}$ près.
\end{enumerate}

\item On admet que $f'(x)=-x\e^{-x}$ sur $\intervOO{-1}{0}$.

Calculer $\limite[x<0]{x}{0}{\big[f'(x)\big]}$ et $\limite[x>0]{x}{0}{\big[f'(x)\big]}$.

Interpréter graphiquement ce résultat. 
\end{enumerate}

\partie{B: calcul d'aire}

L'entreprise désire connaître la surface latérale du bâtiment. Cela revient à déterminer l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de $f$ et l'axe des abscisses sur l'intervalle \intervFF{-1}{\alpha}.

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\dint_{-1}^0 f(x)\dx = \e-2$.

\item Afin d'obtenir un encadrement de l'aire sur l'intervalle \intervFF{0}{\alpha}, on utilise le programme suivant, écrit en Python:

\begin{python}
from math import exp, log

def f(x):
    return 1+log(2)-log(exp(x)+exp(-x))

def rectangleSup(n):
    base = 1.65745/n
    x = 0
    A = 0
    while x < 1.65745:
        A = A + base * f(x)
        x = x + base
    return A

def rectangleInf(n):
    base = 1.65745/n
    x = base
    A = 0
    while x < 1.65745:
        A = A + base * f(x)
        x = x + base
    return A
    
print([rectangleInf(100), rectangleSup(100)])
\end{python}

On rappelle que la fonction Python \texttt{log} renvoie le \textit{logarithme népérien}.

\medskip

Expliquer le principe de ce programme.

\item Ce programme affiche:
\begin{console}
[1.0312009233909132, 1.047775423390913]
\end{console} 

Justifier qu'un encadrement de la surface latérale du bâtiment est:
\[
\numprint{4374}\text{ m}^2 \leqslant \text{aire latérale du bâtiment} \leqslant \numprint{4415}\text{ m}^2.
\]
\end{enumerate}

\tcblower

\bigskip

\partie{A: étude de la fonction \boldmath $f$}

\begin{enumerate}
\item Nous avons d'une part:
\[
\limite[x<0]{x}{0}{\big[ f(x) \big]} = \limite{x}{0}{\big[ (x+1)\e^{-x} \big]} = (0+1)\e^0 = 1.
\]

D'autre part,
\[
\limite[x>0]{x}{0}{\big[ f(x) \big]} = \limite{x}{0}{\big[ 1+\ln(2)-\ln\big(\e^x+\e^{-x}\big) \big]} = 1+\ln(2)-\ln\big(\e^0+\e^0\big) = 1+\ln(2)-\ln(2) = 1.
\]
Ainsi,
\[
\limite[x<0]{x}{0}{\big[ f(x) \big]} = \limite[x>0]{x}{0}{\big[ f(x) \big]}.
\]

\underline{La fonction $f$ est donc continue en 0.}

\item 
\begin{enumerate}
\item Sur $\intervFO{0}{+\infty}$, 
\[
f(x)=1+\ln(2)-\ln\big(\e^x+\e^{-x}\big) = 1+\ln(2)-\ln\big[u(x)\big]
\]
avec:
\[
u(x) = \e^x + \e^{-x} \qquad\text{donc}\qquad u'(x)=\e^x-\e^{-x}.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = -\dfrac{u'(x)}{u(x)}\\
      & = -\dfrac{\e^x-\e^{-x}}{\e^x+\e^{-x}}\\
      & = \dfrac{\e^{-x}-\e^x}{\e^{-x}+\e^x}\\
      & = \dfrac{\cancel{\e^{-x}}\left( 1 - \e^{x}\times\e^x \right)}{\cancel{\e^{-x}}\left( 1 + \e^x \times \e^x \right)}\\
\Aboxed{ f'(x) & = \dfrac{1-\e^{2x}}{1+\e^{2x}}}
\end{align*}

\item Sur \intervFO{0}{+\infty}, $1+\e^{2x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $1-\e^{2x}$.
\[
1-\e^{2x} \geqslant 0 \iff 1 \geqslant \e^{2x} \iff \ln(1) \geqslant 2x \iff x \leqslant 0.
\]
Ainsi, sur \intervFO{0}{+\infty}, $f'(x) \leqslant 0$.
\[
f'(x)=0 \iff x = 0.
\]
\underline{Donc, sur \intervOO{0}{+\infty}, $f$ est strictement décroissante.}

\newpage

\item On calcule:
\[
f(2) = 1+\ln(2)-\ln\big(\e^2+\e^{-2}\big) \approx -0,32 < 0.
\]
Ainsi, sur \intervFF{0}{2},
\begin{itemize}
\item $f$ est strictement décroissante et continue;
\item $f(0)=1$ et $f(2)<0$ donc $f(2) < 0 < f(0)$.
\end{itemize}
Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\alpha$ dans \intervFF{0}{2} tel que $f(\alpha)=0$.

