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\setlength{\parindent}{0pt}
\author{Stéphane PASQUET}
\title{Calculs sur les fractions}
\begin{document}
\section*{Exercice 1}
Effectuez les calculs suivants et donner les résultats sous une forme simplifiée.
\[
A=\dfrac{3}{2}\times8-\dfrac{1}{7}\qquad ; \qquad
B=\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{2}{5}\qquad;\qquad
C=\dfrac{7}{4}\div2-\dfrac{3}{4}
\]
\[
D = \left(\dfrac{3}{7}+\dfrac{7}{3}\right)\div29\qquad;\qquad
E=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{27}{28}-\dfrac{3}{2}\div\dfrac{30}{22}
\]

\section*{Exercice 2}

Le tiers d'un troupeau de moutons a été mangé par un loup. Les trois quarts des moutons qui n'ont pas été dévorés sont destinés à l'abattoir. Le reste est destiné à être gardés.

Quelle fraction du troupeau initial est destinée à être gardée ?

\section*{Exercice 3}

Quelle est la moyenne des nombres $\dfrac{5}{7}$ et $\dfrac{9}{8}$ ?

\newpage

\begin{center}
\begin{Large}
Corrigé
\end{Large}
\end{center}

\section*{Exercice 1}
Effectuez les calculs suivants et donner les résultats sous une forme simplifiée.

\begin{multicols}{3}
$\begin{aligned}[t]
A & =\dfrac{3}{2}\times8-\dfrac{1}{7}\\
& = \dfrac{3\times8}{2\times1}-\dfrac{1}{7}\\
& = \dfrac{24}{2}-\dfrac{1}{7}\\
& = \dfrac{12}{1}-\dfrac{1}{7}\\
& = \dfrac{12\times7}{1\times7}-\dfrac{1}{7}\\
& = \dfrac{84}{7}-\dfrac{1}{7}\\
\Aboxed{A& = \dfrac{83}{7}}
\end{aligned}$


$\begin{aligned}[t]
B & =\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{2}{5}\\
& = \left(\dfrac{1\times4}{5\times4}-\dfrac{1\times5}{4\times5}\right)+\dfrac{2}{5}\\
& = \left(\dfrac{4}{20}-\dfrac{5}{20}\right)+\dfrac{2}{5}\\
& = -\dfrac{1}{20}+\dfrac{2}{5}\\
& = -\dfrac{1}{20}+\dfrac{2\times4}{5\times4}\\
& = -\dfrac{1}{20}+\dfrac{8}{20}\\
\Aboxed{B & = \dfrac{7}{20}}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
C & =\dfrac{7}{4}\div2-\dfrac{3}{4}\\
& = \dfrac{7}{4}\times\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}\\
& = \dfrac{7}{8}-\dfrac{3}{4}\\
& = \dfrac{7}{8}-\dfrac{3\times2}{4\times2}\\
& = \dfrac{7}{8}-\dfrac{6}{8}\\
\Aboxed{C& = \dfrac{1}{8}}
\end{aligned}$
\end{multicols}

\medskip

\begin{multicols}{2}
$\begin{aligned}[t]
D & = \left(\dfrac{3}{7}+\dfrac{7}{3}\right)\div29\\
& = \left(\dfrac{3\times3}{7\times3}+\dfrac{7\times7}{3\times7}\right)\times\dfrac{1}{29}\\
& = \left(\dfrac{9}{21}+\dfrac{49}{21}\right)\times\dfrac{1}{29}\\
& = \dfrac{58}{21}\times\dfrac{1}{29}\\
& = \dfrac{2\times29}{21\times29}\\
\Aboxed{D & = \dfrac{2}{21}}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
E&=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{27}{28}-\dfrac{3}{2}\div\dfrac{30}{22}\\
& = \dfrac{2\times3\times9}{3\times2\times14}-\dfrac{3}{2}\times
\dfrac{22}{30}\\
& = \dfrac{9}{14}-\dfrac{3\times2\times11}{2\times3\times10}\\
& = \dfrac{9}{14}-\dfrac{11}{10}\\
& = \dfrac{9\times5}{14\times5}-\dfrac{11\times7}{10\times7}\\
& = \dfrac{45}{70}-\dfrac{77}{70}\\
& = -\dfrac{32}{70}\\
\Aboxed{E & = -\dfrac{16}{35}}
\end{aligned}$
\end{multicols}

\section*{Exercice 2}

Le tiers d'un troupeau est mangé donc il reste $\dfrac{2}{3}$ du troupeau.

Les trois quarts de ce qui reste vont à l'abattoir, donc les $\dfrac{3}{4}$ des $\dfrac{2}{3}$ : $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2}$.

\medskip

En tout, il manque $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6}$ du troupeau donc il en reste $\dfrac{1}{6}$.

\medskip

Conclusion : $\dfrac{1}{6}$ du troupeau initial est gardé.

\section*{Exercice 3}

On doit calculer : 
\begin{align*}
\dfrac{\dfrac{5}{7}+\dfrac{9}{8}}{2} & = \dfrac{\dfrac{5\times8}{7\times8}+\dfrac{9\times7}{8\times7}}{2}\\[10pt]
& = \dfrac{\dfrac{40}{56}+\dfrac{63}{56}}{2}\\[10pt]
& = \dfrac{\dfrac{103}{56}}{2}\\[10pt]
& = \dfrac{103}{56}\times\dfrac{1}{2}\\[10pt]
& = \boxed{\dfrac{103}{112}}
\end{align*} 

Donc la moyenne de $\dfrac{5}{7}$ et $\dfrac{9}{8}$ est égale à $\dfrac{103}{112}$.
\end{document}