\chapter{Bac blanc 02}



\tcbstartrecording

% suites

\begin{exobb}{5 points}
Une population de bactéries évolue de la manière suivante: à chaque génération, chaque bactérie se divise, mais une partie meurt à cause d'un antibiotique. 

On désigne par $u_n$ le nombre de bactéries (en millier) dans la population au bout de $n$ heures, et on modélise cette suite à l'aide de la relation de récurrence suivante:
\[
u_{n+1}=\dfrac{4u_n-1}{2u_n+1}.
\]
On considère qu'au début, il y a \numprint{2000} bactéries. Donc, $u_0=2$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.

\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,
\[
u_{n+1} = 2 - \dfrac{3}{2u_n+1}.
\]

\item À l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel $n$,
\[
1 \leqslant u_{n+1} < u_n \leqslant 2.
\]

\item En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose:
\[
v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n-0,5}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique. On précisera alors sa raison et son premier terme.

\item En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$, en fonction de $n$.

\item Déterminer alors la limite de la suite $(u_n)$.

Interpréter dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Calcul de $u_1$ et $u_2$.
\begin{itemize}
\item $u_1 = \dfrac{4 \times 2 - 1}{2 \times 2 + 1} = \dfrac{7}{5}$.

\item $u_2 = \dfrac{4 \times \frac{7}{5} - 1}{2 \times \frac{7}{5} + 1} = \dfrac{\frac{28}{5} - 1}{\frac{14}{5} + 1} = \dfrac{\frac{23}{5}}{\frac{19}{5}} = \dfrac{23}{19}$.
\end{itemize}

\item Pour tout entier naturel $n$,
\[
4u_n - 1 = 2(2u_n + 1) - 3,
\]

donc :
\[
u_{n+1} = \frac{4u_n - 1}{2u_n + 1} = \frac{2(2u_n+1) - 3}{2u_n + 1} = 2 - \frac{3}{2u_n + 1}.
\]
 
\item Montrons par récurrence la propriété $\mathcal{P}(n)$ : « $1 \leqslant u_{n+1} < u_n \leqslant 2$ ».
 
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.} 

Pour $n = 0$ : $u_0 = 2$ et $u_1 = \dfrac{7}{5}$. On a bien $1 \leqslant \dfrac{7}{5} < 2 \leqslant 2$. $\mathcal{P}(0)$ est vraie.
 
\medskip
 
\item \textbf{Hérédité.} 
 
Supposons que $1 \leqslant u_{k+1} < u_k \leqslant 2$ pour un certain entier $k \geqslant 0$. 

Montrons que $1 \leqslant u_{k+2} < u_{k+1} \leqslant 2$.
 
\medskip
 
D'après la question 2, $u_{k+2} = 2 - \dfrac{3}{2u_{k+1}+1}$.
 
Par hypothèse de récurrence, 
\begin{align*}
1 \leqslant u_{k+1} < u_k \leqslant 2 & \Longrightarrow 2 \leqslant 2u_{k+1} < 2u_k < 4\\
& \Longrightarrow 3 \leqslant 2u_{k+1}+1 < 2u_k+1 \leqslant 5\\
& \Longrightarrow 1 \geqslant \frac{3}{2u_{k+1}+1} > \frac{3}{2u_k+1} \geqslant \frac{3}{5} \\
& \Longrightarrow -1 \leqslant -\frac{3}{2u_{k+1}+1} < -\frac{3}{2u_k+1} \leqslant -\frac{3}{5} \\
& \Longrightarrow 1 \leqslant 2-\frac{3}{2u_{k+1}+1} < 2-\frac{3}{2u_k+1} \leqslant \frac{7}{5} \\
& \Longrightarrow 1 \leqslant u_{k+2} < u_{k+1} \leqslant 2
\end{align*}

\medskip

\item \textbf{Conclusion.}

$\mathcal{P}(0)$ est vraie et, pour un entier $k\geqslant0$,  $\mathcal{P}(k) \Rightarrow \mathcal{P}(k+1)$ donc, d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}


\item  La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée (d'après la question précédente). Donc, d'après le théorème de convergence des suites monotones, $(u_n)$ converge vers une limite $\ell \geqslant 1$.
 