\medskip

De plus, sur \intervOO{2}{+\infty}, $f$ étant strictement décroissante avec $f(2)<0$, $f(x)<0$ donc $f(x)$ ne s'annule pas sur cet intervalle.

\medskip
Par conséquent, sur \intervFO{0}{+\infty}, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution: $\alpha$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve:
\[
\boxed{ \alpha \approx \numprint{1,65745} }
\]
\end{enumerate}

\item D'une part, on a:
\[
\limite[x<0]{x}{0}{\big[ f'(x) \big]} = \limite[x<0]{x}{0}{\big( -x\e^{-x} \big)} = 0.
\]
Cela signifie graphiquement que le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ en 0 (à gauche) est nul, donc que la tangente est horizontale.

\medskip

D'autre part,
\[
\limite[x>0]{x}{0}{\big[ f'(x) \big]} = \limite[x>0]{x}{0}{\left( \dfrac{1-\e^{2x}}{1+\e^{2x}} \right)} = \dfrac{1-1}{1+1} = 0.
\]
Cela signifie graphiquement que le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ en 0 (à droite) est nul, donc que la tangente est aussi horizontale.

\medskip

Donc, en 0, la courbe admet à droite et à gauche une tangente horizontale.
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B: calcul d'aire}

\begin{enumerate}
\item $\dint_{-1}^0 f(x)\dx = \dint_{-1}^0 (x+1)\e^{-x}\dx$.

Posons alors: $\begin{aligned}[t]
u(x) = x+1 & \qquad u'(x)=1\\
v'(x) = \e^{-x} & \qquad v(x) = -\e^{-x}
\end{aligned}$

Alors, par intégration par parties, on a:
\begin{align*}
\dint_{-1}^0 f(x) \dx & = \Big[ u(x) \times v(x) \Big]_{-1}^0 - \dint_{-1}^0 u'(x) \times v(x) \dx\\
& = \Big[ -(x+1)\e^{-x} \Big]_{-1}^0 - \dint_{-1}^0 -\e^{-x}\dx\\
& = -(0+1)\e^{-0} - \Big( -(-1+1)\e^{-(-1)} \Big) + \int_{-1}^0 \e^{-x}\dx\\
& = -1 - 0 + \Big[ -\e^{-x} \Big]_{-1}^0\\
& = -1 + (-\e^0 + \e^{-(-1)})\\
\Aboxed{\dint_{-1}^0 f(x) \dx & = \e-2}
\end{align*}

\item 
\begin{itemize}
\item Lignes 3-4: on définit une fonction Python \og \texttt{f(x)} \fg{} qui renvoie l'image du nombre $x$ par la fonction $f$.

\item Lignes 6-16: la fonction Python \og \texttt{rectangleSup(n)} \fg{} renvoie l'aire totale des rectangles de hauteur $f\left(k\times\dfrac{\alpha}{n} \right)$, pour $k$ entier compris entre 0 et $n-1$.

\item Lignes 15-22: la fonction Python \og \texttt{rectangleInf(n)} \fg{} renvoie l'aire totale des rectangles de hauteur $f\left(k\times\dfrac{\alpha}{n} \right)$, pour $k$ entier compris entre 1 et $n$.
\end{itemize}
Cela représente la \textit{méthode des rectangles}.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=4]
\tkzInit[xmin=0,xmax=2,ymin=0,ymax=1.1]
\tkzDrawX \tkzDrawY
\tkzFct[line width=2pt,color = courbe, domain =0:1.65745]{1+log(2)-log(exp(\x)+exp(-\x))}
\tkzDrawRiemannSumInf[fill=courbe2,opacity=.5,interval=0:1.65745,number=5]
\tkzDrawRiemannSumSup[fill=bbtitle,opacity=.5,interval=0:1.65745,number=5]
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Le programme affiche un intervalle dont la borne inférieure est la somme des aires des rectangles qui sont sous la courbe et dont la borne supérieure est la somme des aires des rectangles qui sont au-dessus de la courbe.

Ainsi, $\dint_0^\alpha f(x)\dx$ est dans cet intervalle.

Ce qu'affiche le programme est donc un encadrement de $\dint_0^\alpha f(x)\dx$.

On en déduit alors que:
\[
1,0312 \leqslant \dint_0^\alpha f(x)\dx \leqslant 1,0478.
\]
Or,
\[
\int_{-1}^\alpha f(x) \dx = \int_{-1}^0 f(x)\dx + \int_0^\alpha f(x)\dx
\]
donc:
\[
\e-2 + 1,0312 \leqslant \dint_{-1}^\alpha f(x)\dx \leqslant \e-2+1,0478
\]
soit:
\[
1,7495 \leqslant \dint_{-1}^\alpha f(x)\dx \leqslant 1,7661.
\]
N'oublions pas maintenant les unités: une unité graphique représente 50 mètres (d'après l'énoncé) donc une unité d'aire représente $50 \times 50=\numprint{2500} \rm m^2$.

