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\newcounter{numexo}

\newcommand{\helv}{\fontfamily{phv}\fontseries{b}\selectfont}
\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}}

\newcommand{\correction}{\newpage\begin{center}\scshape\Large\helv Correction\end{center}\vskip 1pt\hrulefill\vskip 1em\setcounter{numexo}{0}}

% Macro "exercice"
\newcommand*\exercice 
{%
\vskip 2em

\stepcounter{numexo}
\helv Exercice \thenumexo{}

\bigskip\normalfont
}

\setlength\parindent{0mm}

\begin{document}

% ======================================================
% ==================== SUJET ===========================
% ======================================================

\includegraphics[scale=0.2]{page1.png}

\includegraphics[scale=0.2]{page2.png}

\includegraphics[scale=0.2]{page3.png}

\includegraphics[scale=0.2]{page4.png}

\includegraphics[scale=0.2]{page5.png}

\includegraphics[scale=0.2]{page6.png}

\includegraphics[scale=0.2]{page7.png}


\newpage

% ======================================================
% ================== CORRECTION ========================
% ======================================================

\begin{tabularx}{\linewidth}{l>{\centering \arraybackslash}X}
\multirow{3}{*}{\includegraphics[scale=0.5]{logo.png}} & 
\Large\helv Correction du DNB\\ & \\ & \helv Métropole 2011
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\begin{center}
Document réalisé le \today.\\
Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}

\vspace{2cm}

\emph{Si une erreur s'est glissée, n'hésitez pas à me contacter par email :}

\medskip

\href{mailto:contact@mathweb.fr}{contact@mathweb.fr}
\end{center}

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}X|}
\hline
ACTIVITES NUMERIQUES\\
\hline
\end{tabularx}

\exercice

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item La fréquence de la couleur jaune est égale à $\dfrac{20}{100}$, soit à \textbf{0,2}, ou $\pmb{\dfrac{1}{5}}$ si on écrit le résultat sous forme fractionnaire.

\item La fréquence de la couleur noire est égale à $\dfrac{30}{100}$, soit à \textbf{0,3}, ou $\pmb{\dfrac{3}{10}}$.
\end{enumerate}

\item Si le dé est équilibré, alors toutes les faces ont la même probabilité d'apparaître.

\begin{enumerate}
\item La probabilité d'obtenir la couleur jaune est égale à $\pmb{\dfrac{1}{6}}$ car il n'y a qu'une face jaune sur les 6 faces du dé.

\item La probabilité d'obtenir la couleur noire est égale à $\dfrac{2}{6}=\pmb{\dfrac{1}{3}}$ car il y a deux faces noires sur les 6 faces du dé.
\end{enumerate}

\item On suppose que le dé est équilibré donc la différence entre les fréquences observées et les probabilités ne vient pas du fait que le dé est pipé (bien que cette hypothèse ne soit énoncée qu'à la question 2, on peut supposer qu'elle reste valable pour tout l'exercice).\\
La différence s'explique alors par le nombre insuffisants de lancers : \textbf{il aurait fallu jeter le dé beaucoup plus de fois}.
\end{enumerate}

\exercice

Notons :

\medskip

\begin{quote}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $x$ le prix d'un triangle en verre
\item[$\bullet$] $y$ le prix d'un triangle en métal
\end{itemize}
\end{quote}

\medskip

Alors :

\medskip

\begin{quote}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] le prix du bijou n° 1 s'exprime par : $4x+4y$ et vaut 11 \euro.
\item[$\bullet$] le prix du bijou n° 2 s'exprime par : $6x+2y$ et vaut 9,10 \euro.
\end{itemize}
\end{quote}

\medskip

On a alors le système suivant :

