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	\fancyfoot[R]{\url{https://mathweb.fr}}
	\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\fontsize{18}{18}\selectfont\bfseries BACCALAURÉAT GÉNÉRAL}

\bigskip

ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

\bigskip

{\bfseries SESSION 2022}

\vspace*{1cm}

{\fontsize{20}{20}\selectfont\bfseries MATHÉMATIQUES}

\vspace*{1cm}

{\fontsize{10}{10}\selectfont\textit{(CORRIG\'E DU SUJET D'ENTRAÎNEMENT CONÇU POUR \url{https://mathweb.fr})}}

\vspace*{2cm}

Durée de l'épreuve : 4 heures

\vspace*{2cm}

{\itshape L'usage de la calculatrice en mode examen actif est autorisé.

L'usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé.}

\vspace*{1cm}

~%Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu'il comporte exactement 9 pages numérotées de 1 à 9.

\vspace*{2cm}

Le ou la candidat·e traite \textbf{4 exercices}: les exercices 1, 2 et 3, communs à tous les candidats, et un seul des exercices A ou B.

\vspace*{2cm}

{\itshape
Le ou la candidat·e est invité·e à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il ou elle aura développée.

\bigskip

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
}
\end{center}


\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{page}{1}
\pagestyle{fancy}
\paragraph*{Exercice 1, commun à tous les candidats (5 points)}~

\bigskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par:
\[
f(x)=\dfrac{x\ln(x)}{x+1}
\]
où $\ln$ désigne le logarithme népérien. 

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $\limite{x}{0}{f(x)}$.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,% Use 5cm total width,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
On sait d'après le cours que $\limite{x}{0}{x\ln(x)}=0$ (croissance comparée).

Par conséquent, $\boxed{\limite{x}{0}{f(x)}=\dfrac{0}{0+1}=0}$.
\end{tcolorbox}

\item Calculer $\limite{x}{+\infty}{f(x)}$.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,% Use 5cm total width,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
On peut avant tout écrire pour tout réel $x>0$: 
\[
f(x) = \dfrac{x}{x+1}\ln(x) = \dfrac{x}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}\ln(x)=\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}}\ln(x).
\]
Or, $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{1}{x}}=0$ et donc $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}}}=1$.

De plus, $\limite{x}{+\infty}{\ln(x)}=+\infty$.

Par conséquent, par produit, $\boxed{\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty}$.
\end{tcolorbox}

\end{enumerate}

\item On pose pour tout réel $x$ de l'intervalle \intervOO{0}{+\infty}:
\[
g(x)=1+x+\ln(x).
\]
On admet que $g'(x)=1+\dfrac{1}{x}$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que $g$ est strictement croissante sur \intervOO{0}{+\infty}.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,% Use 5cm total width,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
Pour tout réel $x>0$, $\dfrac{1}{x}>0$ et donc $1+\dfrac{1}{x}>0$.

\underline{Ainsi, $g'(x)>0$} sur \intervOO{0}{+\infty}, ce qui équivaut à dire que $g$ est strictement croissant sur cet intervalle.
\end{tcolorbox}

\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur \linebreak l'intervalle \intervFF{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{2}}; on notera $\alpha$ cette solution.

Donner une valeur approchée au millième de $\alpha$.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,% Use 5cm total width,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
\begin{itemize}
\item $g\left(\dfrac{1}{4}\right)=1+\dfrac{1}{4}+\ln\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}-\ln4\approx-0,136$;
\item $g\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}-\ln2\approx0,807$;
\item $g$ est strictement croissante et continue sur \intervFF{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{2}}.
\end{itemize}
\og 0 \fg{} est une valeur intermédiaire entre $g\left(\dfrac{1}{4}\right)$ et $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$.

Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur $\alpha$ sur \intervFF{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{2}} telle que $g(\alpha)=0$.