Ainsi, un encadrement de l'aire latérale (en m$^2$) du bâtiment est:
\[
1,7495\times\numprint{2500} \leqslant \dint_{-1}^\alpha f(x)\dx \leqslant 1,7661\times\numprint{2500}
\]
soit:
\[
\numprint{4373,75}\text{ m}^2 \leqslant \dint_{-1}^\alpha f(x)\dx \leqslant \numprint{4415,25}\text{ m}^2.
\]
soit, en arrondissant au mètre carré près:
\[
\numprint{4374}\text{ m}^2 \leqslant \dint_{-1}^\alpha f(x)\dx \leqslant \numprint{4415}\text{ m}^2.
\]
\end{enumerate}
\end{exobb}

%%%

\newpage


\begin{exobb}{5 points}
On note $f(t)$ la température (en °C) à l'intérieur d'une serre à l'instant $t \geqslant 0$ (en heures). 

Un scientifique suppose que $f$ vérifie l'équation différentielle :
\[
(E) : \quad y' = (y - t + 1)^2
\]
avec la condition initiale $f(0) = 2$.
 
\begin{enumerate}
\item On pose $u = y - t + 1$ et:
\[
(E') : \quad u' = u^2 - 1.
\]
Montrer l'équivalence suivante:
\[
y\text{ est solution de }(E) \iff u\text{ est solution de }(E').
\]
 
\item Vérifier que les fonctions constantes $u(t) = 1$ et $u(t) = -1$ sont solutions de $(E')$.

À quelles solutions de $(E)$ correspondent-elles ?
 
\item Soit $u$ une solution de $(E')$ telle que $u \neq 1$ et $u \neq -1$.
\begin{enumerate}
\item Justifier qu'on peut écrire :
 \[
\frac{u'}{u^2 - 1} = 1.
\]

\item Trouver les réels $a$ et $b$ tels que:
\[
\frac{1}{u^2-1} = \frac{a}{u-1} + \frac{b}{u+1}.
\]
 
\item En déduire une primitive de $\dfrac{u'}{u^2-1}$, puis montrer qu'on obtient après résolution :
\[
u(t) = \frac{1 + Ce^{2t}}{1 - Ce^{2t}}\qquad\text{ou}\qquad u(t)=\frac{1 - Ce^{2t}}{1 + Ce^{2t}}
\]
où $C$ est une constante réelle non nulle.
\end{enumerate}

\item En déduire l'expression générale de $f(t)$. 

Déterminer la constante $C$ grâce à $f(0) = 2$, puis donner l'expression explicite de $f(t)$ et préciser son domaine de définition.

 
\item On admet que $f$ est strictement croissante sur son domaine de définition.

Calculer $\limite[t<\frac{\ln(2)}{2}]{t}{\frac{\ln(2)}{2}}{\big[f(t)\big]}$.

En déduire que cette modélisation est peu cohérente.

\item La \textit{loi de Newton} permet d'opter pour un autre modèle. 

On suppose que la température $f$ vérifie l'équation:
\[
(E_N):\qquad f' = -k(f - T_{\rm ext})
\]
où $T_{\rm ext}$ est la température extérieure, et $k$ un paramètre strictement positif.

En prenant $T_{\rm ext}=20$ °C et $k=0,6$, donner l'expression de $f(t)$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On pose $u=y-t+1$ donc $y = u+t-1$. Alors,
\begin{align*}
y\text{ est solution de }(E) & \Longrightarrow y' = (y-t+1)^2\\
							 & \Longrightarrow (u+t-1)' = (u+t-1-1+1)^2\\
							 & \Longrightarrow u' + 1 = u^2\\
							 & \Longrightarrow u' = u^2 - 1\\
							 & \Longrightarrow u\text{ est solution de }(E').
\end{align*}

Réciproquement, 
\begin{align*}
u\text{ est solution de }(E') & \Longrightarrow y' = u' + 1\text{ avec }y=u+t-1\\
							  & \Longrightarrow y' = (u^2-1) + 1 \text{ car }u' = u^2-1\\
							  & \Longrightarrow y' = u^2 = (y-t+1)^2	\\
							  & \Longrightarrow y\text{ est solution de }(E).
\end{align*}
Finalement, on a bien l'équivalence:
\[
\boxed{ y\text{ est solution de }(E) \iff u\text{ est solution de }(E') }
\]

\item Si $u(t)=1$ alors $u'(x)=0$ et on a bien $u'(t)=0=1^2-1 = u(t)^2-1$.

Si $u(t)=-1$ alors $u'(x)=0$ et on a bien $u'(t)=0=(-1)^2-1 = u(t)^2-1$.

