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\newcounter{numexo}

\newcommand{\helv}{\fontfamily{phv}\fontseries{b}\selectfont}
\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}}

\newcommand{\correction}{\newpage\begin{center}\scshape\Large\helv Correction\end{center}\vskip 1pt\hrulefill\vskip 1em\setcounter{numexo}{0}}

% Macro "exercice"
\newcommand*\exercice 
{%
\vskip 2em

\stepcounter{numexo}
\helv Exercice \thenumexo{}

\bigskip\normalfont
}

\setlength\parindent{0mm}

\begin{document}

\includepdf[pages=-]{sujet.pdf}

\begin{tabularx}{\linewidth}{l>{\centering \arraybackslash}X}
\multirow{3}{*}{\includegraphics[scale=0.5]{logo.png}} & 
\Large\helv Correction du DNB\\ & \\ & \helv Métropole 2012
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\begin{center}
Document réalisé le \today.\\
Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}

\vspace{2cm}

\emph{Si une erreur s'est glissée, n'hésitez pas à me contacter par email :}

\medskip

\href{mailto:contact@mathweb.fr}{contact@mathweb.fr}
\end{center}

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}X|}
\hline
ACTIVITES NUMERIQUES\\
\hline
\end{tabularx}

\exercice
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité est égale à $\dfrac{1}{3}$ car il y a 1 porte derrière laquelle la voiture se trouve sur 3 au total. \textbf{Réponse c.}

\item Si on augmente le nombre de portes, la probabilité diminuera.\\ \textbf{Réponse b.}
\end{enumerate}

\exercice

\begin{enumerate}
\item  On a :

\begin{align*}
\dfrac{10^5+1}{10^5} & =\dfrac{10^5}{10^5}+\dfrac{1}{10^5}\\
& = 1 + \dfrac{1}{10^5}\\
& = 1+0,00001\\
& = \underline{1,00001}
\end{align*}

\item Un raisonnement analogue à celui qui précède montre l'égalité suivante : \[ \frac{10^{15}+1}{10^{15}}=1+10^{-15}\]
Ainsi, le résultat n'est pas égal à 1. \textbf{Antoine a donc raison.}
\end{enumerate}

\pagebreak\exercice

Nous sommes dans une situation de proportionnalité. Nous avons le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{||l||c|c||}
\hline
Distance parcourue (en km) & 1 &42,195  \\
\hline
Temps (en minutes) & 4,5 & $x$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

où $x$ représente le temps (en minutes) qu'il faudra pour parcourir 42,195 km.

\begin{align*}
x & = \frac{4,5 \times 42,195}{1}\\
& = 189,8775 \text{ min}\\
& = \frac{189,8775}{60} \text{ h}\\
& \approx 3,16 \text{ h}
\end{align*}

\textbf{Il faudra donc moins de 3h30 pour effectuer le marathon.}

\exercice

\begin{enumerate}
\item Si $x=\dfrac{3}{4}$, alors :

\begin{align*}
(4x-3)^2-9 & = \left(4\times\frac{3}{4}-3\right)^2-9\\
& = (3-3)^2-9\\
& = 0^2-9\\
& = -9\\
& \neq 0
\end{align*}

Ainsi, $\pmb{\dfrac{3}{4}}$ \textbf{n'est pas solution de cette équation.}

\medskip

Si $x=0$, alors :

\begin{align*}
(4x-3)^2-9 & = \left(4\times 0-3\right)^2-9\\
& = (-3)^2-9\\
& = 9-9\\
& = 0
\end{align*}

Ainsi, \textbf{0 est solution de cette équation.}

\bigskip

\item On a les égalités suivantes :

\begin{align*}
(4x-3)^2-9 & = (4x-3)^2-3^2\\
& = [(4x-3)-3][(4x-3)+3]\\
& = (4x-3-3)(4x-3+3)\\
& = \underline{4x(4x-6)}
\end{align*}

\item D'après l'égalité suivante, et d'après le théorème du produit nul, on a  :

\begin{align*}
(4x-3)^2-9 =0 & \Leftrightarrow 4x=0\quad\text{ou}\quad 4x-6 = 0\\
& \Leftrightarrow x = 0\quad\text{ou}\quad 4x=6\\
& \Leftrightarrow x = 0\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}
\end{align*}