\medskip

À l'aide de la calculatrice, on trouve : $\boxed{\alpha \approx 0,278}$.
\end{tcolorbox}

\item\label{ex1-2c} En déduire le signe de $g(x)$ sur \intervOO{0}{+\infty}.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
D'après les questions précédentes, on peut déduire le tableau de signes suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.75 , $g(x)$/0.75}{0,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}                
\end{tcolorbox}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, on a:
\[
f'(x)=\dfrac{g(x)}{(x+1)^2}.
\]
\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
La dérivée de $u\;:\;x\mapsto x\ln(x)$ est:
\[
u'(x)=1\times\ln(x) + x\times\dfrac{1}{x}=\ln(x)+1.
\]
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $v(x)=x+1$, et donc $v'(x)=1$.

\medskip

Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'v-v'u}{v^2}(x)\\
& = \dfrac{\big(1+\ln(x)\big)(x+1)-x\ln(x)\times1}{(x+1)^2}\\
& = \dfrac{1+x+x\ln(x)+\ln(x)-x\ln(x)}{(x+1)^2}\\
& = \dfrac{1+x+\ln(x)}{(x+1)^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{g(x)}{(x+1)^2}}
\end{align*}
\end{tcolorbox}

\item En déduire les variations de $f$ sur \intervOO{0}{+\infty}.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
D'après la question précédente, $f'(x)$ est du signe de $g(x)$ car\linebreak $(x+1)^2>0$ sur \intervOO{0}{+\infty}.

Donc, d'après la question \ref{ex1-2c}, nous avons le tableau de variations suivants:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{node style/.style = {fill=gray!20}}
\tkzTabInit[deltacl=1]{$x$/0.75,$f$/1.5}{0,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabVar{D+/0,-/,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{tcolorbox}
\end{enumerate}

\item On pose $h(x)=\ln(x)$, dont la courbe représentative est notée $\mathcal{C}_h$.

Pour $x$ appartenant à l'intervalle \intervFO{1}{+\infty}, on considère le point H d'abscisse $x$ sur $\mathcal{C}_h$, et le point F, de même abscisse $x$, sur $\mathcal{C}_f$.

On note $d(x)$ la distance entre H et F en fonction de $x$.

\medskip

Montrer que $\limite{x}{+\infty}{d(x)}=0$.

Donner une interprétation graphique de ce dernier résultat.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
Par définition, 
\begin{align*}
d(x) & =|f(x)-\ln(x)|\\
     & = \left| \dfrac{x\ln(x)}{x+1} - \dfrac{(x+1)\ln(x)}{x+1} \right|\\
     & = \dfrac{\ln(x)}{x+1}.
\end{align*}
Note: $|\ln(x)|=\ln(x)$ pour $x\geqslant1$ car $\ln(x)\geqslant0$.

\medskip

Posons : $p(x) = \dfrac{1}{d(x)} = \dfrac{x+1}{\ln(x)}=\dfrac{x}{\ln(x)}+\dfrac{1}{\ln(x)}$.

On sait d'après le cours (croissance comparée) que 
$\limite{x}{+\infty}{\dfrac{\ln(x)}{x}}=0^+$ donc $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{x}{\ln(x)}}=+\infty$.

De plus, $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{1}{\ln(x)}}=\limite{X}{+\infty}{\dfrac{1}{X}}=0$.

Ainsi, par somme, $\limite{x}{+\infty}{p(x)}=+\infty$  et donc, par inverse, $\boxed{\limite{x}{+\infty}{d(x)}=0}$.

\medskip

Ainsi, la distance entre les points F et H se rapproche de 0; ayant la même abscisse, cela signifie que les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_h$ se rapprochent quand $x$ tend vers $+\infty$.
\end{tcolorbox}



\item On admet que les variations de la fonction $d$ sont données par le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.5,$d$/1}{1,$\beta$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/0,+/,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
où $\beta\approx3,591$.

\bigskip

On considère alors le programme suivant, écrit en langage Python:

\newpage

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,numbers=left,basicstyle=\ttfamily]
from math import log

def seuil(p):
    x = 3.59
    while log(x) >= (x+1)*10**(-p):
        x = x + 0.01
        
    return x
\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

On admet que \texttt{log(x)} renvoie la valeur du logarithme népérien de $x$.

L'appel à \texttt{seuil(2)} retourne la valeur \og 646.0999999995574 \fg.