Ainsi, les fonctions $u(t)=1$ et $u(t)=-1$ sont bien solutions de $(E')$.

\begin{itemize}
\item Si $u(t)=1$ alors $y(t)=1+t-1=t$. On vérifie que $y(t)=t$ est bien solution de $(E)$:
\[
y'(t)=1=\big(t-t+1)^2=(1)^2.
\]
L'égalité est vraie donc $y(t)=t$ est une solution de $(E)$.

\item Si $u(t)=-1$ alors $y(t)=-1+t-1=t-2$. On vérifie que $y(t)=t-2$ est bien solution de $(E)$:
\[
y'(t)=1=\big(t-2-t+1)^2=(-1)^2.
\]
L'égalité est vraie donc $y(t)=t-2$ est une solution de $(E)$.
\end{itemize}

\item 
\begin{enumerate}
\item Si $u(t)\neq1$ et $u(t)\neq-1$, alors:
\[
(E'):\qquad u' = u^2-1 \iff \dfrac{u'}{u^2-1}=1
\]
car le dénominateur est une fonction non nulle.

\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{a}{u-1} + \dfrac{b}{u+1} & = \dfrac{a(u+1)+b(u-1)}{(u-1)(u+1)}\\
& = \dfrac{au+a+bu-b}{u^2-1}\\
& = \dfrac{(a+b)u + (a-b)}{u^2-1}.
\end{aligned}$

Ainsi,
\begin{align*}
\dfrac{1}{u^2-1}=\dfrac{a}{u-1} + \dfrac{b}{u+1} & \iff \dfrac{1}{u^2-1}=\dfrac{(a+b)u + (a-b)}{u^2-1}\\
& \iff \begin{cases}
a+b=0\\
a-b=1
\end{cases}\\
& \iff a=\dfrac{1}{2}\text{ et }b=-\dfrac{1}{2}.
\end{align*}
Finalement, on a:
\[
\boxed{ \dfrac{1}{u^2-1}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{u-1} - \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{u+1} }
\]

\item De la question précédente, on déduit:
\begin{align*}
\dfrac{u'(t)}{u^2(t)-1}=1 & \iff \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{u'(t)}{u(t)-1} - \dfrac{u'(t)}{u(t)+1} \right) = 1\\
& \iff \dfrac{u'(t)}{u(t)-1} - \dfrac{u'(t)}{u(t)+1}  = 2\\
& \iff \ln\big|u(t)-1\big| - \ln\big|u(t)+1\big| = 2t + K,\ K\in\R\\
& \iff \ln\left| \dfrac{u(t)-1}{u(t)+1} \right| = 2t+K,\ K\in\R\\
& \iff \left| \dfrac{u(t)-1}{u(t)+1} \right| = C\e^{2t},\ C=\e^K\in\R\\
& \iff \begin{cases}
\dfrac{u(t)-1}{u(t)+1} = C\e^{2t}\quad\text{ si }\dfrac{u(t)-1}{u(t)+1}>0\\[8pt]
-\dfrac{u(t)-1}{u(t)+1} = C\e^{2t}\quad\text{ si }\dfrac{u(t)-1}{u(t)+1}<0
\end{cases},\ C=\e^K\in\R*\\
& \iff \begin{cases}
u(t) - 1 = C\e^{2t}\big( u(t) + 1 \big)\quad\text{si }\dfrac{u(t)-1}{u(t)+1}>0\\[8pt]
1-u(t) = C\e^{2t}\big( 1+u(t) \big)\quad\text{si }\dfrac{u(t)-1}{u(t)+1}<0
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
u(t)-C\e^{2t}u(t) = C\e^{2t} + 1\quad\text{si }\dfrac{u(t)-1}{u(t)+1}>0\\[8pt]
1-C\e^{2t}=u(t)+C\e^{2t}u(t)\quad\text{si }\dfrac{u(t)-1}{u(t)+1}<0
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
\big(1-C\e^{2t}\big)u(t) = C\e^{2t} + 1\quad\text{si }\dfrac{u(t)-1}{u(t)+1}>0\\[8pt]
\big(1+C\e^{2t}\big)u(t) = 1-C\e^{2t}\quad\text{si }\dfrac{u(t)-1}{u(t)+1}<0
\end{cases}\\
& \iff \boxed{ u(t) = \dfrac{1+C\e^{2t}}{1-C\e^{2t}} \text{ ou } u(t) = \dfrac{1-C\e^{2t}}{1+C\e^{2t}} }
\end{align*} 
\end{enumerate}