\item  On pose $v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n - \frac{1}{2}}$ pour tout entier naturel $n$.
 
\begin{enumerate}
\item Calculons $v_{n+1}$ :
\[
v_{n+1} = \frac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1} - \frac{1}{2}} = \frac{\dfrac{4u_n-1}{2u_n+1} - 1}{\dfrac{4u_n-1}{2u_n+1} - \dfrac{1}{2}}.
\]
 
\textit{Numérateur :}
\[
\frac{4u_n - 1}{2u_n+1} - 1 = \frac{4u_n - 1 - (2u_n+1)}{2u_n+1} = \frac{2u_n - 2}{2u_n+1} = \frac{2(u_n-1)}{2u_n+1}.
\]
 
\textit{Dénominateur :}
\[
\frac{4u_n-1}{2u_n+1} - \frac{1}{2} = \frac{2(4u_n-1) - (2u_n+1)}{2(2u_n+1)} = \frac{6u_n - 3}{2(2u_n+1)} = \frac{3(2u_n-1)}{2(2u_n+1)}.
\]
Donc :
\begin{align*}
v_{n+1} & = \frac{2(u_n-1)}{\cancel{2u_n+1}} \times \frac{2\cancel{(2u_n+1)}}{3(2u_n-1)}\\
& = \frac{2\times2(u_n-1)}{3(2u_n-1)}\\
& = \frac{2}{3} \times \frac{2(u_n-1)}{2\left(u_n-\frac12\right)}\\
& = \frac{2}{3} \times \frac{u_n - 1}{u_n - \frac{1}{2}} \\
& = \frac{2}{3} v_n.
\end{align*}
La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = \dfrac{2}{3}$.
 
Son premier terme est :
\[
v_0 = \frac{u_0 - 1}{u_0 - \frac{1}{2}} = \frac{2 - 1}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}.
\]
 
\item  $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$ et de premier terme $v_0 = \dfrac{2}{3}$, donc :
\[
v_n = v_0\times q^n = \frac{2}{3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^n = \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}.
\]
On a:
\begin{align*}
v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n - \frac{1}{2}} 
& \iff v_n \left(u_n - \frac{1}{2}\right) = u_n - 1\\
& \iff u_nv_n - \dfrac{1}{2}v_n = u_n-1\\
& \iff u_nv_n-u_n = \dfrac{1}{2}v_n-1\\
& \iff u_n(v_n-1) = \dfrac{1}{2}v_n - 1\\
& \iff u_n = \frac{\frac{1}{2}v_n - 1}{v_n - 1}\\
& \iff u_n = \frac{v_n - 2}{2(v_n - 1)}.
\end{align*}
En substituant $v_n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}$, on a:
\[
\boxed{u_n = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} - 2}{2\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} - 1\right)}}.
\]
 
\item $0 < \dfrac{2}{3} < 1$, donc $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^n}=0$. Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{(u_n)} = \frac{0 - 2}{2(0 - 1)} = \frac{-2}{-2} = 1$.

\textit{Interprétation :} la population de bactéries tend vers 1 (millier), soit \numprint{1000} bactéries. L'antibiotique ne détruit pas complètement la colonie, mais régule sa taille vers un seuil d'équilibre de \numprint{1000} bactéries.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exobb}

%%%

% fonction

\newpage

\begin{exobb}{5 points}
Une serre agricole est hermétiquement fermée pendant la nuit. Le matin, à $t = 0$, on active le système de ventilation. Un capteur mesure la concentration en CO$_2$ dans l'air brassé.
 
On modélise la concentration en CO$_2$ (en grammes par mètre cube) au bout de $t$ heures par la fonction $f$ définie sur $\intervFF{0}{5}$ par :
\[
f(t) = 6t\e^{-t}.
\]
 
\begin{enumerate}
 
\item Calculer $\limite{t}{+\infty}{f(t)}$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
 
\item Montrer que, pour tout réel $t \in \intervFF{0}{5}$ :
\[
f'(t) = 6(1 - t)\e^{-t}.
\]
    
\item Dresser alors le tableau de variations de $f$ sur $\intervFF{0}{5}$.
    
