
\begin{enumerate}
\item Les triangles A'CA et ACC' sont rectangles et ont tous les deux pour hypoténuse [AC].

Or, le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre son hypoténuse.

\uline{Par conséquent, A'CA et ACC' ont pour cercle circonscrit le cercle de diamètre [AC].}

\item Les points C, A, A' et C' sont sur un m\^eme cercle (de diamètre [AC]) ; de plus, les angles $\angle{CC'A'}$ et  $\angle{CAA'}$ interceptent le m\^eme arc $\wideparen{CA'}$. \uline{Ils ont donc la m\^eme mesure.}

\item 
\begin{enumerate}
\item Dans un triangle rectangle, les angles autres aigus sont complémentaires donc, dans le triangle ACA', $\angle{A'CA}+\angle{CAA'}=90\degres$.

De plus, $\angle{A'C'B}+\angle{CC'A'}=90\degres$.

On a donc : $\angle{A'CA}+\angle{CAA'}=\angle{A'C'B}+\angle{CC'A'}$.

\item D'après la question 2, on peut remplacer $\angle{CC'A'}$ par $\angle{CAA'}$ dans l'égalité de la question 3.b., ce qui donne :
\[
\angle{A'CA}+\cancel{\angle{CAA'}}=\angle{A'C'B}+\cancel{\angle{CAA'}}
\]
d'où :
\[
\uline{\angle{A'CA}=\angle{A'C'B}}.
\]
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Dans le triangle BCC' rectangle en C',
\begin{align*}
\cos\angle{CBC'} & = \dfrac{\text{BC'}}{\text{BC}}\\
\cos 75\degres & = \dfrac{\text{BC'}}{50}
\end{align*}
donc :
\[ \uline{\text{BC'}=50\cos 75\degres\approx12,94~\text{m}}.\]

\item Dans le triangle BA'A rectangle en A',
\begin{align*}
\cos\angle{A'BC'} & = \dfrac{\text{BA'}}{\text{BA}}\\
\cos 75\degres & = \dfrac{\text{BA'}}{40}
\end{align*}
donc :
\[ \uline{\text{BA'}=40\cos 75\degres\approx10,35~\text{m}}.\]
\end{enumerate}

\item Dans le triangle rectangle en BA'A rectangle en A', on a :
\begin{align*}
\sin\angle{A'BA} & = \dfrac{\text{AA'}}{\text{AB}}\\
\sin 75\degres & = \dfrac{\text{AA'}}{40}
\end{align*}
d'où :
\[
\text{AA'}=40\sin 75\degres.
\]
De plus,
\[ 
\text{CA'}=\text{CB}-\text{A'B}=50-40\cos 75\degres.\]
Donc, dans le triangle ACA' rectangle en A',
\begin{align*}
\tan\angle{ACA'} & = \dfrac{\text{AA'}}{\text{CA'}}\\
\tan\angle{ACA'}& = \dfrac{40\sin75\degres}{50-40\cos75\degres}\\
\tan\angle{ACA'} & \approx 0,975
\end{align*}
D'où :
\[
\uline{\angle{ACA'}\approx\tan^{-1}(0,975)\approx44\degres.}
\]
\end{enumerate}