\documentclass[12pt]{article} 
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\newcommand{\helv}{\fontfamily{phv}\fontseries{b}\selectfont}
\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}}
\renewcommand{\cellspacetoplimit}{5pt}
\renewcommand{\cellspacebottomlimit}{5pt}

\newcommand{\correction}{\begin{center}\scshape\Large\helv Correction\end{center}\vskip 1pt\hrulefill\vskip 1em\setcounter{numexo}{0}}

% Macro "exercice"
\newcounter{numexo}
\newcommand*\exercice[1]
{%
\vskip 2em

\stepcounter{numexo}
\helv Exercice \thenumexo{} (#1 points)

\bigskip\normalfont
}

% Listes
\setlist[enumerate,1]{label=\fcolorbox{gray!30}{gray!30}{\color{black}\bfseries\arabic*}}
\setlist[enumerate,2]{label=(\bfseries\alph*)}

\setlength\parindent{0mm}

\begin{document}
% ======================================================
% ================== PAGE DE GARDE =====================
% ======================================================
\vspace*{10cm}
\begin{center}
\Huge\bfseries SUJET AM\'ERIQUE DU NORD 2013\\
\vspace*{3em}
\large Stéphane PASQUET\\
\url{http://www.mathweb.fr}

\vspace*{3em}
\normalfont\emph{La présentation et la rédaction sont notées sur 4 points.}
\end{center}

\newpage

% ======================================================
% ==================== SUJET ===========================
% ======================================================

\exercice{4} % EX1

\emph{Pour chacune des quatre questions suivantes, plusieurs propositions de réponse sont faites. Une seule des propositions est exacte. Aucune justification n'est attendue. Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse rapporte 0 point. Reporter sur votre copie le numéro de la question et donner la bonne réponse.}

\begin{enumerate}
\item L'arbre ci-dessous est un arbre de probabilité.
La probabilité manquante sous la tache est :

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (3,1) node[above,midway] {$\frac{1}{9}$};
\draw (0,0) -- (3,0) node[below,midway,cloud,,fill=black,minimum width=2em,inner ysep=0pt,yscale=0.5] {-};
\draw (0,0) -- (3,-1) node[midway,below] {$\frac{1}{3}$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
{\bfseries a)} $\dfrac{7}{9}$ & {\bfseries b)} $\dfrac{5}{12}$ & {\bfseries c)} $\dfrac{5}{9}$
\end{tabularx}
\end{minipage}

\item Dans une salle, il y a des tables à 3 pieds et à 4 pieds. Léa compte avec les yeux bandés 169 pieds. Son frère lui indique qu'il y a 34 tables à 4 pieds. Sans enlever son bandeau, elle parvient à donner le nombre de tables à 3 pieds qui est de :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
{\bfseries a)} 135 & {\bfseries b)} 11 & {\bfseries c)} 166
\end{tabularx}

\item \pourcent{90} du volume d'un iceberg est situé sous la surface de l'eau.\\
La hauteur totale d'un iceberg dont la partie visible est 35 m est d'environ :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
{\bfseries a)} 350 m & {\bfseries b)} \numprint{3500} m & {\bfseries c)} 31,5 m
\end{tabularx}

\item \begin{tikzpicture}[baseline=1em]
\draw (0.75,0) -- (0,0) -- (0,1) -- (0.75,1);
\draw (1.5,1) -- (2,1) -- (2,0) -- (1.5,0);
\draw (0.75,0) arc(180:360:0.375cm);
\draw (0.75,1) arc(180:360:0.375cm);
\end{tikzpicture}
a le même périmètre que :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
{\bfseries a)} 
\begin{tikzpicture}[baseline=1em]
\draw (0,0) rectangle (2,1);
\end{tikzpicture} 
& 
{\bfseries b)} 
\begin{tikzpicture}[baseline=1em]
\draw (0.75,0) -- (0,0) -- (0,1) -- (0.75,1);
\draw (1.5,1) -- (2,1) -- (2,0) -- (1.5,0);
\draw (1.5,1) arc(0:180:0.375cm);
\draw (0.75,0) arc(180:360:0.375cm);
\end{tikzpicture}
& 
{\bfseries c)} 
\begin{tikzpicture}[baseline=1em]
\draw (0.75,0) -- (0,0) -- (0,1) -- (2,1) -- (2,0) -- (1.5,0);
\draw (0.75,0) arc(180:360:0.375cm);
\end{tikzpicture}
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\exercice{4} % Ex 2

Arthur vide sa tirelire et constate qu'il possède 21 billets.\\
Il a des billets de 5 \euro{} et des billets de 10 \euro{} pour une somme totale de 125 \euro.