\item De la question 1, on déduit que:
\begin{align*}
f\text{ est solution de (E)} & \iff u(t) = f(t)-t+1 = \dfrac{1+C\e^{2t}}{1-C\e^{2t}}\\
& \iff f(t) = \dfrac{1+C\e^{2t}}{1-C\e^{2t}} + t - 1\text{ ou }f(t) = \dfrac{1-C\e^{2t}}{1+C\e^{2t}} + t - 1.
\end{align*}
On sait que $f(0)=2$ donc:
\begin{align*}
\dfrac{1+C\e^{2\times0}}{1-C\e^{2\times0}} + 0 - 1 = 2 & \iff \dfrac{1+C}{1-C} = 3\\
& \iff 1+C=3-3C\\
& \iff 4C=2\\
& \iff C = \dfrac{1}{2}.
\end{align*}
ou
\begin{align*}
\dfrac{1-C\e^{2\times0}}{1+C\e^{2\times0}} + 0 - 1 = 2 & \iff \dfrac{1-C}{1+C} = 3\\
& \iff 1-C=3+3C\\
& \iff 4C=-2\\
& \iff C = -\dfrac{1}{2}.
\end{align*}
Dans les deux cas,
\[
f(t) = \dfrac{1+\frac{1}{2}\e^{2t}}{1-\frac{1}{2}\e^{2t}} + t - 1
\]
soit:
\[
\boxed{ f(t) = \dfrac{2+\e^{2t}}{2-\e^{2t}} + t - 1}
\]

$f$ est définie pour tout réel $t$ tel que:
\[
2-\e^{2t}\neq0 \iff \e^{2t} \neq 2 \iff 2t \neq \ln(2) \iff t \neq \dfrac{1}{2}\ln(2).
\]
Or, $t\geqslant0$ dans le contexte de notre exercice.

Le domaine de définition de $f$ est donc $\intervFO{0}{\dfrac{\ln(2)}{2}}\cup\intervOO{\dfrac{\ln(2)}{2}}{+\infty}$.

\item $\limite[t<\frac{\ln(2)}{2}]{t}{\frac{\ln(2)}{2}}{\left(2-\e^{2t}\right)}=0^+$ car $\begin{aligned}[t]t<\dfrac{\ln(2)}{2} & \iff 2t < \ln(2) \\ & \iff \e^{2t} < 2\\ & \iff -\e^{2t} > -2\\& \iff 2-\e^{2t}>0\end{aligned}$

De plus, $\limite{t}{\frac{\ln(2)}{2}}{\left( 2+\e^{2t} \right)} = 4$ donc, par limite des quotients,
\[
\limite[t<\frac{\ln(2)}{2}]{t}{\frac{\ln(2)}{2}}{\left( \dfrac{2+\e^{2t}}{2-\e^{2t}} \right)} = +\infty.
\]

De surcroît, 
\[
\limite{t}{\frac{\ln(2)}{2}}{\big(t-1\big)}=\frac{\ln(2)}{2}-1
\]
donc, par somme des limites,
\[
\limite[t<\frac{\ln(2)}{2}]{t}{\big[ f(t) \big]} = +\infty.
\]
Dans le contexte de notre exercice, cela signifie qu'avec ce modèle, la température de la serre augmenterait à l'infini au fur et à mesure que le temps se rapprocherait de $t=\dfrac{\ln(2)}{2}\approx0,35$ soit près de 21 minutes.

Ce modèle semble donc peu représentatif de la réalité et donc peu adapté à ce que l'on souhaite modéliser. 

\item $f$ est la solution de l'équation:
\[
y' = -0,6y + 0,6\times20 \iff y' = -0,6y + 12
\]
telle que $f(0)=2$.

D'après le cours, les solutions générales de $(E_N)$ sont:
\[
y(t) = C\e^{-0,6t} - \dfrac{12}{-0,6} = C\e^{-0,6t} + 20,\quad C\in\R.
\]
De plus, 
\[
f(0)=2 \iff C\e^{-0,6\times0}+20 = 2 \iff C = -18.
\]
Finalement, on trouve:
\[
\boxed{ f(t)=20-18\e^{-0,6t} }
\]
\end{enumerate}
\vspace*{7cm}
\end{exobb}

%%%

\newpage

\begin{exobb}{6 points}
Un joueur débute un jeu au cours duquel il est amené à faire successivement plusieurs parties.

La probabilité que le joueur perde la première partie est de 0,2.

Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante :

\begin{itemize}
\item s'il gagne une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,05 ;
\item s'il perd une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,1.
\end{itemize}

On appelle :
\begin{itemize}
\item $E_{1}$ l'événement \og le joueur perd la première partie\fg ;
\item $E_{2}$ l'événement \og le joueur perd la deuxième partie\fg ;
\item $E_{3}$ l'événement \og le joueur perd la troisième partie \fg.
\end{itemize}

On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties.

\bigskip

\partie{A: succession de trois parties}

\begin{enumerate}
\item Dresser un arbre de probabilités représentant la situation.

\item Montrer que $\probavar{X}{2}=0,031$.

On admettra pour la suite de l'exercice la loi de probabilité de $X$ suivante:
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*4{Sc|}}
\hline
$X=x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3\\
\hline
$P(X=x_i)$ & 0,722 & 0,245 & 0,031 & 0,002\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Calculer l'espérance de $X$.

On admet que la variance de $X$ est $\var{X}=0,289$.

