\documentclass[14pt]{extarticle}
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	\fancyfoot[R]{\thepage}
	\fancyfoot[L]{Sujet inédit conçu pour \url{https://mathweb.fr}}
	\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\fontsize{18}{18}\selectfont\bfseries BACCALAURÉAT GÉNÉRAL}

\bigskip

ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

\bigskip

{\bfseries SESSION 2022}

\vspace*{1cm}

{\fontsize{20}{20}\selectfont\bfseries MATHÉMATIQUES}

\vspace*{1cm}

{\fontsize{10}{10}\selectfont\textit{(SUJET D'ENTRAÎNEMENT CONÇU PAR STÉPHANE PASQUET pour \url{https://mathweb.fr})}}

\vspace*{2cm}

Durée de l'épreuve : 4 heures

\vspace*{2cm}

{\itshape L'usage de la calculatrice en mode examen actif est autorisé.

L'usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé.}

\vspace*{1cm}

Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu'il comporte exactement 8 pages numérotées de 1 à 8.

\vspace*{2cm}

Le ou la candidat·e traite \textbf{4 exercices}: les exercices 1, 2 et 3, communs à tous les candidats, et un seul des exercices A ou B.

\vspace*{2cm}

{\itshape
Le ou la candidat·e est invité·e à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il ou elle aura développée.

\bigskip

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
}
\end{center}


\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{page}{1}
\pagestyle{fancy}
\paragraph*{Exercice 1, commun à tous les candidats (5 points)}~

\bigskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par:
\[
f(x)=\dfrac{x\ln(x)}{x+1}
\]
où $\ln$ désigne le logarithme népérien. 

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $\limite{x}{0}{f(x)}$.
\item Calculer $\limite{x}{+\infty}{f(x)}$.
\end{enumerate}

\item On pose pour tout réel $x$ de l'intervalle \intervOO{0}{+\infty}:
\[
g(x)=1+x+\ln(x).
\]
On admet que $g'(x)=1+\dfrac{1}{x}$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que $g$ est strictement croissante sur \intervOO{0}{+\infty}.
\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur \linebreak l'intervalle \intervFF{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{2}}; on notera $\alpha$ cette solution.

Donner une valeur approchée au millième de $\alpha$.

\item En déduire le signe de $g(x)$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, on a:
\[
f'(x)=\dfrac{g(x)}{(x+1)^2}.
\]
\item En déduire les variations de $f$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\end{enumerate}

\item On pose $h(x)=\ln(x)$, dont la courbe représentative est notée $\mathcal{C}_h$.

Pour $x$ appartenant à l'intervalle \intervFO{1}{+\infty}, on considère le point H d'abscisse $x$ sur $\mathcal{C}_h$, et le point F, de même abscisse $x$, sur $\mathcal{C}_f$.

On note $d(x)$ la distance entre H et F en fonction de $x$.

\medskip

Montrer que $\limite{x}{+\infty}{d(x)}=0$.

Donner une interprétation graphique de ce dernier résultat.

\newpage

\item On admet que les variations de la fonction $d$ sont données par le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.5,$d$/1}{1,$\beta$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/0,+/,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
où $\beta\approx3,591$.

\bigskip

On considère alors le programme suivant, écrit en langage Python:

\medskip

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,numbers=left,basicstyle=\ttfamily]
from math import log

def seuil(p):
    x = 3.59
    while log(x) >= (x+1)*10**(-p):
        x = x + 0.01
        
    return x
\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

On admet que \texttt{log(x)} renvoie la valeur du logarithme népérien de $x$.

L'appel à \texttt{seuil(2)} retourne la valeur \og 646.0999999995574 \fg.

Comment peut-on interpréter ce résultat ?
\end{enumerate}

\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\paragraph*{Exercice 2, commun à tous les candidats (5 points)}~

\bigskip

\textit{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte pas ni enlève de point. Aucune justification n'est demandée. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.}

\bigskip

Soit $n$ un entier naturel.