Comment peut-on interpréter ce résultat ?


\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
Cette fonction Python retourne la première valeur de $x$ qui ne remplit pas la condition de la boucle \texttt{while}, donc la première valeur de $x$ pour laquelle:
\[
\ln(x) \leqslant (x+1)\times10^{-p},
\]
soit:
\[
d(x) \leqslant 10^{-p}.
\]
Le résultat de \texttt{seuil(2)} nous indique alors que la distance entre les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_h$ commence à être inférieure ou égale à 0,01 à partir de $x=646,1$.

Ainsi, pour des valeurs de $x$ supérieures à 646,1, $\ln(x)$ est une bonne approximation de $f(x)$ à 0,01 près.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate}

\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\paragraph*{Exercice 2, commun à tous les candidats (5 points)}~

\bigskip

\textit{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte pas ni enlève de point. Aucune justification n'est demandée. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.}

\bigskip

Soit $n$ un entier naturel.

Un mot \textit{bilitère} de longueur $n$ est une chaîne de $n$ caractères composée uniquement de deux lettres différentes. Par exemple, \og XXYXY \fg{} est un mot bilitère de longueur~5.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre de mots bilitères de longueur $n$ est égal à:

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*4{m{0.24\linewidth}}}
\item $2^n$ & \item $\dbinom{n}{2}$ & \item $2n$ & \item $\dfrac{n!}{2}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
\textbf{Réponse (a).} En effet, il y a deux choix possibles pour la première lettre, puis 2 choix possibles pour la deuxième, etc.

Sur un mot bilitère de $n$ lettres, il y a donc $\underbrace{2\times2\times\cdots\times2}_{n\text{ facteurs}}=2^n$ mots bilitères possibles.                
\end{tcolorbox}

\medskip

\item La probabilité qu'un mot bilitère de longueur 10 contienne exactement trois lettres identiques est à peu près égale à:

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*4{p{0.24\linewidth}}}
\item $0,711$ & \item $0,145$ & \item $0,117$ & \item $0,234$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
                 
\textbf{Réponse (d).} 

Notons \og A \fg{} et \og B \fg{} les lettres du mot bilitère.

La probabilité d'obtenir exactement 3 \og A \fg{} est égale à :
\[
\dbinom{10}{3}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10-3}=\dbinom{10}{3}\times\dfrac{1}{2^{10}},\]
qui est aussi la probabilité d'obtenir exactement 3 \og B \fg.

Donc la probabilité d'obtenir exactement trois lettres identiques est égale à $2\times\dbinom{10}{3}\times\dfrac{1}{2^{10}}=\dbinom{10}{3}\times\dfrac{1}{2^9}\approx0,234$.
\end{tcolorbox}

\medskip

\item On considère un mot bilitère de longueur 20 formé des lettres \og A \fg{} et \og B \fg. La probabilité qu'il contienne au moins cinq lettres \og A \fg{} est environ égale à:

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*4{p{0.24\linewidth}}}
\item $0,005$ & \item $0,994$ & \item $0,25$ & \item $0,5$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
\textbf{Réponse (b).}

Notons X la variable aléatoire représentant le nombre de \og A \fg{}   dans un mot bilitère de longueur 20. X suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=\dfrac{1}{2}$. On calcule donc à la calculatrice :
\[
\probavar[\geqslant]{X}{5}\approx0,994.
\]
\end{tcolorbox}

\medskip


\item On considère un mot bilitère de longueur 30 formé des lettres \og A \fg{} et \og B \fg. La probabilité qu'il contienne strictement moins de quinze lettres \og A \fg{} est environ égale à:

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*4{p{0.24\linewidth}}}
\item $0,572$ & \item $0,428$ & \item $0,607$ & \item $0,5$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
\textbf{Réponse (b).}

Notons Y la variable aléatoire représentant le nombre de \og A \fg{}   dans un mot bilitère de longueur 30. Y suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=\dfrac{1}{2}$. On calcule donc à la calculatrice :
\[
\probavar[\leqslant]{Y}{14}\approx0,428.
\]
\end{tcolorbox}