\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B:\boldmath\ succession de $n$ parties dépendantes}

Dans cette partie, on suppose que le joueur joue $n$ parties, $n$ étant un entier naturel non nul.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note:
\begin{itemize}
\item $E_{n}$ l'événement: \og le joueur perd la $n$-ième partie \fg,
\item $\overline{E_{n}}$ l'événement contraire de $E_{n}$,
\item $p_{n}$ la probabilité de l'événement $E_{n}$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$ non nul, les probabilités des événements $E_{n}\cap E_{n+1}$ et $\overline{E_{n}}\cap E_{n+1}$ en fonction de $p_{n}$.

\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = 0,05p_{n} + 0,05$.

\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : 
\[
u_{n}=p_{n}-\dfrac{1}{19}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n$.
\item Calculer la limite de $p_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\partie{C:\boldmath\  succession de $n$ parties indépendantes}

Dans cette partie, on suppose que le joueur joue $n$ parties de manière \textbf{indépendante}, chacune avec une probabilité de défaite égale à $\dfrac{1}{19}$.

On note $S_n$ le nombre de défaites parmi ces $n$ parties. On admet que la variable aléatoire $S_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = \dfrac{1}{19}$.

\begin{enumerate}

\item Exprimer l'espérance $E(S_n)$ et la variance $V(S_n)$ en fonction de $n$.

\item On note $F_n = \dfrac{S_n}{n}$ la fréquence de défaites observée sur $n$ parties.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'espérance de $F_n$ est $\esp{$F_n$} = \dfrac{1}{19}$ et que sa variance est $\var{$F_n$} = \dfrac{18}{361\, n}$.
\item À l'aide du théorème de Bienaymé-Tchebychev, montrer que:
\[
P\left( \left| F_n - \dfrac{1}{19} \right| \geqslant 0,05 \right) \leqslant \dfrac{\numprint{7200}}{361n}.
\]
\end{enumerate}

\item Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que l'on puisse garantir que :
\[
P\!\left(\left|F_n - \dfrac{1}{19}\right| \geqslant 0,05\right) \leqslant 0,01.
\]
Interpréter ce résultat dans le contexte du jeu.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item L'arbre représentant la situation est le suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[
			level 1/.style = { 
					level distance=2.5cm,
					sibling distance=3cm,
					color=courbe2},
			level 2/.style = {
					level distance=1.5cm,
					sibling distance=1.5cm,
					color=courbe},
			level 3/.style = {
					level distance=1.5cm,
					sibling distance=0.5cm,
					color=courbe3}]
\node (O) {$\Omega$} [grow=right]
	child {
		node[black] (N2) {\evcont{E_1}}
			child {
				node[black] (N22) {\evcont{E_2}}
					child {
						node[black] (N222) {\evcont{E_3}}
					}
					child {
						node[black] (N221) {$E_3$}
					}
			}
			child {
				node[black] (N21) {$E_2$}
					child {
						node[black] (N212) {\evcont{E_3}}
					}
					child {
						node[black] (N211) {$E_3$}
					}
			}
	}
	child {
		node[black] (N1) {$E_1$}
			child {
				node[black] (N12) {\evcont{E_2}}
					child {
						node[black] (N122) {\evcont{E_3}}
					}
					child {
						node[black] (N121) {$E_3$}
					}
			}
			child {
				node[black] (N11) {$E_2$}
					child {
						node[black] (N112) {\evcont{E_3}}
					}
					child {
						node[black] (N111) {$E_3$}
					}
			}
	};
\node[below left, courbe2] at ($0.5*(O)+0.5*(N2)$) {0,8};
\node[above left, courbe2] at ($0.5*(O)+0.5*(N1)$) {0,2};

\node[above , courbe] at ($0.5*(N1)+0.5*(N11)$) {0,1};
\node[below , courbe] at ($0.5*(N1)+0.5*(N12)$) {0,9};
\node[above , courbe] at ($0.5*(N2)+0.5*(N21)$) {0,05};
\node[below , courbe] at ($0.5*(N2)+0.5*(N22)$) {0,95};

\node[above , courbe3] at ($0.5*(N11)+0.5*(N111)$) {0,1};
\node[below , courbe3] at ($0.5*(N11)+0.5*(N112)$) {0,9};
\node[above , courbe3] at ($0.5*(N12)+0.5*(N121)$) {0,05};
\node[below , courbe3] at ($0.5*(N12)+0.5*(N122)$) {0,95};
\node[above , courbe3] at ($0.5*(N21)+0.5*(N211)$) {0,1};
\node[below , courbe3] at ($0.5*(N21)+0.5*(N212)$) {0,9};
\node[above , courbe3] at ($0.5*(N22)+0.5*(N221)$) {0,05};
\node[below , courbe3] at ($0.5*(N22)+0.5*(N222)$) {0,95};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
\probavar{X}{2} & = P(E_1 \cap E_2 \cap \evcont{E_3}) + P(E_1 \cap \evcont{E_2} \cap E_3) + P(\evcont{E_1} \cap E_2 \cap E_3)\\
& = ( 0,2\times0,1\times0,9) + (0,2\times0,9\times0,05) + (0,8\times0,05\times0,1)\\
& = 0,031.
\end{aligned}$