Un mot \textit{bilitère} de longueur $n$ est une chaîne de $n$ caractères composée uniquement de deux lettres différentes. Par exemple, \og XXYXY \fg{} est un mot bilitère de longueur~5.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre de mots bilitères de longueur $n$ est égal à:

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*4{m{0.24\linewidth}}}
\item $2^n$ & \item $\dbinom{n}{2}$ & \item $2n$ & \item $\dfrac{n!}{2}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item La probabilité qu'un mot bilitère de longueur 10 contienne exactement trois lettres identiques est à peu près égale à:

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*4{p{0.24\linewidth}}}
\item $0,711$ & \item $0,145$ & \item $0,117$ & \item $0,234$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item On considère un mot bilitère de longueur 20 formé des lettres \og A \fg{} et \og B \fg. La probabilité qu'il contienne au moins cinq lettres \og A \fg{} est environ égale à:

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*4{p{0.24\linewidth}}}
\item $0,005$ & \item $0,994$ & \item $0,25$ & \item $0,5$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip


\item On considère un mot bilitère de longueur 30 formé des lettres \og A \fg{} et \og B \fg. La probabilité qu'il contienne strictement moins de quinze lettres \og A \fg{} est environ égale à:

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*4{p{0.24\linewidth}}}
\item $0,572$ & \item $0,428$ & \item $0,607$ & \item $0,5$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item On considère un mot bilitère de longueur 50 formé des lettres \og A \fg{} et \og B \fg. La probabilité qu'il contienne un nombre de \og A \fg{} compris entre 20 (inclus) et 30 (inclus) est environ égale à:

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*4{p{0.24\linewidth}}}
\item $0,5$ & \item $0,881$ & \item $0,725$ & \item $0,779$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\paragraph*{Exercice 3, commun à tous les candidats (5 points)}~

\bigskip

Lucas s'abonne à une salle de sports. Il a l'intention d'y aller chaque semaine. La probabilité qu'il y aille cette semaine est égale à 0,95.

Pour un entier naturel $n$, il estime que la probabilité qu'il y aille la $(n+1)$-ième semaine est égale à 0,8 s'il y est allé la $n$-ième semaine; sinon, la probabilité est de 0,95.

On note :
\begin{itemize}
\item $S_n$ l'événement : \og Lucas est allé à la salle de sports la $n$-ième semaine \fg;
\item $\overline{S_n}$ l'événement contraire de $S_n$;
\item $p_n$ la probabilité que l'événement $S_n$ soit réalisé.
\end{itemize}

Ainsi, $p_0=0,95$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_1=0,8075$.
\item Compléter l'arbre de probabilités suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=2]
\node (S1) at (4,1) {$S_n$};
\node (S1b) at (4,-1) {$\overline{S_n}$};
\draw (0,0) -- (S1.west);
\draw (0,0) -- (S1b.west);
%%%
\node (S1S2) at (8,1.5) {$S_{n+1}$};
\node (S1S2b) at (8,0.5) {$\overline{S_{n+1}}$};
\node (S1bS2) at (8,-0.5) {$S_{n+1}$};
\node (S1bS2b) at (8,-1.5) {$\overline{S_{n+1}}$};
\draw (S1.east) -- (S1S2.west);
\draw (S1.east) -- (S1S2b.west);
\draw (S1b.east) -- (S1bS2.west);
\draw (S1b.east) -- (S1bS2b.west);
%
\node[fill=white] at ($0.5*(S1.west)$) {$p_n$};
\node[fill=white] at ($0.5*(S1b.west)$) {$1-p_n$};
\node[fill=white] at ($0.5*(S1S2.west)+0.5*(S1.east)$) {$\cdots$};
\node[fill=white] at ($0.5*(S1S2b.west)+0.5*(S1.east)$) {$\cdots$};
\node[fill=white] at ($0.5*(S1bS2.west)+0.5*(S1b.east)$) {$\cdots$};
\node[fill=white] at ($0.5*(S1bS2b.west)+0.5*(S1b.east)$) {$\cdots$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1}=0,95-0,15p_n$.

\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,  $p_n=\dfrac{57}{460}\times0,15^n+\dfrac{19}{23}$.

\item Calculer $\limite{n}{+\infty}{p_n}$. 

Interpréter ce résultat dans le cadre de cet exercice.
\end{enumerate}



\newpage

\begin{center}
\bfseries EXERCICES AU CHOIX DU CANDIDAT (5 points)
\end{center}

{\bfseries Le ou la candidat·e doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il ou elle indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.

Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque\linebreak exercice sont indiqués dans un encadré. 
}

\medskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\paragraph*{Exercice A}~\par 

\bigskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
\bfseries\itshape Principaux domaines abordés:

Géométrie dans l'espace: représentation paramétrique de droites,\linebreak équation cartésienne de plans, intersection d'une droite et d'un plan.
\end{minipage}}

\bigskip

On considère un cube ABCDEFGH. On place alors les points $I$, $J$, $K$ et $L$ tels que:
\[
\vv{AI}=\dfrac{3}{4}\vv{AB}\quad;\quad
\vv{CJ}=\dfrac{1}{2}\vv{CG}\qquad;\qquad
\vv{AK}=\dfrac{1}{4}\vv{AE}\quad;\quad
\vv{AL}=\dfrac{1}{2}\vv{AB}+\vv{AD}+\dfrac{1}{2}\vv{AE}.
\]
On considère le repère $\mathcal{R}=\big(A\;;\;\vv{AB},\vv{AD}\;;\;\vv{AE}\big)$.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{ex-espace.png}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points $K$, $L$, $I$ et $J$ dans le repère $\mathcal{R}$. 

Aucune justification n'est demandée.

\item Montrer qu'une représentation paramétrique de $(IJ)$ est :
\[
\begin{cases}
x = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}t\\
y = t\\
z = \dfrac{1}{2}t
\end{cases}
\quad,\quad t\in\R.
\]
On admet qu'une représentation paramétrique de $(KL)$ est:
\[
\begin{cases}
x = \dfrac{1}{2}k\\
y = k\\
z = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}k
\end{cases}\quad,\quad k\in\R.
\]

\item Les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont-elles sécantes ?

\item
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vv{EH}$ et $\vv{EI}$.
\item Montrer que le vecteur $\vv{n}\begin{pmatrix}
4\\0\\3\end{pmatrix}$ est normal au plan $(EHI)$.
\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(EHI)$ est:
\[
4x+3z-3=0.
\]
\end{enumerate}

\item Calculer les coordonnées du point d'intersection $P$ de la droite $(KL)$ et du plan $(EHI)$.
\end{enumerate}

\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\paragraph*{Exercice B}~\par 

\bigskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
\bfseries\itshape Principaux domaines abordés:

Fonction exponentielle, convexité, Python.
\end{minipage}}

\bigskip

Une architecte souhaite construire un édifice dont la forme de la toiture serait la suivante :
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{exB-1.png}
\end{center}
Elle considère alors sa coupe transversale et la rapporte à un repère orthonormé, où l'unité est le mètre:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.66]{exB-2.png}
\end{center}
Elle souhaite que l'expression de la fonction dont la courbe représentative est donnée ci-dessus soit de la forme:
\[
f(x)=(ax^2+bx+c)\e^{1-x}
\]
où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.

\bigskip

Cette courbe doit passer par l'origine du repère ainsi que par le point $A\coord{1}{2}$ et l'équation réduite de sa tangente en A doit avoir un coefficient directeur égal à 1.

\pagebreak

\begin{enumerate}
\item Trouver les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
\end{enumerate} 

\bigskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur \intervFF{0}{10} par: $f(x)=x(x+1)\e^{1-x}$.

\bigskip

\begin{enumerate}[start=2]
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur \intervFF{0}{10} et on note $f'$ sa dérivée.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x)=(-x^2+x+1)\e^{1-x}$.

\item En déduire la valeur de $x$ pour laquelle la fonction $f$ admet un maximum sur \intervFF{0}{10}.
\end{enumerate}

\item On admet que la dérivée seconde de $f$ est :
\[
f''(x)=(x^2-3x)\e^{1-x}.
\]
\begin{enumerate}
\item En déduire les coordonnées du point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$\linebreak représentative de la fonction $f$.

\item L'architecte envisage de mettre des panneaux solaires sur la  toiture où la fonction est convexe, en raison de son orientation par rapport au soleil.

Sur quel intervalle de $x$ devra-t-elle mettre des panneaux solaires?
\end{enumerate}

\item On considère le programme suivant, écrit en Python, où les paramètres \texttt{a} et \texttt{b} sont les bornes d'un intervalle \intervFF{a}{b}.

\medskip

\begin{center}
\begin{minipage}{\linewidth}
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,numbers=left,basicstyle=\ttfamily]
f = lambda x: x * (x+1) * exp(1-x)

def longueur(a,b):
    x = a
    L = 0
    pas = 10**-5
    while x < b:
        L = L + sqrt( pas**2 + (f(x+pas)-f(x))**2 )
        x = x + pas
        
    return L
\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

On admet que :
\begin{itemize}
\item la ligne 1 de ce programme renvoie la valeur de $f(x)$ pour un $x$  donné;
\item la fonction Python \texttt{sqrt(x)} renvoie la valeur de $\sqrt{x}$;
\item la fonction Python \texttt{exp(x)} renvoie la valeur de $\e^x$.
\end{itemize}

Que renvoie cette fonction Python ?
\end{enumerate}
\end{document}