\medskip

Combien de billet de chaque sorte possède-t-il ?

\medskip

{\bfseries Si le travail n'est pas terminé, laisse tout de même une trace de la recherche.\\ Elle sera prise en compte dans l'évaluation.}

\newpage

\exercice{6} % Ex 3

Caroline souhaite s'équiper pour faire du roller.\\
Elle a le choix entre une paire de rollers gris à 87 \euro{} et une paire de rollers noirs à 99 \euro.\\
Elle doit aussi acheter un casque et hésite entre trois modèles qui coûtent respectivement 45 \euro, 22 \euro{} et 29 \euro.

\begin{enumerate}
\item Si elle choisit son équipement (un casque et une paire de rollers) au hasard, quelle est la probabilité pour que l'ensemble lui coûte moins de 130 \euro{} ?

\item Elle s'aperçoit qu'en achetant la paire de rollers noirs  et le casque à 45 \euro, elle bénéficie d'une réduction de \pourcent{20} sur l'ensemble.

\begin{enumerate}
\item Calculer le prix en euros et centimes de cet ensemble après réduction.
\item Cela modifie-t-il la probabilité obtenue à la question 1 ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exercice{5} % Ex 4

Flavien veut répartir la totalité des 760 dragées au chocolat et \numprint{1045} dragées aux amandes dans des sachets ayant la même répartition de dragées au chocolat et amandes. 

\begin{enumerate}
\item Peut-il faire 76 sachets ?
\item \begin{enumerate}
\item Quel nombre maximal de sachets peut-il réaliser ?
\item Combien de dragées de chaque sorte y aura-t-il dans chaque sachet ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exercice{4} % Ex 5

Tom doit calculer $3,5^2$.\\
\og Pas la peine de prendre la calculatrice \fg{} lui dit Julie. Tu n'as qu'à effectuer le produit de 3 par 4 et rajouter 0,25.

\begin{enumerate}
\item Effectuer le calcul proposé par Julie et vérifier que le résultat obtenu et bien le carré de 3,5.
\item Proposer une façon simple de calculer $7,5^2$ et donner le résultat.
\item Julie propose la conjecture suivante : $(n+0,5)^2=n(n+1)+0,25$.\\
$n$ est un nombre entier positif.\\
Prouver que la conjecture de Julie est vraie (quel que soit le nombre $n$).
\end{enumerate}

\exercice{4} % Ex 6

On dispose d'un carré de métal de 40 cm de côté. Pour fabriquer une boîte parallélépipédique, on enlève à chaque coins un carré de côté $x$ et on relève les bords par pliage.

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ?
\item On donne $x=5$ cm. Calculez le volume de la boîte.

\pagebreak

\item Le graphique suivant donne le volume de la bo\^ite en fonction de la longueur $x$.\\
\emph{On répondra aux questions à l'aide du graphique.}
\begin{enumerate}
\item Pour quelle valeur de $x$ le volume de la bo\^ite est-il maximum ?
\item On souhaite que le volume de la bo\^ite soit \numprint{2000} cm$^3$.\\
Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\filldraw[fill=gray!20] (0,0) -- (-1,0) -- (-1,3) -- (0,3) -- (0,4) -- (3,4) -- (3,3) -- (4,3) -- (4,0) -- (3,0) -- (3,-1) -- (0,-1) -- (0,0);
\draw[dashed] (-1,3) -- (-1,5);
\draw[dashed] (4,3) -- (4,5);
\draw[<->] (-1,4.5) -- (4,4.5) node[midway,above] {40};
\draw[dashed] (-1,3) -- (-2,3);
\draw[dashed] (0,4) -- (-2,4);
\draw[<->] (-1.5,3) -- (-1.5,4) node[midway,left] {$x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\filldraw[fill=gray!30] (0,0) -- (2,1.5) -- (5,0.5) -- (3,-1) -- cycle;
\filldraw[fill=gray!20] (2,1.5) -- (2,2.5) -- (5,1.5) -- (5,0.5) -- cycle;
\filldraw[fill=gray!20] (3,-1) -- (3,0) -- (5,1.5) -- (5,0.5) -- cycle;
\filldraw[fill=gray!20] (0,0) -- (-0.5,0.5) -- (1.5,2) -- (2,1.5) -- cycle;
\filldraw[fill=gray!20] (0,0) -- (-1,0.5) -- (2,-0.5) -- (3,-1) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',scale=0.75]
\draw[dashed,gray] (0,0) grid[step=0.5] (21,11);
\draw[thick,->] (0,0) -- (21,0) node[below left] {$x$};
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,11) node[below right,fill=white, rounded corners,draw,outer xsep=1ex] {Volume de la bo\^ite};
\foreach\x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
{
\draw[thick] (\x,0.2) -- (\x,-0.2) node[below] {\x};
}
\foreach\y/\l in {1/500,2/1000,3/1500,4/2000,5/2500,6/3000,7/3500,8/4000,9/4500,10/5000}
{
\draw[thick] (0.2,\y) -- (-0.2,\y) node[left] {\numprint{\l}};
}
\draw[very thick] plot[domain=0:20,samples=100] (\x,{\x*(40-2*\x)*(40-2*\x)/500});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\newpage

