\exercice[Le pré du président]

Le pré du président de l'Association des Matheux Agriculteurs (A.M.A.) est de forme triangulaire comme sur la figure ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\tkzInit[xmin= 0,xmax=8 ,ymin=0 ,ymax=7 ] \tkzClip[space=1]
\tkzDefPoint(0,0){C}
\tkzDefPoint(7,0){B}
\tkzDefPoint(5,6){A}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzDefMidPoint(C,B)\tkzGetPoint{I}
\tkzInterLC(A,C)(I,B)
\tkzGetSecondPoint{B'}
\tkzInterLC(A,B)(I,B)
\tkzGetFirstPoint{C'}
\tkzInterLL(B,B')(C,C')
\tkzGetPoint{H}
\tkzInterLL(A,H)(C,B)
\tkzGetPoint{A'}
\tkzDrawSegments[color=orange](C,C' A,A')% B,B')
\tkzMarkRightAngles(C,C',A C,A',A)
%\tkzDrawPoints(A,B,C,A',C',H)
%\tkzDefMidPoint(A,C)\tkzGetPoint{I}
%\tkzCalcLength[cm](A,I)\tkzGetLength{rAI}
%\tkzDrawCircle[R,dotted](I,\rAI cm)
%\tkzDrawSegments[color=red,dashed,line width=1.5pt](C,A A,A' C,C' C',A')
%
\tkzLabelPoints(B)
\tkzLabelPoints[above](A)
\tkzLabelPoints[below left](C)%,H)
\tkzLabelPoints[right](C')
\tkzLabelPoints[below](A')
%\tkzLabelPoints[left](B')
%\tkzMarkAngle[size=.75 cm,mkcolor=red](C,A,A')
%\tkzMarkAngle[size=.75 cm,mkcolor=red](C,C',A')
\end{tikzpicture}
\end{center}


En A', B' et C', il installe des cabanons, où (AA'), (BB') et (CC') sont les hauteurs de ce triangle.

\begin{enumerate}
\item Montrer que A' et C' sont sur le cercle de diamètre [AC].
\item En déduire que $\angle{CC'A'}$ et $\angle{CAA'}$ ont la m\^eme mesure.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\angle{CAA'}+\angle{A'CA}=\angle{CC'A'}+\angle{A'C'B}$.
\item En vous aidant de la question \fcolorbox{\colorItemBg}{\colorItemBg}{\color{\colorItem}2}, en déduire que $\angle{A'C'B}=\angle{A'CA}$
\end{enumerate}

\bigskip

\hspace*{-2em}
\begin{minipage}{\textwidth}
Il décide alors de reproduire la parcelle BA'C' du c\^oté du sommet C en formant la parcelle CEF.
\end{minipage}


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\tkzInit[xmin= 0,xmax=8 ,ymin=0 ,ymax=7] \tkzClip[space=1]
\tkzDefPoint(0,0){C}
\tkzDefPoint(7,0){B}
\tkzDefPoint(5,6){A}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzDefMidPoint(C,B)\tkzGetPoint{I}
\tkzInterLC(A,C)(I,B)
\tkzGetSecondPoint{B'}
\tkzInterLC(A,B)(I,B)
\tkzGetFirstPoint{C'}
\tkzInterLL(B,B')(C,C')
\tkzGetPoint{H}
\tkzInterLL(A,H)(C,B)
\tkzGetPoint{A'}
\tkzDrawSegments[color=orange](C,C' A,A')
\tkzMarkRightAngles(C,C',A C,A',A)
\tkzLabelPoints(B)
\tkzLabelPoints[above](A)
\tkzLabelPoints[below left](C)%,H)
\tkzLabelPoints[right](C')
\tkzLabelPoints[below](A')
\tkzCalcLength[cm](B,C')\tkzGetLength{d}
\tkzInterLC[R](C,B)(C,\d cm) \tkzGetPoints{e}{E}
\tkzLabelPoints[below](E)
\tkzCalcLength[cm](C',A')\tkzGetLength{dd}
\tkzInterLC[R](C,A)(C,\dd cm) \tkzGetPoints{f}{F}
\tkzLabelPoints[left](F)
\tkzDrawSegments(E,F A',C')
\tkzMarkSegment[color=blue,size=2pt,pos=0.4, mark=s](C',B)
\tkzMarkSegment[color=blue,size=2pt,pos=0.4, mark=s](C,E)
\tkzMarkSegment[color=red,size=2pt,pos=0.4, mark=s|](A',C')
\tkzMarkSegment[color=red,size=2pt,pos=0.4, mark=s|](C,F)
\end{tikzpicture}
\end{center}

\textit{Les résultats des questions 3.a. et 3.b. seront donnés au centième.}

\item Il sait que $\angle{CBA}=75\degres$, $\text{BC}=50$~m et $\text{BA}=40$~m.

\begin{enumerate}
\item Calculer BC'.
\item Calculer BA'.
\end{enumerate}

\item \textit{Dans cette question, toute trace de recherche, m\^eme incomplète, sera prise en compte dans la note finale.}

Calculer une valeur approchée à l'unité de $\angle{A'CA}$.
\end{enumerate}