\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item S'il y a 10 barreaux, il y a 9 espacements entre chacun d'eux.\\
La longueur totale des barreaux mis bout-à-bout est égale à : $10x$ cm. Il reste donc $400-10x$ cm (4 mètres = 400 cm) à répartir en 9 espacements entre chaque barreaux. Donc :
\[ f(x)=\dfrac{400-10x}{9}\]
soit :
\[ f(x) = \dfrac{400}{9}-\dfrac{10}{9}x.\]

\item \par~
\begin{align*}
1\leqslant x\leqslant 2 & \\
-\dfrac{10}{9} \geqslant -\dfrac{10}{9}x \geqslant -\dfrac{10}{9}\times 2 & \qquad{\small\text{On multiplie par $-\dfrac{10}{9}$ donc on change les signes}}\\
-\dfrac{20}{9}\leqslant -\dfrac{10}{9}x \leqslant -\dfrac{10}{9} & \qquad\text{On remet dans le sens le plus conventionnel}\\
-\dfrac{20}{9}+\dfrac{400}{9}\leqslant -\dfrac{10}{9}x+\dfrac{400}{9} \leqslant -\dfrac{10}{9}+\dfrac{400}{9}\\
\dfrac{380}{9}\leqslant f(x)\leqslant\dfrac{390}{9}
\end{align*}

\item $f(x)$ représente la distance entre chaque barreau, distance qui doit \^etre inférieure à 1 cm d'après l'énoncé. Or, $\dfrac{380}{9}\approx42,22$ donc $f(x)$ ne remplit pas ici cette condition.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item En remplaçant \og 10 \fg{} par \og $n$ \fg{} dans le raisonnement de la question 1, on trouve :
\[ 
\dfrac{400-2n}{n-1}\leqslant f(x)\leqslant \dfrac{400-n}{n-1}.\]

On veut que $f(x)\leqslant1$ donc :
\[ \dfrac{400-n}{n-1}\leqslant 1.\]

\item On résout l'inéquation $\dfrac{400-n}{n-1}\leqslant 1$ :

\begin{align*}
\dfrac{400-n}{n-1}& \leqslant 1\\
\dfrac{400-n}{n-1}- 1& \leqslant0\\
\dfrac{400-n}{n-1}-\dfrac{n-1}{n-1} & \leqslant 0\\
\dfrac{400-n-(n-1)}{n-1}&\leqslant0\\
\dfrac{401-2n}{n-1}&\leqslant0
\end{align*}

Comme $n-1\geqslant0$, cela signifie :

\begin{align*}
401-2n & \leqslant 0\\
401 & \leqslant 2n\\
\dfrac{401}{2} & \leqslant n\\
n & \geqslant \dfrac{401}{2}\\
n & \geqslant 200,5
\end{align*}

Mais $n$ est un entier. Donc la plus petite valeur de $n$ est 201.\\
Il faut donc au minimum 201 barreaux.
\end{enumerate}
\end{enumerate}