\item Déterminer la concentration maximale en CO$_2$ atteinte dans la serre. 
    
On donnera une valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

\item On admet que la dérivée seconde de $f(t)$ est $f''(t)=6(t-2)\e^{-t}$.
    
\'Etudier la convexité de $f$ sur \intervFF{0}{5}.

On précisera, s'il y a lieu, les coordonnées du point d'inflexion de la courbe représentative de $f$, en interprétant ce point d'inflexion dans le contexte de l'exercice.
 
\item 
\begin{enumerate}
\item En utilisant une intégration par parties, calculer:
\[
\int_0^5 f(x)\dx.
\]

\item En déduire la concentration moyenne $\mu$ en CO$_2$ à laquelle les plantes sont exposées durant les 5 heures de ventilation.

On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Compléter le programme (écrit en Python) suivant afin qu'il retourne le temps qui s'est écoulé avant que la concentration de CO$_2$ redevienne inférieure à \pourcent{50} de la concentration maximale.

\begin{python}
# on importe la fonction exponentielle
from math import exp

Cmax = 6 * exp(-1)
t = 1
C = ...

while C ...:
    t = t + 0.01
    C = ...
    
print(t)
\end{python}

\item Ce programme affiche la valeur : \og \texttt{2.68} \fg.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item  On sait que $\displaystyle\lim_{t \to +\infty}\big(  t\e^{-t} \big) = 0$ (croissances comparées), donc :
\[
\lim_{t \to +\infty} f(t) = 6 \times 0 = 0.
\]
 
\textit{Interprétation :} à long terme, la concentration en CO$_2$ tend vers 0. La ventilation finit par évacuer complètement le dioxyde de carbone accumulé dans la serre.
 

 
\item La fonction $f$ est le produit de $u(t) = 6t$ et $v(t) = \e^{-t}$, avec $u'(t) = 6$ et $v'(t) = -\e^{-t}$. Ainsi,
\begin{align*}
f'(t) & = u'(t)v(t) + u(t)v'(t)\\
      & = 6\e^{-t} + 6t \times (-\e^{-t})\\
      & = 6\e^{-t}(1 - t)\\
\Aboxed{f'(t) & = 6(1-t)\e^{-t}}
\end{align*}
 
\item  $\e^{-t} > 0$ pour tout $t$, le signe de $f'(t)$ est donc celui de $(1 - t)$. D'où le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[every node/.style = {fill=pagebb}]
\colorlet{white}{pagebb}
\tkzTabInit[espcl=4,deltacl=1]{$t$/0.5,$f'(t)$/0.5,$f(t)$/1}{0,1,5}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/$0$,+/$6\e^{-1}$,-/$30\e^{-5}$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
On calcule les valeurs aux bornes et au maximum :
\[
f(0) = 0, \qquad f(1) = 6\e^{-1}, \qquad f(5) = 30\e^{-5}.
\]

 
\item D'après le tableau de variations, $f$ atteint son maximum en $t = 1$ :
\[
f(1) = 6\e^{-1} \approx 2{,}21 \text{ g/m}^3.
\]
 
La concentration maximale en CO$_2$ dans la serre est d'environ $\mathbf{2,21}$\textbf{ g/m}$^3$, atteinte 1 heure après l'activation de la ventilation.
 
\item Pour tout réel $t$, $\e^{-t} > 0$ donc le signe de $f''(t)$ est celui de $(t - 2)$ :
\begin{itemize}
    \item $f''(t) < 0$ pour $t \in \intervFO{0}{2}$: la fonction est \textbf{concave}.
    \item $f''(t) > 0$ pour $t \in \intervOF{2}{5}$: la fonction est \textbf{convexe}.
        \item $f''(t) = 0$ pour $t = 2$.
\end{itemize}
 
$f''$ s'annule en changeant de signe en $t = 2$, donc la courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion en $t = 2$.
 
