\documentclass[12pt]{book}
\usepackage{pas-exos}

\newcommand{\fig}
{%
\tkzInit
\tkzDefPoint[label=above:$O$](0,0){O}
\tkzDefPoint[label=below left:$M$](210:4){M}
\tkzDefPointsBy[rotation=center O angle 130](M){A}
\tkzDefPointsBy[rotation=center O angle 70](A){B}
\tkzDrawPoints(O,M,A,B)
\tkzLabelPoint[above](B){$B$}
\tkzLabelPoint(A){$A$}
\tkzDrawCircle(O,A)
}
\newcommand{\figuu}
{%
\tkzInit
\tkzDefPoint[label=above:$O$](0,0){O}
\tkzDefPoint[label=below left:$M$](210:4){M}
\tkzDefPointsBy[rotation=center O angle 130](M){A}
\tkzDefPointsBy[rotation=center O angle 30](A){B}
\tkzDrawPoints(O,M,A,B)
\tkzLabelPoint[above](B){$B$}
\tkzLabelPoint(A){$A$}
\tkzDrawCircle(O,A)
}
\begin{document}

\chapter*{Th�or�me de l'angle au centre}


\begin{tikzpicture}
\node[rectangle,draw=black,fill=gray!20,rounded corners, minimum width=\linewidth, inner ysep=5mm] (thm)
{
\begin{minipage}{\textwidth}
Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre O. Soient alors A et B deux points sur $\mathcal{C}$ et M un point sur le grand arc $\arc{AB}$.\\
Alors, $\angle{AOB}=2\widehat{AMB}$.
\end{minipage}
};
\node[right,fill=gray!80,text=white,draw=black,inner xsep=3mm] at ($(thm.north west)+(.5,0)$) {\textbf{Enonc� du th�or�me}};
\end{tikzpicture}

Voici sa d�monstration :

% Etape 1

\begin{minipage}{.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=.75]
\fig
\tkzDefPointsBy[symmetry=center O](M,A){}
\tkzLabelPoint[right](M'){$M'$}
\draw[dotted,red] (O) -- (M');
\draw[red] (O) -- (M) -- (A);
\draw[blue] (O) -- (A);
\fill[fill=red!20,draw=red] (M) -- (barycentric cs:M=.9,A=.1) arc (0:35:5mm) -- cycle;
\fill[fill=blue!20,draw=blue] (O) -- (-20:5mm) arc (-20:30:5mm) -- cycle;
\fill[fill=green!20,draw=green!50!black] (O) -- (210:5mm) arc (210:340:5mm) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5\textwidth}
Soit M' le sym�trique de M par rapport � O.\\
Dans le triangle AOM isoc�le en O, la somme de la mesure des angles est �gale � $180^{\circ}$ et les angles � la base ont la m�me mesure ; donc : \[ \widehat{AOM}=180^{\circ}-2\widehat{AMO} \]
De plus, $\widehat{AOM}+\widehat{AOM^\prime}=180^{\circ}$ car ce sont deux angles adjacents suppl�mentaires. D'o� :\[ \widehat{AOM}=180^{\circ}-\widehat{AOM^\prime} \]
On en d�duit alors l'�galit� suivante : \[ 180^{\circ}-\widehat{AOM^\prime}=180^{\circ}-2\widehat{AMO} \]
D'o� : \[ 2\widehat{AMO}=\widehat{AOM^\prime} \]
\end{minipage}