\item On considère un mot bilitère de longueur 50 formé des lettres \og A \fg{} et \og B \fg. La probabilité qu'il contienne un nombre de \og A \fg{} compris entre 20 (inclus) et 30 (inclus) est environ égale à:

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*4{p{0.24\linewidth}}}
\item $0,5$ & \item $0,881$ & \item $0,725$ & \item $0,779$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
\textbf{Réponse (b).}

Notons Z la variable aléatoire représentant le nombre de \og A \fg{}   dans un mot bilitère de longueur 50. Z suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=\dfrac{1}{2}$. On calcule donc à la calculatrice :
\[
\rm{P(20 \leqslant Z \leqslant 30)=P(Z\leqslant30)-P(Z\leqslant19)\approx0,881}
\]
\end{tcolorbox}
\end{enumerate}


\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\paragraph*{Exercice 3, commun à tous les candidats (5 points)}~

\bigskip

Lucas s'abonne à une salle de sports. Il a l'intention d'y aller chaque semaine. La probabilité qu'il y aille cette semaine est égale à 0,95.

Pour un entier naturel $n$, il estime que la probabilité qu'il y aille la $(n+1)$-ième semaine est égale à 0,8 s'il y est allé la $n$-ième semaine; sinon, la probabilité est de 0,95.

On note :
\begin{itemize}
\item $S_n$ l'événement : \og Lucas est allé à la salle de sports la $n$-ième semaine \fg;
\item $\overline{S_n}$ l'événement contraire de $S_n$;
\item $p_n$ la probabilité que l'événement $S_n$ soit réalisé.
\end{itemize}

Ainsi, $p_0=0,95$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_1=0,8075$.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
D'après la formule des probabilités totales,
\begin{align*}
\proba{S_1} & = \proba{S_0 \cap S_1} + \proba{\evcont{S_0} \cap S_1}\\
& = \proba{S_0}\times\probacond{S_1}{S_0} + 
\proba{ \evcont{S_0} } \times \probacond{S_1}{\evcont{S_0}}\\
& = 0,95 \times 0,8 + 0,05 \times 0,95\\
\Aboxed{ \proba{S_1} & = 0,8075}
\end{align*}
\end{tcolorbox}

\item Compléter l'arbre de probabilités suivant:

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=2]
\node (S1) at (4,1) {$S_n$};
\node (S1b) at (4,-1) {$\overline{S_n}$};
\draw (0,0) -- (S1.west);
\draw (0,0) -- (S1b.west);
%%%
\node (S1S2) at (8,1.5) {$S_{n+1}$};
\node (S1S2b) at (8,0.5) {$\overline{S_{n+1}}$};
\node (S1bS2) at (8,-0.5) {$S_{n+1}$};
\node (S1bS2b) at (8,-1.5) {$\overline{S_{n+1}}$};
\draw (S1.east) -- (S1S2.west);
\draw (S1.east) -- (S1S2b.west);
\draw (S1b.east) -- (S1bS2.west);
\draw (S1b.east) -- (S1bS2b.west);
%
\node[fill=gray!20] at ($0.5*(S1.west)$) {$p_n$};
\node[fill=gray!20] at ($0.5*(S1b.west)$) {$1-p_n$};
\node[fill=gray!20,text=red] at ($0.5*(S1S2.west)+0.5*(S1.east)$) {$0,8$};
\node[fill=gray!20,text=red] at ($0.5*(S1S2b.west)+0.5*(S1.east)$) {$0,2$};
\node[fill=gray!20,text=red] at ($0.5*(S1bS2.west)+0.5*(S1b.east)$) {$0,95$};
\node[fill=gray!20,text=red] at ($0.5*(S1bS2b.west)+0.5*(S1b.east)$) {$0,05$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{tcolorbox}

\newpage

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1}=0,95-0,15p_n$.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
D'après la formule des probabilités totales,
\begin{align*}
\proba{S_{n+1}} & = \proba{ S_n \cap S_{n+1} } + \proba{ \evcont{S_n} \cap S_{n+1} }\\
p_{n+1} & = \proba{S_n}\times\probacond{S_{n+1}}{S_n} + \proba{ \evcont{S_n} } \times \probacond{S_{n+1}}{ \evcont{S_n} }\\
& = p_n \times 0,8 + (1-p_n)\times0,95\\
& = 0,8pn + 0,95 - 0,95p_n\\
\Aboxed{ p_{n+1} & = 0,95 - 0,15p_n }
\end{align*}
\end{tcolorbox}