Ses coordonnées sont :
\[
\coord{2}{f(2)} = \coord{2}{12\e^{-2}}.
\]
 
\textit{Interprétation :} en $t = 2$, soit 2 heures après l'activation de la ventilation, la concentration décroît le plus rapidement. C'est le moment où le système de ventilation est le plus efficace pour évacuer le CO$_2$.
 
\item 
\begin{enumerate}
\item On pose :
\[
u(t) = 6t \quad \text{et} \quad v'(t) = \e^{-t},
\]
d'où :
\[
u'(t) = 6 \quad \text{et} \quad v(t) = -\e^{-t}.
\]
Par intégration par parties :
\[
\int_0^5 6t\e^{-t}\,\mathrm{d}t = \Big[-6t\e^{-t}\Big]_0^5 - \int_0^5 6 \times (-\e^{-t})\,\mathrm{d}t = \Big[-6t\e^{-t}\Big]_0^5 + \int_0^5 6\e^{-t}\,\mathrm{d}t.
\]
On calcule chaque terme :
\[
\Big[-6t\e^{-t}\Big]_0^5 = -30\e^{-5} - 0 = -30\e^{-5},
\]
\[
\int_0^5 6\e^{-t}\,\mathrm{d}t = \Big[-6\e^{-t}\Big]_0^5 = -6\e^{-5} + 6.
\]
Donc :
\[
\int_0^5 f(t)\,\mathrm{d}t = -30\e^{-5} + (-6\e^{-5} + 6) = 6 - 36\e^{-5}.
\]
 
\item La concentration moyenne sur $\intervFF{0}{5}$ est :
\[
\mu = \frac{1}{5}\int_0^5 f(t)\,\mathrm{d}t = \frac{6 - 36\e^{-5}}{5} \approx \frac{5{,}76}{5} \approx 1{,}15 \text{ g/m}^3.
\]
 
\textit{Interprétation :} durant les 5 heures de ventilation, les plantes sont exposées en moyenne à une concentration de CO$_2$ d'environ $1{,}15$ g/m$^3$.
\end{enumerate}
 
\item 
\begin{enumerate}
\item On cherche le premier instant $t > 1$ (après le maximum) où $f(t) < 0,5 \times C_{\max} = \dfrac{3}{\e}$.
 
Le programme dûment complété est le suivant:
\begin{python}
from math import exp

Cmax = 6 * exp(-1)
t = 1
C = 6*t*exp(-t)

while C >= 0.5*Cmax:
    t = t + 0.01
    C = 6*t*exp(-t)

print(t)
\end{python}

\item Le programme affiche $2,68 = 2\text{ h } + 0,68\times60\text{ min} \approx 2\text{ h }41\text{ min}$.
 
\textit{Interprétation :} environ $2$ heures $41$ minutes après le début de la ventilation, la concentration en CO$_2$ est redescendue à la moitié de sa valeur maximale.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{exobb}

% probabilités & combinatoires

\newpage

\begin{exobb}{5 points}
Une entreprise de cybersécurité étudie la robustesse des mots de passe utilisés par ses employés.

Les mots de passe sont composés à partir des dix chiffres $\{0, 1, 2, \ldots, 9\}$ et des 26 lettres majuscules de l'alphabet.

Un mot de passe est dit \textbf{fort} s'il contient au moins un chiffre parmi $\{8, 9\}$.

\bigskip

\partie{A: dénombrement}

Dans cette partie, on s'intéresse aux différentes façons de constituer des codes d'accès ou des mots de passe.

\begin{enumerate}

\item Un mot de passe est une suite ordonnée de 6 caractères, les répétitions étant autorisées.

Combien de mots de passe différents peut-on former ?

\item Un code d'accès temporaire est une suite ordonnée de 6 caractères tous distincts.

Combien de codes d'accès différents peut-on former ?

\item Un administrateur doit créer un code de validation en plaçant dans un ordre aléatoire les chiffres $1$, $2$, $3$ et $4$, chacun utilisé exactement une fois.

Combien de codes de validation différents sont possibles ?