% Etape 2

\begin{minipage}{.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=.75]
\fig
\tkzDefPointsBy[symmetry=center O](M,A){}
\tkzLabelPoint[right](M'){$M'$}
\draw[dotted,red] (O) -- (M');
\draw[red] (O) -- (M) -- (A);
\draw[blue] (O) -- (A);
\draw[red] (M) -- (B);
\draw[blue] (O) -- (B);
\fill[fill=red!20,draw=red] (M) -- (barycentric cs:M=.9,A=.1) arc (0:35:5mm) -- cycle;
\fill[fill=blue!20,draw=blue] (O) -- (-20:5mm) arc (-20:30:5mm) -- cycle;
\fill[fill=green!20,draw=green!50!black] (O) -- (30:10mm) arc (30:50:10mm) -- cycle;
\fill[fill=orange!20,draw=orange] (M) -- (barycentric cs:M=.75,O=.25) arc (0:30:4mm) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5\textwidth}
Examinons le cas est le cas o� A et B sont de part et d'autre de [MM'] : On remarque que : \[ \widehat{AMB}=\widehat{AMO}+\widehat{BMO} \] et \[ \widehat{AOB}=\widehat{AOM^\prime}+\widehat{BOM^\prime}\] Ainsi : \[ \widehat{AOB} = 2\widehat{AMO} + 2\widehat{BMO} = 2(\widehat{AMO} + \widehat{BMO}) = 2\widehat{AMB}\]
\end{minipage}

% Etape 3

\begin{minipage}{.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=.75]
\figuu
\tkzDefPointsBy[symmetry=center O](M,A){}
\tkzLabelPoint[right](M'){$M'$}
\draw[dotted,red] (O) -- (M');
\draw[red] (O) -- (M) -- (A);
\draw[blue] (O) -- (A);
\draw[red] (M) -- (B);
\draw[blue] (O) -- (B);
\fill[fill=red!20,draw=red] (M) -- (barycentric cs:M=.9,A=.1) arc (0:35:5mm) -- cycle;
\fill[fill=blue!20,draw=blue] (O) -- (-20:5mm) arc (-20:30:5mm) -- cycle;
\fill[fill=green!20,draw=green!50!black,opacity=.3] (O) -- (30:10mm) arc (30:10:10mm) -- cycle;
\fill[fill=orange!20,draw=orange,opacity=.3] (M) -- (barycentric cs:M=.75,O=.25) arc (0:-30:4mm) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5\textwidth}
Examinons le cas est le cas o� A et B sont du m�me c�t� par rapport � [MM'] : On remarque que \[ \widehat{AMB}=\widehat{AMO}-\widehat{BMO} \] et \[ \widehat{AOB}=\widehat{AOM^\prime}-\widehat{BOM^\prime}\] Or, ce que nous avons fait dans la premi�re partie pour A, nous pouvons aussi le faire pour B et montrer alors que : \[ 2\widehat{BMO}=\widehat{BOM^\prime}\]
Ainsi, on a : \[ \widehat{AOB}=2\widehat{AMO}-2\widehat{BMO}=2(\widehat{AMO}-\widehat{BMO})=2\widehat{AMB} \]
\end{minipage}

\bigskip

Quelle que soit la position des points A et B, on d�montre ainsi que : \[ \widehat{AOB}=2\widehat{AMB}\] 
C'est-�-dire que l'angle au centre a une mesure double par rapport � l'angle inscrit qui intercepte le m�me arc de cercle.

\bigskip

% Etape 4

\begin{minipage}{.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=.75]
\fig
\tkzDefPointsBy[rotation=center O angle 80](M){N}
\tkzLabelPoint[below right](N){$N$}
\draw[green!50!black] (B) -- (M) -- (A);
\draw[red!50!black] (B) -- (N) -- (A);
\fill[fill=green!50,draw=green!50!black] (M) -- (barycentric cs:M=.8,A=.2) to [bend right=40] (barycentric cs:M=.82,B=.18) -- cycle;
\fill[fill=red!50,draw=red!50!black] (N) -- (barycentric cs:N=.8,A=.2) to [bend right=40] (barycentric cs:N=.9,B=.1) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5\textwidth}
Un corollaire (c'est-�-dire une propri�t� qui d�coule) de ce th�or�me est que \[ \widehat{AMB}=\widehat{ANB} \] En effet, � l'aide du th�or�me, on montre que ces deux angles ont une mesure double de celle de l'angle au centre et qu'en cons�quence, ils ont la m�me mesure.
\end{minipage}
\end{document}