\syscodeextracol{\kern2.5em }{}
\sysextracolsign{|}

\begin{align*}
& \systeme[][:]{4x+4y=11|($\times 2$):6x+2y=9,1|($\times 4$)}\\
\Leftrightarrow\ & \systeme[][:]{8x+8y=22|(1):24x+8y=36,4|(2)}\\
\Leftrightarrow\ & \systeme*[][:]{8x+8y=22:16x=14,4|$(2)-(1)$}\\
\Leftrightarrow\ & \systeme*[][:]{8x+8y=22:x=\frac{14,4}{16}}\\
\Leftrightarrow\ & \systeme*[][:]{8x+8y=22:x=0,9}\\
\Leftrightarrow\ & \systeme*[][:]{8y=22-8x:x=0,9}\\
\Leftrightarrow\ & \systeme*[][:]{8y=22-7,2:x=0,9}\\
\Leftrightarrow\ & \systeme*[][:]{8y=14,8:x=0,9}\\
\Leftrightarrow\ & \systeme*[][:]{y=\frac{14,8}{8}:x=0,9}\\
\Leftrightarrow\ & \systeme*[][:]{y=1,85:x=0,9}\\
\end{align*}

Ainsi,le prix du bijou n° 3 est : \[ 5\times 0,90+3\times 1,85= 10,05\]

\textbf{Le prix du bijou n°3 est donc 10,05 \euro.}

\exercice

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1 :} $(2a+3)^2=4a^2+9$.\\
\textbf{Cette affirmation est fausse} car en développant $(2a+3)^2$ à l'aide d'une identité remarquable, on obtient $4a^2+9\underline{+12a}$.

\medskip

\textbf{Affirmation 2 :} Augmenter de 20\% puis diminuer de 20\% revient au prix initial.\\
\textbf{Cette affirmation est fausse.} En effet, notons $x$ le prix initial. Après une augmentation de 20\%, le prix sera égal à $x+\frac{20}{100}x=1,2x$.\\
Si on baisse maintenant ce prix de 20\%, le prix final sera : $1,2x - \frac{20}{100}\times 1,2x = 1,2x-0,2\times 1,2x=0,96x$.\\
Le prix final n'est pas égal au prix initial.

\item \textbf{Egalité 1.}
\begin{align*}
\frac{\sqrt{32}}{2} & = \frac{\sqrt{16\times 2}}{2}\\
& = \frac{\sqrt{16}\times\sqrt{2}}{2}\\
& = \frac{4\sqrt{2}}{2}\\
& = 2\sqrt{2}
\end{align*}

\textbf{L'égalité est donc VRAIE.}

\medskip

\textbf{Egalité 2.}\\
\textbf{Cette égalité est FAUSSE}. L'égalité transformée est :
\[ 10^5\times 10^{-5}=10^0\]
\end{enumerate}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}X|}
\hline
ACTIVITES GEOMETRIQUES\\
\hline
\end{tabularx}

\setcounter{numexo}{0}
\exercice

\begin{enumerate}
\item La figure en vraie grandeur est la suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzInit
\tkzDefPoint(8,2){A}
\tkzDefPoint(6,0){C}
\tkzDefPoint(3,0){O}
\tkzDefPoint(7,1){Z}
\tkzInterLC(A,C)(O,C)\tkzGetSecondPoint{E}
\draw (0,0) node[left] {D} -- (8,0) node[right] {B} -- (8,2) node[above] {A} -- (6,0) node[above left] {C} -- (E) node[below] {E} -- cycle;
\node[rotate=-10,scale=.75] at (7,0) {//};
\node[rotate=80,scale=.75] at (8,1) {//};
\draw[dotted] (3,0) circle (3cm);
\node at (0,-2) {$\mathscr{C}$};
\draw[dotted] (7,1) circle (1.414cm);
\node at (8.8,1) {$\mathscr{C}^\prime$};
\tkzInterCC[R](O,3 cm)(Z,1.414 cm) \tkzGetPoints{M}{C}
\tkzDrawPoint(M)
\node[above] at (M) {M};
\draw[dashed,red,thick] (0,0) -- (M) -- (C) -- cycle;
\draw[dashed,blue,thick] (C) -- (M) -- (A) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item Le triangle ACB est isocèle rectangle en B. Donc $\widehat{\text{BCA}}=\widehat{\text{BAC}}$.\\
De plus, dans un triangle rectangle, les angles autres que l'angle droit sont complémentaires. Donc $\widehat{\text{BCA}}+\widehat{\text{BAC}}=90^\circ$.\\
Ainsi, $\pmb{\widehat{\text{BCA}}=45^\circ}$.