\item Pour tester le nouveau système de sécurité, l'entreprise demande à 10 de ses 50 salariés de l'utiliser afin de voir leurs réactions.

Combien de groupes différents peut-on former ?

\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B: probabilités}

\textit{Dans cette partie, on arrondira les probabilités à $10^{-4}$ près si besoin.}

\medskip

Un employé crée un mot de passe en choisissant aléatoirement et de façon indépendante 8 chiffres parmi $\{0, 1, \ldots, 9\}$, les répétitions étant autorisées.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de chiffres parmi $\{8, 9\}$ dans ce mot de passe.

\begin{enumerate}

\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

\item Calculer $P(X = 0)$ et interpréter ce résultat.

\item Donner la formule qui permet de calculer $P(X = 1)$, puis en déterminer sa valeur.

\item En déduire $P(X \geqslant 2)$ et interpréter dans le contexte de l'exercice.

\item Calculer l'espérance $\esp{X}$ et la variance $\var{X}$. Interpréter $\esp{X}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\partie{C: concentration}


Un auditeur en sécurité analyse $n$ mots de passe d'employés, choisis indépendamment.

On suppose que chaque mot de passe a une probabilité $p = 0,2$ d'être fort.

On note:
\begin{itemize}
\item $X_i$ la variable aléatoire qui vaut 1 si le $i$-ème mot de passe est fort,  et 0 sinon,  pour tout entier $i$ tel que $1 \leqslant i \leqslant n$;
\item $F_n=\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}$ la proportion de mots de passe forts parmi les $n$ analysés.
\end{itemize}

\begin{enumerate}

\item Exprimer $\esp{$F_n$}$ en fonction de $n$ et justifier que $\var{$F_n$}=\dfrac{0,16}{n}$.

\item En déduire, à l'aide du théorème de Bienaymé-Tchebychev, une majoration de $P(|F_n - 0,2| \geqslant 0,1)$ en fonction de $n$.

\item Déterminer le nombre minimal de mots de passe $n$ que l'auditeur doit analyser pour garantir que :
\[
P\!\left(\left|F_n - 0{,}2\right| \geqslant 0,1\right) \leqslant 0,01.
\]
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\tcblower

\medskip

\partie{A: dénombrement}

\begin{enumerate}
\item Un mot de passe est ici un 6-uplet d'un ensemble à 36 éléments. En effet, chacun des 36 caractères peut être choisi pour les 6 qui composent le mot de passe.

\underline{Il y a donc $36^6$ mots de passe possibles.}

\item Un code d'accès temporaire est ici un arrangement de 6 caractères dans un ensemble à 36 éléments. 

\underline{Il y a donc $A_{36}^6 = 36\times35\times\cdots\times31=\numprint{1402410240}$ codes d'accès.}

\item Un code de validation est ici une permutation de l'ensemble \{1,2,3,4\}.

\underline{Il y a donc $4! = 24$ codes de validation différents possibles.}

\item Un groupe de 10 personnes prises parmi 50 est une combinaison (l'ordre ne compte pas dans un tel groupe).

\underline{Il y a donc $\dbinom{50}{10}=\numprint{10272278170}$ groupes différents possibles.}
\end{enumerate}

\newpage

\partie{B: probabilités}

\begin{enumerate}
\item On répète \textit{8 fois} de façon \textit{indépendante} l'expérience consistant à regarder si un chiffre du mot de passe est dans l'ensemble \{8,9\}, épreuve de Bernoulli de probabilité $\dfrac{2}{10}=0,2$.

Ainsi, le nombre $X$ de succès  à l'issue de ces 8 successions d'épreuves est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0,2$.

\item $P(X=0)$ est la probabilité qu'il n'y ait aucun chiffre de l'ensemble \{8,9\}.

