\exercice[Les barreaux de portail]

Un constructeur de portails propose le modèle suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\foreach\x in {0,1.5,...,10.5}
{
	\filldraw[fill=gray!50] (\x,0) rectangle+(1,3);
	\draw[<->,>=stealth'] (\x,1.5) -- ({\x+1},1.5) node[midway,above] {$x$};
	 \draw[<->,>=stealth'] ({\x+1},0.75) -- ({\x+1.5},0.75) node[midway,above] {$d$};
}
\filldraw[fill=gray!50] (12,0) rectangle+(1,3);
	\draw[<->,>=stealth'] (12,1.5) -- (13,1.5) node[midway,above] {$x$};
\filldraw[fill=gray] (0,0) rectangle (13,-1);
\filldraw[fill=gray] (0,3) rectangle +(13,1);
\draw[<->,>=stealth'] (0,-1.5) -- (13,-1.5) node[midway,below] {4 mètres};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Les rectangles en gris clair sont appelés les \og barreaux \fg{} du portail. Ils ont tous la m\^eme largeur notée $x$ (exprimée en cm).\\
Entre chaque barreau, il y a la m\^eme distance $d$. Par mesure de sécurité, il faut que $d\leqslant1$ cm.\\
Le nombre de barreaux n'est pas connu mais le constructeur souhaite que $1\leqslant x\leqslant 2$.

\begin{enumerate}
\item On suppose qu'il y a 10 barreaux.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la distance entre chacun d'eux s'exprime par la fonction $f$ telle que :
\[
f(x)=\dfrac{400}{9}-\dfrac{10}{9}x.
\]
\item Montrer que la condition sur $x$ mène à l'encadrement suivant :
\[
\dfrac{380}{9}\leqslant f(x)\leqslant\dfrac{390}{9}.
\]
\item Peut-il y avoir 10 barreaux ? Justifier.
\end{enumerate}

\item On note dans cette question $n$ le nombre de barreaux.
\begin{enumerate}
\item Après avoir justifié rapidement que :
\[ 
\dfrac{400-2n}{n-1}\leqslant f(x)\leqslant \dfrac{400-n}{n-1},\]
justifier que :
\[ \dfrac{400-n}{n-1}\leqslant 1.\]

\item Quel est le minimum de barreaux possible ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}