\exercice{5} % Ex 7

\begin{minipage}{0.75\linewidth}
Le Pentagone est un bâtiment hébergeant le ministère de la défense des Etats-Unis.\\
Il a la forme d'un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon OA = 238 m.\\
Il est représenté par le schéma ci-contre.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.25\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0:1cm) node[right] {E} -- (72:1cm) node[above] {A} -- (144:1cm) node[above left] {B} -- (216:1cm) node[left] {C} -- (288:1cm) node[below] {D} -- cycle;
\fill (0,0) circle (1pt) node[below right] {O};
\coordinate (M) at ($0.5*(72:1cm)+0.5*(144:1cm)$);
\draw (0,0) -- (M) node[above] {M};
\draw ($0.85*(M)$) -- ($0.85*(M)+(0.1,0.03)$) -- ($(M)+(0.1,0.03)$);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure de l'angle \angle{AOB}.
\item La hauteur issue de O dans le triangle AOB coupe le côté [AB] au point M.
\begin{enumerate}
\item Justifier que (OM) est aussi la bissectrice de \angle{AOB} et la médiatrice de [AB].
\item Prouver que [AM] mesure environ 140 m.
\item En déduire une valeur approchée du périmètre du Pentagone.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exercice{4} % 8

\begin{enumerate}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Les longueurs sont données en centimètres.\\
ABCD est un trapèze.


\item \begin{enumerate}
\item Donner une méthode permettant de calculer l'aire du trapèze ABCD.
\item Calculer l'aire de ABCD.
\end{enumerate}

\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\filldraw[fill=gray!20] (0,0) node[below left] {D} -- (1,3) node[above] {A} -- (4,3) node[above] {B} -- (7,0) node[below right] {C}  -- (0,0) node[midway,below] {7};
\draw[dashed] (0,0) -- (0,3) -- (1,3) node[midway, above] {1};
\draw[dashed] (4,3) -- (7,3) -- (7,0) node[midway,right] {3};
\draw (0,2.75) -- (0.25,2.75) -- (0.25,3);
\draw (6.75,3) -- (6.75,2.75) -- (7,2.75);
\filldraw[fill=gray] (7,1.5) circle (2pt);
\filldraw[fill=gray] (2.5,3) circle (2pt);
\filldraw[fill=gray] (5.5,3) circle (2pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\item {\bfseries\itshape Dans cette question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de recherche. Elle sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

L'aire d'un trapèze A est donnée par l'une des formules suivantes.\\
Retrouver la formule juste en expliquant votre choix.

\medskip
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (1,3) -- (4,3) node[midway,above] {$b$} -- (7,0) -- (0,0) node[midway,below] {$B$};
\draw[dashed] (4,3) -- (7,3) -- (7,0) node[midway,right] {$h$};
\draw (6.75,3) -- (6.75,2.75) -- (7,2.75);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
$A=\dfrac{(b\cdot B)h}{2}$ & $A=\dfrac{(b+B)h}{2}$ & $A=2(b+B)h$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\newpage\correction

\exercice{4} % Ex 1

\begin{enumerate}
\item La somme des probabilités doit être égale à 1. Donc $\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{3}+x=1$, soit $x=1-\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{9}{9}-\dfrac{1}{9}-\dfrac{3}{9}=\dfrac{5}{9}$.\\
\textbf{Réponse c.}

\item $34\times4+3x=169$, où $x$ représente le nombre de table à 3 pieds.\\
On a donc : $136+3x=169$, soit $3x=169-136$, donc $3x=33$. Ainsi, $x=11$.\\
\textbf{Réponse b.}