\item Les angles $\widehat{\text{BCA}}$ et $\widehat{\text{DCE}}$ sont opposés par le sommet donc ils ont la même mesure.\\
Ainsi, $\pmb{\widehat{\text{DCE}}=45^\circ}$.
\end{enumerate}

\item Le triangle DEC est rectangle en E. Par conséquent :

\begin{align*}
& \sin\left(\widehat{\text{DCE}}\right) = \frac{\text{DE}}{\text{DC}}\\
\Leftrightarrow\ & \text{DE} = \sin\left(\widehat{\text{DCE}}\right)\times\text{DC}\\
\Leftrightarrow\ & \text{DE} = \sin(45^\circ)\times 6\\
\Leftrightarrow\ & \text{DE} = \frac{\sqrt{2}}{2}\times 6\\
\Leftrightarrow\ & \text{DE} = 3\sqrt{2}
\end{align*}

Ainsi, $\pmb{\text{DE} \approx 4,2\text{ cm}}$.

\item Le triangle DCE est rectangle en E donc [DC] est un diamètre du cercle circonscrit à DCE.\\
Ainsi, \textbf{le centre du cercle circonscrit au triangle DCE est le milieu du segment [DC].}\\
Pour le tracé de $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}^\prime$, voir figure question 1.

\item Le segment [DC] est un diamètre de $\mathscr{C}$ et M appartient à $\mathscr{C}$.

\emph{Tout triangle inscrit dans un cercle dont un côté coïncide avec un diamètre de ce cercle est rectangle en le point extérieur au diamètre.}

Ainsi, DMC est un triangle rectangle en M.

\medskip

Par un raisonnement analogue, on conclut que dans $\mathscr{C}^\prime$, CMA est un triangle rectangle en M.

\medskip

On a alors :

\begin{quote}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $(\text{MC}) \perp (\text{DM})$
\item[$\bullet$] $(\text{MC}) \perp (\text{MA})$
\end{itemize}
\end{quote}

\medskip

Or, \emph{si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont parallèles entre elles.}

Ainsi, (MA) et (MD) sont parallèles.\\
Mais elles ont un point en commun : M. Par conséquent, elles sont confondues, ce qui signifie alors que \textbf{D, M et A sont alignés}.
\end{enumerate}

\exercice

\begin{enumerate}
\item Un pavé droit en perspective cavalière est par exemple :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle +(5,2);
\draw[dashed] (0,0) -- (1,.5) -- (6,.5);
\draw (5,0) -- (6,.5) -- (6,2.5) -- (1,2.5) -- (0,2);
\draw (5,2) -- (6,2.5);
\draw[dashed] (1,.5) -- (1,2.5);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item Le volume d'un pavé droit est donné par la formule : $\mathscr{V}=L\times\ell\times h$.
\[40 \times 20\times 30 = \np{24000} \]
Ainsi, \textbf{le volume de l'aquarium est égal à \np{24000} cm$\pmb{^3}$.}

\item L'aquarium peut alors contenir 24 litres.
\end{enumerate}

\item Le volume d'une boule de rayon $r$ est : $\dfrac{4}{3}\pi \times r^3$.

Ainsi, le volume d'une boule de \underline{diamètre} 30 cm (donc de rayon 15 cm) est $\pmb{\dfrac{4}{3}\pi \times 15^3}$

\item Les trois quarts du volume de l'aquarium en forme de boule est :

\begin{align*}
\frac{3}{4}\times\frac{4}{3}\pi\times 15^3 & = \np{3375}\pi\\
& \approx \np{10602,875}
\end{align*}

On cherche donc la valeur de $h$ pour que : \[ 40\times 20\times h = \np{10602,875}\]
Soit : \[ h=\frac{\np{10602,875}}{800}\approx 13,253\]

Ainsi, \textbf{la hauteur de l'eau s'élèvera à environ 133 mm.}
\end{enumerate}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}X|}
\hline
PROBLEME\\
\hline
\end{tabularx}

\begin{center}
\bfseries PARTIE I
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Il y a eu le plus de précipitations en \textbf{1999}.
\item En 2009, il est tombé 867 $\ell$/m$^2$. Donc, dans 5 m$^2$, il est tombé 5 fois plus d'eau, soit \textbf{\np{4335} litres}.
\end{enumerate}

\item On a :
\[
\frac{\np{1087}+990+868+850+690+616+512+873+810+841+867}{11}\approx 818,55
\]

Ainsi, \textbf{la quantité moyenne d'eau qui est tombée sur ces 11 années est d'environ 818,55~$\pmb{\ell}$/m$\pmb{^2}$}.