Ainsi, \textbf{les solutions à l'équation} \og $\pmb{(4x-3)^2-9=0}$ \fg{} \textbf{sont} $ \pmb{x=0}$ \textbf{et} $\pmb{x=\dfrac{3}{2}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}X|}
\hline
ACTIVITES GEOMETRIQUES\\
\hline
\end{tabularx}

\setcounter{numexo}{0}

\exercice

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On a :

\begin{align*}
AB^2 & = 40^2\\
& = 1600
\end{align*}

Ainsi, \textbf{l'aire du carré ABCD est \np{1600} cm$\pmb{^2}$.}

\item On a :

\begin{align*}
ED\times EF & = (AD - AE)(DC+CG)\\
& = (40-15)(40+25)\\
& = 25\times 65\\
& = 1625
\end{align*}

Ainsi, \textbf{l'aire du rectangle DEFG est \np{1625} cm$\pmb{^2}$.}
\end{enumerate}

\item Notons $x$ la longueur AB. Si l'aire du carré ABCD est égale à celle du rectangle DEFG, alors :

\begin{align*}
 & AB^2 = EF\times ED\\
\Leftrightarrow\ & x^2 = (x+25)(x-15)\\
\Leftrightarrow\ & x^2 = x^2 - 15x + 25x - 25\times 15\\
\Leftrightarrow\ & x^2 = x^2 + 10x - 375\\
\Leftrightarrow\ & 0 = 10x - 375\\
\Leftrightarrow\ & 375 = 10x\\
\Leftrightarrow\ & 37,5 = x
\end{align*}

Ainsi, \textbf{il est possible que l'aire du carré ABCD soit égale à celle du rectangle DEFG pour $\pmb{x=37,5}$ cm. }
\end{enumerate}

\exercice

\begin{enumerate}
\item Le volume du cône est :

\begin{align*}
V & = \frac{\pi R^2 \times OA}{3}\\
& = \frac{\pi\times 2^2 \times 5}{3}\\
& = \frac{20\pi}{3}\\
& \approx 20,94
\end{align*}

Ainsi, \textbf{le volume du cône est d'à peu près 21 cm$\pmb{^3}$.}

\item Si on fait une coupe transversale, on obtient le schéma suivant :

\begin{minipage}{.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {O} -- (0,5) node[above] {A} -- (2,0) -- (0,0) node[midway,below] {2 cm};
\draw (0,2.5) node[left] {B} -- (1,2.5) node[midway,below,scale=0.75] {$x$};
\node[scale=0.5,rotate=70] at (0,1.25) {//};
\node[scale=0.5,rotate=70] at (0,3.75) {//};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5\linewidth}
D'après le théorème des milieux, $x$ est égal à la moitié de 2 cm.

Donc le nouveau cône aura pour base un cercle de rayon 1 cm.
\end{minipage}

Le volume du petit cône obtenu est donc :

\begin{align*}
V & = \frac{\pi R^2 \times AB}{3}\\
& = \frac{\pi\times 1^2 \times 2,5}{3}\\
& = \frac{1,5\pi}{3}\\
& \approx 1,57
\end{align*}

Ainsi, \textbf{le volume n'est pas la moitié de celui du cône précédent.}
\end{enumerate}

\pagebreak\exercice

Nous savons que le triangle ABC est rectangle en A donc, d'après le théorème de Pythagore :

\begin{align*}
\text{BC}^2 & = \text{AB}^2+\text{AC}^2\\
& = 300^2+400^2\\
& = \np{250000}
\end{align*}

D'où :

\begin{align*}
\text{BC} & = \sqrt{\np{250000}}\\
& = 500
\end{align*}

De plus, nous sommes dans une configuration de Thalès :

\begin{quote}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] (AB) // (ED)
\item[$\bullet$] A, C et E sont alignés dans cet ordre
\item[$\bullet$] B, C et D sont alignés dans cet ordre
\end{itemize}