\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $p_n=\dfrac{57}{460}\times0,15^n+\dfrac{19}{23}$.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
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                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
Posons $\mathcal{P}_n$ la propriété: \og $p_n=\dfrac{57}{460}\times0,15^n+\dfrac{19}{23}$ \fg.
\begin{itemize}
\item $\mathcal{P}_0$ : $p_0=\dfrac{57}{460}+\dfrac{19}{23}=0,95$.

L'égalité est vraie donc $\mathcal{P}_0$ est vraie.

\item Supposons que pour un entier $k$ fixé, $\mathcal{P}_k$ est vraie.

Ainsi, $p_k=\dfrac{57}{460}\times0,15^k+\dfrac{19}{23}$.

Donc,
\begin{align*}
p_{k+1} & = 0,95-0,15p_k\\
& \text{(d'après la relation de récurrence de la suite }\suite{p}{n}{})\\
& = 0,95 - 0,15\times\left( \dfrac{57}{460}\times0,15^k+\dfrac{19}{23} \right) \\
& \text{(d'après l'hypothèse de récurrence)}\\
& = \dfrac{95}{100} - \dfrac{57}{460}\times0,15^{k+1} - \dfrac{15}{100}\times\dfrac{19}{23}\\
& = \dfrac{57}{460}\times0,15^{k+1} + \dfrac{19}{23}.
\end{align*}

Ainsi, $\mathcal{P}_k \Rightarrow \mathcal{P}_{k+1}$. L'hérédité est donc montrée.
\end{itemize}
D'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}_n$ est vraie pour tout entier naturel~$n$.
\end{tcolorbox}

\newpage

\item Calculer $\limite{n}{+\infty}{p_n}$. 

Interpréter ce résultat dans le cadre de cet exercice.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
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                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
$0 < 0,15 < 1$ donc $\limite{n}{+\infty}{0,15^n}=0$.

Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{57}{460}\times0,15^n}=0$ et donc $\boxed{ \limite{n}{+\infty}{p_n} = \dfrac{19}{23} }$

\medskip

On peut alors en conclure qu'à longs termes, la probabilité que Lucas aille à la salle de sports est égale à $\dfrac{19}{23}$, soit à peut près 0,826.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate}



\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
\bfseries EXERCICES AU CHOIX DU CANDIDAT (5 points)
\end{center}

{\bfseries Le ou la candidat·e doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il ou elle indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.

Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque\linebreak exercice sont indiqués dans un encadré. 
}

\medskip

\paragraph*{Exercice A}~\par 

\bigskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
\bfseries\itshape Principaux domaines abordés:

Géométrie dans l'espace: représentation paramétrique de droites,\linebreak équation cartésienne de plans, intersection d'une droite et d'un plan.
\end{minipage}}

\bigskip

On considère un cube ABCDEFGH. On place alors les points $I$, $J$, $K$ et $L$ tels que:
\[
\vv{AI}=\dfrac{3}{4}\vv{AB}\quad;\quad
\vv{CJ}=\dfrac{1}{2}\vv{CG}\qquad;\qquad
\vv{AK}=\dfrac{1}{4}\vv{AE}\quad;\quad
\vv{AL}=\dfrac{1}{2}\vv{AB}+\vv{AD}+\dfrac{1}{2}\vv{AE}.
\]
On considère le repère $\mathcal{R}=\big(A\;;\;\vv{AB},\vv{AD}\;;\;\vv{AE}\big)$.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{ex-espace.png}
\end{center}

\newpage

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points $K$, $L$, $I$ et $J$ dans le repère $\mathcal{R}$. 