Ainsi, 
\[
\boxed{ P(X=0)=(1-p)^8 = 0,8^8 \approx \numprint{0,1678} }
\]

\item La formule de Bernoulli nous permet de calculer:
\begin{align*}
P(X=1) & = \dbinom{8}{1}\times p^1 \times (1-p)^{8-1}\\
	   & = 8\times0,2\times0,8^7\\
\Aboxed{P(X=1) & \approx \numprint{0,3355}}
\end{align*}

\item La mention \og en déduire \fg{} nous incite à ne pas utiliser la calculatrice directement pour calculer cette probabilité.
\begin{align*}
P(X \geqslant 2) & = 1- P(X \leqslant 1)\\
				 & = 1- P(X=0) - P(X=1)\\
				 & \approx 1 - \numprint{0,1678} - \numprint{0,3355}\\
\Aboxed{P(X \geqslant 2) & \approx \numprint{0,4967} }
\end{align*}

\item $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\coord{8}{0,2}$ donc son espérance est:
\[
\esp{X} = n \times p = 8 \times 0,2 \iff \boxed{ \esp{X} = 1,6 }
\]
et sa variance  est:
\[
\var{X} = n \times p \times (1-p) = 8 \times 0,2 \times 0,8 \iff \boxed{ \var{X}= 1,28}
\]

\underline{Il y a donc en moyenne 1,6 chiffre qui sont soit 8, soit 9 dans un mot de passe.}
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{C: concentration}

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item L'espérance de $F_n$ est:
\begin{align*}
\esp{$F_n$} & = \esp{$\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$}\\
			& = \dfrac{1}{n}\esp{$X_1+\cdots+X_n$}\\
			& = \dfrac{1}{n}\times n\esp{$X_1$}\text{ par linéarité de l'espérance}\\
			& = \esp{$X_1$}\\
\Aboxed{\esp{$F_n$} & = 0,2}
\end{align*}

\columnbreak

Sa variance est alors:
\begin{align*}
\var{$F_n$} & = \dfrac{1}{n^2}\var{$X_1+\cdots+X_n$}\\
			& = \dfrac{1}{n^2} \times n \var{$X_1$}\text{ car les $X_i$ sont indépendantes}\\
			& = \dfrac{\var{$X_1$}}{n}\\
			& = \dfrac{0,2 \times 0,8}{n}\\
\Aboxed{\var{$F_n$} & = \dfrac{0,16}{n}}
\end{align*}
\end{multicols}

\item Le théorème de Bienaymé-Tchebychev stipule que:
\[
\forall \delta>0,\ P(|X-\esp{X}| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{\var{X}}{\delta^2}.
\]
En prenant $X=F_n$ et $\delta=0,1$, cela donne:
\[
P( | F_n - 0,2 | \geqslant 0,1 ) \leqslant \dfrac{0,16}{n\times0,1^2}
\]
soit:
\[
\boxed{ P( | F_n - 0,2 | \geqslant 0,1 ) \leqslant \dfrac{16}{n} }
\]

\item Pour garantir que $P\!\left(\left|F_n - 0,2\right| \geqslant 0,1\right) \leqslant 0,01$, il suffit de choisir $n$ tel que:
\begin{align*}
\dfrac{16}{n} \leqslant 10^{-2} & \iff \dfrac{n}{16} \geqslant 10^2\\
& \iff n \geqslant 100 \times 16\\
& \iff \boxed{ n \geqslant \numprint{1600} }
\end{align*}

Ainsi, en analysant au moins \numprint{1600} mots de passe, l'auditeur peut affirmer avec une probabilité supérieure ou égale à 0,99 que la proportion observée de mots de passe forts est comprise entre 0,1 et 0,3.
\end{enumerate}

\end{exobb}

% V/F géométrie dans l'espace

\begin{exobb}{5 points}
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.}

\textit{Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\bigskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Rijk.

\medskip

On considère le tétraèdre $ABCD$ de sommets :
\[
A(0\,;\,0\,;\,0), \quad B(6\,;\,0\,;\,0), \quad C(0\,;\,6\,;\,0), \quad D(0\,;\,0\,;\,6).
\]
On considère de plus le point $H\coordEsp{8}{8}{8}$.
\begin{enumerate}

\item \textbf{Affirmation 1:} le plan $(BCD)$ a pour équation cartésienne $x + y + z = 3$.