\item La surface au sol est celle d'un rectangle. On a :
\[ 13,9 \times 10 = 139\]
Ainsi, \textbf{la surface au sol est égale à 139 m$\pmb{^2}$}.

\item Si on applique la formule donnée pour 2009, on a :

\begin{align*}
V & = 867 \times 139 \times 0,9\\
& = \np{108461,7}\ \ell
\end{align*}

Or, nous savons que 1 litre est égal à \np{1000} cm$^3$, donc à 0,001 m$^3$.
Donc :

\begin{align*}
V & = \np{108461,7}\times 0,001\\
& = 108,461\ \text{m}^3
\end{align*}

\textbf{Le volume peut donc être arrondi à 108 m$\pmb{^3}$.}
\end{enumerate}

\begin{center}
\bfseries PARTIE II
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On a :
\[ \frac{41}{115}\times 100 \approx 35,652 \]

Ainsi, \textbf{le pourcentage d'eau utilisée pour les WC est d'environ 35,66 \%.}

\item Si 115 litres sont consommées par jour et par personne, alors, sur 365 jours, on a :

\[ 365 \times 4 \times 115 = \np{167900}\]

Donc la famille consomme \np{167900} litres d'eau. Or :
\[\frac{60}{100}\times \np{167900}=\np{100740} \]

Donc \np{100740} litres d'eau de pluie sont nécessaires, ce qui correspond à 100,74 m$^3$.

\medskip

Ainsi, \textbf{les besoins en eau de pluie sont d'environ 100 m$\pmb{^3}$ pour un an.}

\item Nous avons trouvé dans la partie précédente que le volume d'eau récupéré était de 108 m$^3$. \\
Ainsi, \textbf{en 2009, l'eau récupérée était suffisante puisqu'égale à 108 m$\pmb{^3}$.}
\end{enumerate}

\begin{center}
\bfseries PARTIE III
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, on voit que \textbf{100 m$\pmb{^3}$ valent 250 \euro}.
\item La représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère. Ainsi, le prix (en euros) est une fonction linéaire de la quantité (en m$^3$). Pour trouver le coefficient directeur, on fait :
\[ \frac{250}{100}=2,5 \]
On peut donc proposer comme expression :
\[ \boxed{\pmb{p(x)=2,5x}}\]

\item Si l'on ajoute le prix de l'abonnement, la fonction devient affine :
\[ 50+2,5x \]
Sa représentation est alors une droite parallèle à la droite tracée en annexe, passant par le point de coordonnées (0;50). On a alors le graphique suivant (la droite demandée est en rouge) :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[gray] (0,0) grid[xstep=1,ystep=0.5] (8,4);
\foreach \x/\l in {0/0,1/20,2/40,3/60,4/80,5/100,6/120,7/140,8/160}
{
	\node[below] at (\x,0) {\l};
}
\foreach \y/\l in {0/0,0.5/50,1/100,1.5/150,2/200,2.5/250,3/300,3.5/350,4/400}
{
	\node[left] at (0,\y) {\l};
}
\node at (4,-1) {\textbf{quantité d'eau en m$\pmb{^3}$}};
\node[rotate=90] at (-1.5,2) {\textbf{montant en euros}};
\draw[very thick] (0,0) -- (7,3.5);
\draw[very thick,red] (0,0.5) -- (7,4);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\item On a : \[ \frac{910}{250}=3,64\]
Ainsi, \textbf{au bout de 4 années, la famille aura compensé l'achat de la citerne.}
\end{enumerate}
\end{document}