Aucune justification n'est demandée.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
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                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
$K\coordEsp{0}{0}{\dfrac{1}{4}}\quad;\quad L\coordEsp{\dfrac{1}{2}}{1}{\dfrac{1}{2}}\quad;\quad I\coordEsp{\dfrac{3}{4}}{0}{0}\quad;\quad J\coordEsp{1}{1}{\dfrac{1}{2}}$  
\end{tcolorbox}

\item Montrer qu'une représentation paramétrique de $(IJ)$ est :
\[
\begin{cases}
x = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}t\\
y = t\\
z = \dfrac{1}{2}t
\end{cases}
\quad,\quad t\in\R.
\]
\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
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                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
$\vv{IJ}\begin{pmatrix}x_J-x_I\\y_J-y_I\\z_J-z_I\end{pmatrix}$ donc $\vv{IJ}\begin{pmatrix}1/4 \\ 1 \\ 1/2\end{pmatrix}$.

Ainsi, une représentation paramétrique de $(IJ)$ est:
\[
\begin{cases}
x = x_I + \frac{1}{4}t\\
y = y_I + 1t\\
z = z_I + \dfrac{1}{2}t
\end{cases}
\quad\text{soit}\quad
\begin{cases}
x = \dfrac{3}{4} + \frac{1}{4}t\\
y = t\\
z =\dfrac{1}{2}t
\end{cases}, t\in\R.
\]
\end{tcolorbox}
On admet qu'une représentation paramétrique de $(KL)$ est:
\[
\begin{cases}
x = \dfrac{1}{2}k\\
y = k\\
z = \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}k
\end{cases}\quad,\quad k\in\R.
\]

\newpage

\item Les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont-elles sécantes ?

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
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                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
Les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont sécantes s'il existe un couple \coord{t}{k} tel que :
\begin{align*}
\begin{cases}
x = \dfrac{3}{4} + \frac{1}{4}t = \dfrac{1}{2}k\\
y = t=k\\
z =\dfrac{1}{2}t=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}k
\end{cases}
\end{align*}
On en déduit alors que $t=k$ et la troisième ligne du système donne: $t=k=1$. La première ligne donne: $t=k=3$. Il y a donc contraction.

\underline{Les droites ne sont donc pas sécantes.}
\end{tcolorbox}

\item
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vv{EH}$ et $\vv{EI}$.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
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                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
$E\coordEsp{0}{0}{1}$ et $H\coordEsp{0}{1}{1}$ donc $\vv{EH}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$.

De plus, $\vv{EI}\begin{pmatrix}\frac{3}{4}-0\\0-0\\0-1\end{pmatrix}$, soit $\vv{EI}\begin{pmatrix}\frac{3}{4}\\0\\-1\end{pmatrix}$.
\end{tcolorbox}

\item Montrer que le vecteur $\vv{n}\begin{pmatrix}
4\\0\\3\end{pmatrix}$ est normal au plan $(EHI)$.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
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                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
\begin{itemize}
\item $\vv{EH}\cdot\vv{n}=0\times4 + 1\times0 + 0\times3 = 0$.
\item $\vv{EI}\cdot\vv{n}=\frac{3}{4}\times4 + 0\times0 - 1\times3=0$
\end{itemize}
Ainsi, $\vv{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EHI)$; \underline{il est donc normal à ce plan.}
\end{tcolorbox}

\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(EHI)$ est:
\[
4x+3z-3=0.
\]

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
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                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
On sait que si un vecteur $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ est normal à un plan, alors ce dernier admet pour équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$.

Donc, une équation cartésienne du plan $(EHI)$ est :
\[
4x+0y+3z+d=0.
\]
Or, $E\in(EHI)$ donc $4x_E+3z_E+d=0$, soit $d=-3$.