\item 35 m représente \pourcent{10} de la hauteur $h$ de l'iceberg. Donc $\dfrac{10}{100}h=35$, soit $\dfrac{h}{10}=35$. Donc $h=350$.\\
\textbf{Réponse a.}

\item \textbf{Réponse b.}
\end{enumerate}

\exercice{4} % Ex 2

Posons $x$ le nombre de billets de 5 \euro{} et $y$ le nombre de billets de 10 \euro.\\
On a alors le système :
\[\systeme{x+y=21@\text{Nombre total de billets},5x+10y=125@\text{Somme totale en euros}}\]
\begin{multicols}{2}
\systeme{5x+5y=105@L_1,5x+10y=125@L_2}

\medskip

\systeme{5x+5y=105@L_1,5y=20@L_2-L_1}

\medskip

\systeme{x=21-y,y=4}

\medskip

\systeme{x=21-4,y=4}

\medskip

\systeme{x=17,y=4}
\end{multicols}

\textbf{Il y a donc 17 billets de 5 \euro{} et 4 billets de 10 \euro{}.}

\newpage

\exercice{6} % Ex 3

\begin{enumerate}
\item L'arbre des événements est le suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (2,2) node[right] (A) {87 \euro};
\draw (0,0) -- (2,-2) node[right] (B) {99 \euro};
\draw (A.east) -- ($(A.east)+(2,1)$) node[right] (AA) {22 \euro};
\draw (A.east) -- ($(A.east)+(2,0)$) node[right] (AB) {29 \euro};
\draw (A.east) -- ($(A.east)+(2,-1)$) node[right] (AC) {45 \euro};
\draw (B.east) -- ($(B.east)+(2,1)$) node[right] (BA) {22 \euro};
\draw (B.east) -- ($(B.east)+(2,0)$) node[right] (BB) {29 \euro};
\draw (B.east) -- ($(B.east)+(2,-1)$) node[right] (BC) {45 \euro};
\draw[->,>=stealth'] (AA.east) -- ($(AA.east)+(2,0)$) node[right] {$87+22=109$ \euro};
\draw[->,>=stealth'] (AB.east) -- ($(AB.east)+(2,0)$) node[right] {$87+29=116$ \euro};
\draw[->,>=stealth'] (AC.east) -- ($(AC.east)+(2,0)$) node[right] {$87+45=132$ \euro};
\draw[->,>=stealth'] (BA.east) -- ($(BA.east)+(2,0)$) node[right] {$99+22=121$ \euro};
\draw[->,>=stealth'] (BB.east) -- ($(BB.east)+(2,0)$) node[right] {$99+29=128$ \euro};
\draw[->,>=stealth'] (BC.east) -- ($(BC.east)+(2,0)$) node[right] {$99+45=144$ \euro};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Sur les 6 sommes totales, il y en a 4 qui sont inférieures à 130 \euro.\\
\textbf{La probabilité pour que l'ensemble lui coûte moins de 130 \euro{} est égale à $\dfrac{4}{6}$, c'est-à-dire $\pmb{\dfrac{2}{3}}$.}

\item 
\begin{enumerate}
\item Le prix \og normal \fg{} est :
\[ 99+45=144~\text{\euro}\]
De plus, 
\[ \dfrac{20}{100}\times144=\dfrac{144}{5}=28,8\]
et :
\[ 144-28,8=115,2.\]
\textbf{Ainsi, l'ensemble coûtera après réduction 115,20 \euro.}

\item Ce résultat modifie en effet la probabilité car on obtient une somme inférieure à 130 \euro{} alors que la somme avant réduction était supérieure à 130 \euro.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exercice{5} % Ex 4

\begin{enumerate}
\item 76 est un diviseur de 760 (car $760=76\times10$) mais ce n'est pas un diviseur de \numprint{1045} (car $\numprint{1045}\div76=13,75$).\\
\textbf{Donc Flavien ne pourra pas faire 76 sachets.}

\item
\begin{enumerate}
\item Calculons le PGCD de 760 et \numprint{1045} à l'aide de l'algorithme d'Euclide :

$\begin{aligned}[t]
\numprint{1045} & = 1\times760+285\\
760 & = 2\times285+190\\
285 & =1\times190+95\\
190 & =2\times95+0
\end{aligned}$

Ainsi, \pgcd{\numprint{1045}}{760}=95.\\
\textbf{Flavien pourra donc faire au maximum 95 sachets.}

\item $\dfrac{760}{95}=8$ et $\dfrac{\numprint{1045}}{95}=11$.\\
\textbf{Ainsi, il pourra faire des sachets où il y aura 8 dragées au chocolat et 11 dragées aux amandes.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exercice{5} % Ex 5

\begin{enumerate}
\item $3\times4+0,25=12+0,25=12,25$.\\
La calculatrice nous donne : $3,5^2=12,25$.\\
\textbf{Le calcul de Julie est donc juste.}

\item $7,5^2=7\times(7+1)+0,25=7\times8+0,25=56,25$.