Ainsi, d'après le théorème de Thalès, on a :

\[ 
\frac{\text{CA}}{\text{CE}} = \frac{\text{CB}}{\text{CD}} = \frac{\text{AB}}{\text{DE}}
\]
Soit :
\[ 
\frac{400}{1000} \underset{\tiny(1)}{=} \frac{500}{\text{CD}} \underset{\tiny(2)}{=} \frac{300}{\text{DE}}
\]
\end{quote}

L'égalité (1) nous donne :

\begin{align*}
\text{CD} & = \frac{1000\times 500}{400}\\
& = \np{1250}
\end{align*}

L'égalité (2) nous donne :

\begin{align*}
\text{DE} & = \frac{300\times 1250}{500}\\
& = 750
\end{align*}

Et on a donc : 

\begin{align*}
\text{AB+BC+CD+DE} & = 300+500+\np{1250}+750\\
& = \np{2800}
\end{align*}

\textbf{Ainsi, le parcours total a une longueur de \np{2800} mètres.}

\pagebreak

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}X|}
\hline
PROBLEME\\
\hline
\end{tabularx}

\setcounter{numexo}{0}

\begin{center}
\bfseries PARTIE I
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La durée du vol correspond à la différence entre 10h30 et 9h35, soit \textbf{55 minutes}.

\item 
\begin{enumerate}
\item On a :

\begin{align*}
\np{1113}-(152+143+164+189+157+163) & = \np{1113}-968\\
& = 145
\end{align*}

Ainsi, \textbf{il y avait 145 passagers dans le vol du mercredi.}

\item Calculons la moyenne de passagers  :

\[
\frac{\np{1113}}{7} = 159 
\]

Ainsi, \textbf{en moyenne, il y a avait 159 passagers par jour cette semaine là.}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Dans la cellule I2, on a rentré la formule : $\boxed{\texttt{=SOMME(B2:H2)}}$.

\item Dans la cellule J2, on peut rentrer la formule : $\boxed{\texttt{=MOYENNE(B2:H2)}}$ mais on peut aussi saisir la formule : $\boxed{\texttt{=I2/7}}$.
\end{enumerate}

\item La capacité totale d'un avion est 190 passagers. Calculons 80\% de 190 :
\[ 190\times\frac{80}{100}=152\]

\textbf{166 étant supérieur à 152, la compagnie a atteint ses objectifs.}
\end{enumerate}

\begin{center}
\bfseries PARTIE II
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Nous sommes dans une situation de proportionnalité. Nous pouvons alors construire le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{||l||c|c||}
\hline
Distance parcourue (en km) & \np{300000} & $2x$ \\
\hline
Temps (en secondes) & 1 & 0,0003 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

où $x$ représente la distance de l'avion à la tour (le signal parcourt \underline{deux fois} la distance). Ainsi :

\begin{align*}
2x & = \frac{\np{300000}\times 0,0003}{1}\\
2x & = 90
\end{align*}

D'où :

\begin{align*}
x & = \frac{90}{2}\\
x & = 45
\end{align*}

\textbf{L'avion se trouve donc à 45 km de la tour.}

\item Dans le triangle RAI rectangle en I, on a :

\begin{align*}
& \sin(5^\circ) = \frac{\text{AI}}{\text{AR}}\\
\Leftrightarrow\ & \text{AI} = \text{AR}\times\sin(5^\circ)\\
\Leftrightarrow\ & \text{AI} = \np{45000}\sin(5^\circ)\\
\Leftrightarrow\ & \text{AI} \approx \np{3922}
\end{align*}

Ainsi, \textbf{la hauteur à laquelle se trouve l'avion est d'à peu près \np{3922} mètres.}
\end{enumerate}

\begin{center}
\bfseries PARTIE III
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La distance qu'aura parcourue l'avion au bout de 10 secondes est \textbf{450 mètres}.\\
Pour le lire sur le graphique, on regarde l'ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 10.

\item On peut dire qu'à 22 secondes et 26 secondes, \textbf{l'avion est arrêté}. C'est la raison pour laquelle les distances sont les mêmes. 

\item On voit que la courbe se stabilise à partir de 20 secondes.\\ \textbf{Il faut donc 20 secondes à l'avion pour s'arrêter.}
\end{enumerate}
\end{document}