\underline{Une équation du plan $(EHI)$ est donc: $4x+3z-3=0$.}
\end{tcolorbox}
\end{enumerate}

\item Calculer les coordonnées du point d'intersection $P$ de la droite $(KL)$ et du plan $(EHI)$.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
Si $P$ est le point d'intersection du plan $(EHI)$ et de la droite $(KL)$, alors:
\begin{itemize}
\item $P\in(EHI)$ donc $4x_P+3z_P-3=0$;
\item $P\in(KL)$ donc $\begin{cases}
x_P = \dfrac{1}{2}k\\
y_P = k\\
z_P = \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}k
\end{cases}$, $k\in\R$.
\end{itemize}
En remplaçant les données de la représentation paramétrique de $(KL)$ dans l'équation cartésienne de $(EHI)$, on a alors:
\[
4\times\dfrac{1}{2}k + 3\times\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}k\right)-3=0
\]
soit:
\[
k=\dfrac{9}{11}.
\]
On obtient ainsi:
\[
\begin{cases}
x_P = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{9}{11}=\dfrac{9}{22}\\[8pt]
y_P = \dfrac{9}{11}\\[8pt]
z_P = \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\times\dfrac{9}{11}=\dfrac{5}{11}
\end{cases}\qquad\text{soit}\qquad \boxed{P\coordEsp{\frac{9}{22}}{\frac{9}{11}}{\frac{5}{11}}}
\]
\end{tcolorbox}
\end{enumerate}

\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\paragraph*{Exercice B}~\par 

\bigskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
\bfseries\itshape Principaux domaines abordés:

Fonction exponentielle, convexité.
\end{minipage}}

\bigskip

Une architecte souhaite construire un édifice dont la forme de la toiture serait la suivante :
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{exB-1.png}
\end{center}
Elle considère alors sa coupe transversale et la rapporte à un repère orthonormé, où l'unité est le mètre:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.66]{exB-2.png}
\end{center}
Elle souhaite que l'expression de la fonction dont la courbe représentative est donnée ci-dessus soit de la forme:
\[
f(x)=(ax^2+bx+c)\e^{1-x}
\]
où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.

\bigskip

Cette courbe doit passer par l'origine du repère ainsi que par le point $A\coord{1}{2}$ et l'équation réduite de sa tangente en A doit avoir un coefficient directeur égal à 1.

\pagebreak

\begin{enumerate}
\item Trouver les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
\end{enumerate} 

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
$f=u\times v$ avec $u(x)=ax^2+bx+c$, donc $u'(x)=2ax+b$, et $v(x)=\e^{1-x}$, donc $v'(x)=-\e^{1-x}$. Ainsi:

$f'(x)=(2ax+b)\e^{1-x}-(ax^2+bx+c)\e^{1-ax} = (-ax^2+(2a-b)x+b-c)\e^{1-x}$.

\begin{itemize}
\item $A\coord{1}{2}\in\mathcal{C}\iff f(1)=2 \iff a+b+c=2$.
\item $O\coord{0}{0}\in\mathcal{C}\iff c\e^{1}=0 \iff c = 0$.
\item $f'(1)=1 \iff -a+2a-b+b-c=1\iff a=1$.
\end{itemize}

On en déduit alors que $b=2-1-0=1$. Finalement,
\[
\boxed{f(x)=(x^2+x)\e^{1-x}}
\]
\end{tcolorbox}

\bigskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur \intervFF{0}{10} par: $f(x)=x(x+1)\e^{1-x}$.

\bigskip

\begin{enumerate}[start=2]
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur \intervFF{0}{10} et on note $f'$ sa dérivée.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x)=(-x^2+x+1)\e^{1-x}$.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc,
                 ]
On peut ici utiliser le résultat obtenu dans la question précédente en remplaçant $a$, $b$ et $c$ par respectivement 1, 1 et 0:
\[
f'(x)=(-ax^2+(2a-b)x+b-c)\e^{1-x}=(-x^2+x+1)\e^{1-x}.
\]
\end{tcolorbox}

\item En déduire la valeur de $x$ pour laquelle la fonction $f$ admet un maximum sur \intervFF{0}{10}.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
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                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc
                 ]
$f$ admet un maximum lorsque $f'(x)=0$ en changeant de signe.

$f'(x)=0 \iff -x^2+x+1=0$ car $\e^{1-x}\neq0$ pour tout réel $x$.