\item \textbf{Affirmation 2:} une représentation paramétrique de la droite $(AD)$ est :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x = 0 \\
y = 0 \\
z = 6t
\end{array}
\right.,
\quad t \in \mathbb{R}.
\]

\item \textbf{Affirmation 3:} la droite $(AH)$ coupe le plan $(BCD)$ au point $G\coordEsp{2}{2}{2}$.



\item \textbf{Affirmation 4:} les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes.



\item \textbf{Affirmation 5:} la distance du point $A$ au plan $(BCD)$ est égale à $2\sqrt{3}$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Il suffit de voir si les coordonnées des points $B$, $C$ et $D$ vérifient l'équation donnée. On voit assez rapidement que:
\[
x_B + y_B + z_B = 6  \neq 3. 
\]
$B$ n'appartient donc pas au plan d'équation $x+y+z=3$.

\medskip

\underline{L'affirmation 1 est donc fausse.}

\bigskip

\item La droite $(AD)$ passe par $A(0\,;\,0\,;\,0)$ et admet pour vecteur directeur $\vv{AD}\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}$. La représentation paramétrique donnée est donc bien une représentation de $(AD)$

\medskip

\underline{L'affirmation 2 est donc vraie.}

\bigskip

\item $x_G+y_G+z_G=2+2+2=6$ donc $G\in(BCD)$.

De plus, de manière immédiate, une représentation paramétrique de la droite $(AH)$ est:
\[
\begin{cases}
x=k\\
y=k\\
z=k
\end{cases},\ k\in\R.
\]
Donc $G\in(AH)$.

$G$ est donc l'intersection de la droite $(AH)$ et du plan $(BCD)$

\medskip

\underline{L'affirmation 3 est donc vraie.}

\newpage

\item On détermine des représentations paramétriques des droites $(AB)$ et $(CD)$.
 
\textbf{Droite\boldmath\ $(AB)$} : passe par $A(0\,;\,0\,;\,0)$, direction $\vv{AB}\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}$ :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x = 6s \\
y = 0 \\
z = 0
\end{array}
\right.,
\quad s \in \mathbb{R}.
\]
 
\textbf{Droite\boldmath\ $(CD)$} : passe par $C(0\,;\,6\,;\,0)$, direction $\vv{CD}\begin{pmatrix}0\\-6\\6 \end{pmatrix}$ :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x = 0 \\
y = 6 - 6t \\
z = 6t
\end{array}
\right.,
\quad t \in \mathbb{R}.
\]
 
Les vecteurs directeurs $\vv{AB}$ et $\vv{CD}$ ne sont pas colinéaires,
donc les droites ne sont pas parallèles.
 
Si elles étaient sécantes, il existerait $(s, t) \in \mathbb{R}^2$ vérifiant :
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
(i)  & 6s = 0 \\
(ii) & 0 = 6 - 6t \\
(iii)& 0 = 6t
\end{array}
\right.
\]
 
De $(i)$ : $s = 0$. 

De $(ii)$ : $t = 1$. 

De $(iii)$ : $t = 0$.

\medskip

Les équations $(ii)$ et $(iii)$ sont incompatibles : le système n'a pas de solution.
 
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont ni parallèles ni sécantes.

\medskip
 
\underline{L'affirmation 4 est donc fausse.}

\item Le plan $(BCD)$ a pour équation $x + y + z = 6$, soit $x + y + z - 6 = 0$.
 
La distance d'un point $P(x_0\,;\,y_0\,;\,z_0)$ à un plan $ax+by+cz+d=0$ est :
\[
\delta = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
\]
Avec $A(0\,;\,0\,;\,0)$, $a=b=c=1$ et $d=-6$ :
\[
\delta = \frac{|1\times 0 + 1\times 0 + 1\times 0 - 6|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}
= \frac{6}{\sqrt{3}}
= \frac{6\sqrt{3}}{3}
= 2\sqrt{3}.
\]

\underline{L'affirmation 5 est donc vraie.}
\end{enumerate}

\end{exobb}

\corrigesbb