\item $\begin{aligned}[t]
(n+0,5)^2 & = n^2+2\times n\times0,5+0,5^5\\
& = n^2+n+0,25\\
& = n(n+1)+0,25.
\end{aligned}$

\textbf{La conjecture est donc vraie.}
\end{enumerate}

\exercice{4} % Ex 6

\begin{enumerate}
\item Comme sur un côté on enlève deux carrés de côté $x$, $x$ ne peut pas dépasser la moitié de 40. Donc, il faut que $x\leqslant20$.

\item Le volume de la boîte se calcule avec la formule :
\[ V=\ell\times L\times h\]
Soit :

$\begin{aligned}[t]
V & =(40-2\times5)^2\times5
& = 30^2\times5\\
& = 900\times5\\
& = \numprint{4500}
\end{aligned}$

\textbf{Le volume de la boîte est donc égal à \numprint{4500} cm$\pmb{^2}$.}

\item 
\begin{enumerate}
\item La courbe atteint son maximum pour $x=6,5$.
\item On regarde les points de la courbe qui ont une ordonnée égale à \numprint{2000} ; on voit alors que les abscisses possibles sont $x=1,5$ ou $x=14$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exercice{5} % Ex 7

\begin{enumerate}
\item $\angle{AOB}=\dfrac{360}{5}=72$. En effet, l'angle au centre ($360\degres$ doit être divisé par 5).\\
\textbf{Ainsi, $\pmb{\angle{AOB}=72\degres}$.}

\item 
\begin{enumerate}
\item AOM est isocèle en O. Or, dans un triangle isocèle, la bissectrice de l'angle au sommet principal est confondu avec la médiatrice du côté opposé.\\
\textbf{Ainsi, la bissectrice de $\pmb{\angle{AOB}}$ est aussi la médiatrice de [AB].}

\item Dans le triangle AMO rectangle en M, on a :
\[ \sin\angle{AOM}=\dfrac{\text{AM}}{\text{AO}}\]
soit :
\[ \sin 36=\dfrac{\text{AM}}{238}\]
ou encore :
\[ \text{AM}=238\sin 36\approx 139,89\]
\textbf{On peut alors dire que AM mesure à peu près 140 mètres.}

\item On a :
\[ \text{AM}\times10=\numprint{1400}\]
\textbf{Le périmètre du Pentagone est donc égal à \numprint{1400} mètres.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exercice{4} % Ex 8

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On peut calculer l'aire du trapèze ABCD en calculant l'aire du rectangle de dimensions 7 et 3 et en lui soustrayant l'aire des deux triangles rectangles aux coins.

\item On a :
\begin{align*}
& 7\times3-\dfrac{1\times3}{2}-\dfrac{3\times3}{2}\\
=  & 21-\dfrac{3}{2}-\dfrac{9}{2}\\
=&21-\dfrac{12}{2}\\
=&21-6\\
=&15
\end{align*}

\textbf{L'aire du trapèze ABCD est donc égale à 15 cm$\pmb{^2}$.}
\end{enumerate}

\item En s'inspirant de la question précédente, on peut dire que l'aire d'un trapèze est :
\[ B\times h - \frac{(B-b)\times h}{2}\]

En effet, on soustrait à l'aire du rectangle la somme des aires des triangles rectangles, soit\linebreak$\dfrac{a\times h}{2}+\dfrac{c\times h}{2}=\dfrac{(a+c)\times h}{2}$, en convenant de noter $a$ et $c$ les c\^otés des triangles rectangles autres que celui de mesure $h$.\\
Or, $a+c+b=B$, donc $a+c=B-b$. Donc l'aire des deux triangles rectangles est $\dfrac{(B-b)\times h}{2}$.\\
Ainsi, on a :
\begin{align*}
A & = B\times h - \frac{(B-b)\times h}{2}\\
& = h\left(B-\dfrac{B-b}{2}\right)\\
& = h\left(\dfrac{2B-B+b}{2}\right)\\
& = \dfrac{(B+b)h}{2}\text{ (2\ieme{} réponse)}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{document}