Le discriminant de $-x^2+x+1$ est:
\[
\Delta = 1^2 - 4\times(-1)\times1 = 5>0
\]
donc le polynôme admet deux racines réelles distinctes:
\[
x_1 = \dfrac{-1-\sqrt5}{-2}=\dfrac{1+\sqrt5}{2}>0\text{ et }x_2=\dfrac{-1+\sqrt5}{-2}=\dfrac{1-\sqrt5}{2}<0.
\]

Donc $f'(x)=0 \iff x=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$. Le maximum de $f$ est atteint pour cette valeur.
\end{tcolorbox}
\end{enumerate}

\item On admet que la dérivée seconde de $f$ est :
\[
f''(x)=(x^2-3x)\e^{1-x}.
\]
\begin{enumerate}
\item En déduire les coordonnées du point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$\linebreak représentative de la fonction $f$.

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
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                  arc=2mm, auto outer arc
                 ]
$\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion lorsque $f''(x)=0$ en changeant de signe.
\[
f''(x)=0 \iff x(x-3)=0 \iff x=0\text{ ou }x=3.
\]
Or, en $x=0$, $f''(x)$ ne peut pas changer de signe car $f$ est définie sur \intervFF{0}{10}. $f''(x)$ change de signe uniquement en $x=3$.

L'unique point d'inflexion à $\mathcal{C}$ est donc le point de coordonnées $\coord{3}{f(3)}$, \underline{soit $\coord{3}{12\e^{-2}}$.}
\end{tcolorbox}

\item L'architecte envisage de mettre des panneaux solaires sur la  toiture où la fonction est convexe, en raison de son orientation par rapport au soleil.

Sur quel intervalle de $x$ devra-t-elle mettre des panneaux solaires?

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc
                 ]
$f \text{ convexe } \iff f''(x)>0 \iff x(x-3)>0 \iff 3 < x < 10$.

\underline{L'architecte doit donc mettre les panneaux solaires sur \intervFF{3}{10}.}
\end{tcolorbox}

\end{enumerate}

\item On considère le programme suivant, écrit en Python, où les paramètres \texttt{a} et \texttt{b} sont les bornes d'un intervalle \intervFF{a}{b}.

\medskip

\begin{center}
\begin{minipage}{\linewidth}
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,numbers=left,basicstyle=\ttfamily]
f = lambda x: x * (x+1) * exp(1-x)

def longueur(a,b):
    x = a
    L = 0
    pas = 10**-5
    while x < b:
        L = L + sqrt( pas**2 + (f(x+pas)-f(x))**2 )
        x = x + pas
        
    return L
\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

On admet que :
\begin{itemize}
\item la ligne 1 de ce programme renvoie la valeur de $f(x)$ pour un $x$  donné;
\item la fonction Python \texttt{sqrt(x)} renvoie la valeur de $\sqrt{x}$;
\item la fonction Python \texttt{exp(x)} renvoie la valeur de $\e^x$.
\end{itemize}

Que renvoie cette fonction Python?
\end{enumerate}

\begin{tcolorbox}[colback=gray!20,%gray background
                  colframe=black,% black frame colour
                  width=\linewidth,
                  arc=2mm, auto outer arc
                 ]
La fonction Python effectue les instructions de la boucle \texttt{while} \textit{tant que} $x$ est strictement inférieur à $b$, donc inférieure à la borne supérieur de l'intervalle entré considéré. 

À la ligne 8, on voit que l'on affecte à la variable \texttt{L} la valeur précédente de cette variable à laquelle on ajoute \texttt{sqrt( pas**2 + (f(x+pas)-f(x))**2 )}, c'est-à-dire $\sqrt{pas^2 + \big[ f(x+pas)-f(x) \big]^2}$. Regardons sur un schéma:
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{exB-3.png}
\end{center}
Cette racine carrée calcule l'hypoténuse du triangle rectangle de côtés $f(x)$ et $f(x+pas)$: pour un \textit{pas} assez petit, cette hypoténuse est très proche de $\mathcal{C}$.

\medskip

La ligne 8 permet donc d'ajouter des petits segments qui sont tous très proches de $\mathcal{C}$.

\uline{La variable \texttt{L} contiendra donc, à l'issue de la boucle \texttt{while}, une valeur approchée de la longueur de la courbe $\mathcal{C}$.}
\end{tcolorbox}
\end{document}