\item L'espérance de $X$ est donnée par la formule:
\begin{align*}
\esp{X} & = \sum_{i=1}^4 x_iP(X=x_i)\\
		& = 1\times0,245 + 2\times0,031 + 3\times0,002\\
\Aboxed{\esp{X}	& = 0,313}
\end{align*}
\end{enumerate}

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
P(E_n \cap E_{n+1}) & = P(E_n) \times P_{E_n}(E_{n+1})\\
                    & = \underline{p_n \times 0,1}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
P(\overline{E_n} \cap E_{n+1}) & = P(\overline{E_n}) \times P_{\overline{E_n}}(E_{n+1})\\
                    & = (1-p_n) \times 0,05\\
                    & = \underline{0,05 - 0,05p_n}.
\end{aligned}$
\end{itemize}

\item $\begin{aligned}[t]
p_{n+1} & = P(E_{n+1})\\
        & = P(E_n \cap E_{n+1}) + P(\overline{E_n} \cap E_{n+1})\\
        & = 0,1p_n + 0,05 - 0,05p_n\\
\Aboxed{p_{n+1} & = 0,05p_n + 0,05}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1} & = p_{n+1} - \dfrac{1}{19}\\
	    & = 0,05p_n + 0,05 - \dfrac{1}{19}\\
	    & = \dfrac{1}{20}p_n + \dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{19}\\
	    & = \dfrac{1}{20}p_n - \dfrac{1}{20\times19}\\
	    & = \dfrac{1}{20}\left(p_n - \dfrac{1}{19}\right)\\
	    & = 0,05u_n.
\end{aligned}$

Ainsi, $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,05$ et de premier terme:
\[
u_1 = p_1-\dfrac{1}{19} = 0,2-\dfrac{1}{19}=\dfrac{14}{95}.
\]

\item On déduit que:
\[
u_n = u_1 \times q^{n-1} = \dfrac{14}{95}\times0,05^{n-1}
\]
et donc:
\[
p_n = u_n+\dfrac{1}{19}\qquad\text{soit}\qquad \boxed{ p_n = \dfrac{14}{95}\times0,05^{n-1} + \dfrac{1}{19} }
\]

\item $0 < 0,05 < 1$ donc $\limite{n}{+\infty}{\big(0,05^n\big) = 0}$. Ainsi, par somme des limites,
\[
\boxed{ \limite{n}{+\infty}{( p_n )} = \dfrac{1}{19} }
\]
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{C}

\begin{enumerate}
\item $S_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\dfrac{1}{19}$ donc, d'après le cours,
\begin{itemize}
\item L'espérance de $S_n$ est:
\[
\esp{$S_n$} = n \times p = \dfrac{n}{19};
\]

\item Sa variance est:
\[
\var{$S_n$} = n \times p \times (1-p) = \dfrac{n}{19}\times\dfrac{18}{19} = \dfrac{18n}{361}.
\]
\end{itemize}

\item 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item L'espérance de $F_n$ est:
\[
\esp{$F_n$} = \esp{$\dfrac{S_n}{n}$} = \dfrac{1}{n}\times\esp{$S_n$} = \dfrac{1}{n}\times \dfrac{n}{19} = \dfrac{1}{19}.
\]

\item Sa variance est:
\[
\var{$F_n$} = \dfrac{1}{n^2}\var{$S_n$} = \dfrac{1}{n^2}\times\dfrac{18n}{361} = \dfrac{18}{361n}.
\]
\end{itemize}

\item D'après le théorème de Bienaymé-Tchebychev,
\[
\forall \delta>0,\ P\left( | F_n - \esp{$F_n$} | \geqslant \delta \right) \leqslant \dfrac{\var{$F_n$}}{\delta^2}
\]
donc, en prenant $\delta=0,05$, on obtient:
\[
P\left( \left| F_n - \dfrac{1}{19} \right| \geqslant 0,05 \right) \leqslant \dfrac{18}{361n \times 0,05^2}
\]
soit:
\[
P\left( \left| F_n - \dfrac{1}{19} \right| \geqslant 0,05 \right) \leqslant \dfrac{\numprint{7200}}{361n}.
\]
\end{enumerate}

\item Pour garantir que $P\!\left(\left|F_n - \dfrac{1}{19}\right| \geqslant 0,05\right) \leqslant 0,01$, d'après la question précédente, il suffit de prendre:
\begin{align*}
\dfrac{\numprint{7200}}{361n} \leqslant 0,01 & \iff \dfrac{361n}{\numprint{7200}} \geqslant 100\\
& \iff 361n \geqslant \numprint{720000}\\
& \iff n \geqslant \dfrac{\numprint{720000}}{361}\\
& \iff n \geqslant \numprint{1995}.
\end{align*}

Cela signifie, dans le contexte de notre exercice, que le joueur doit faire au moins \numprint{1995} parties pour que la probabilité que la fréquence de ses défaites s'écarte d'au moins 0,05 de sa moyenne soit inférieure à 0,01.
\end{enumerate}
\end{exobb}

%%%

\begin{exobb}{4 points}
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.}

\textit{Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\bigskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Rijk.

\begin{enumerate}
\item On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne:
\[
\mathcal{P}\,:\, -x + 2y + z = 3
\]
et la droite $(d)$ de représentation paramétrique:
\[
(d) \,:\,
\begin{cases}
x = 1 + 2t\\
y = -1 + t\\
z = 2 - t
\end{cases},\quad t\in\R.
\]

\textbf{Affirmation 1:} $(d)$ coupe $\mathcal{P}$ en $I\coordEsp{-7}{-5}{6}$.

\item On considère 17 points de l'espace $A_1$, $A_2$, ..., $A_{17}$ que l'on souhaite relier les uns aux autres par un segment.

\textbf{Affirmation 2:} nous devons tracer $289$ segments.

\item On donne : $A_1\coordEsp{5}{-2}{6}$.

\textbf{Affirmation 3}: la distance de $A_1$ à $\mathcal{P}$ est égale à $\dfrac{\sqrt{30}}{5}$.

\item On considère la suite $\suite{u}{n}{}$ définie pour tout entier naturel $n$ par:
\[
u_n = \dfrac{3}{2}(1-r^n)\qquad\text{avec } r=\sqrt2-1.
\]
\textbf{Affirmation 4:} les points de coordonnées \coordEsp{u_n}{u_{n+1}}{u_{n+2}} appartiennent tous à $\mathcal{P}$.

\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On remplace $x$, $y$ et $z$ par respectivement $1+2t$, $-1+t$ et $2-t$ dans l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$ donnée dans l'énoncé:
\[
-(1+2t)+2(-1+t) + (2-t) = 3 \iff t = -4.
\]
Le plan et la droite sont donc sécants. Pour trouver les coordonnées du point d'intersection, on remplace $t$ par $-4$ dans la représentation paramétrique de $(d)$ donnée dans l'énoncé:
\[
\begin{cases}
x = 1 + 2(-4) = 1-8 = -7\\
y = -1 + (-4) = -5\\
z = 2 - (-4) = 6
\end{cases}
\]
Le point $I\coordEsp{-7}{-5}{6}$ est le point d'intersection de $(d)$ et $\mathcal{P}$.

\medskip

\underline{L'affirmation 1 est donc vraie.}

\bigskip

\item Des segments sont en fait des couples de points pris parmi les 17 points. Le nombre total de segments est donc égal à :
\[
\dbinom{17}{2} = 136.
\]
Il y a donc 136 segments qui relient les 17 points.

\underline{L'affirmation est donc fausse.}

\bigskip

\item D'après le cours, la distance de $A_1\coordEsp{5}{-2}{6}$ au plan $\mathcal{P}\,:\, -x + 2y + z = 3$ est:
\[
\dfrac{|-1\times5 + 2\times(-2) + 6 - 3|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+1^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt6.
\]

\underline{L'affirmation 3 est donc fausse.}

\bigskip

\item Pour vérifier si les points de coordonnées \coordEsp{u_n}{u_{n+1}}{u_{n+2}} appartiennent à $\mathcal{P}$, on peut vérifier si:
\[
\forall n\in\N,\ -u_n + 2u_{n+1} + u_{n+2} = 3.
\]
On calcule donc:
\begin{align*}
-u_n + 2u_{n+1} + u_{n+2} & = -\dfrac{3}{2}(1-r^n) + 2\left[ \dfrac{3}{2}(1-r^{n+1}) \right] + \dfrac{3}{2} (1-r^{n+2} )\\
& =  -\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}r^n + 3-3r\times r^n  + \dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}r^2r^{n}\\
& = -\dfrac{3}{2}+3+\dfrac{3}{2} + r^n \left( \dfrac{3}{2} -3r -\dfrac{3}{2}r^2\right)
\intertext{(on constate que $r^2 = 3-2\sqrt2 = 1-2(\sqrt2-1)=1-2r$)}
& = 3 + r^n\underbrace{\left( \dfrac{3}{2}-3r-\dfrac{3}{2}(1-2r)\right)}_{=0}\text{ car }r^2=1-2r\\
& = 3.
\end{align*}
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, points de coordonnées \coordEsp{u_n}{u_{n+1}}{u_{n+2}} appartiennent à $\mathcal{P}$.

\medskip

\underline{L'affirmation 4 est donc vraie.}
\end{enumerate}
\end{exobb}

\corrigesbb
