\documentclass[12pt]{article} 
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\newcommand{\helv}{\fontfamily{phv}\fontseries{b}\selectfont}
%\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}}
\renewcommand{\cellspacetoplimit}{5pt}
\renewcommand{\cellspacebottomlimit}{5pt}

\newcommand{\correction}{\newpage\begin{center}\scshape\Large\helv Correction\end{center}\vskip 1pt\hrulefill\vskip 1em\setcounter{numexo}{0}}

% Macro "exercice"
\newcounter{numexo}
\newcommand*\exercice[1]
{%
\vskip 2em

\stepcounter{numexo}
\helv Exercice \thenumexo{} (#1 points)

\bigskip\normalfont
}

% Listes
\setlist[enumerate,1]{label=\fcolorbox{gray!30}{gray!30}{\color{black}\bfseries\arabic*}}
\setlist[enumerate,2]{label=(\bfseries\alph*)}

\setlength\parindent{0mm}

\begin{document}
% ======================================================
% ================== PAGE DE GARDE =====================
% ======================================================
\vspace*{10cm}
\begin{center}
\Huge\bfseries SUJET CENTRES ETRANGERS 2013\\
\vspace*{3em}
\large Stéphane PASQUET\\
\url{http://www.mathweb.fr}

\vspace*{3em}
\normalfont\emph{La présentation et la rédaction sont notées sur 4 points.}
\end{center}

\newpage

% ======================================================
% ==================== SUJET ===========================
% ======================================================

\exercice{6} % EX1 -----------------------------------------------
	
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque ligne du tableau, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Toute réponse exacte vaut $1$ point. Toute réponse inexacte ou toute absence de réponse n'enlève pas de point. Pour chacune des questions, on indiquera sur sa feuille le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
& & réponse A &réponse B &réponse C\\ \hline 
1 & Les solutions de l'équation $(x+7)(2x-7)= 0$ sont & 
$-7$ et $3,5$& 7 et $- 3,5$& $- 7$ et $5$\\ \hline 
2&La (ou les) solution(s) de l'inéquation\linebreak $-2(x + 7) \leqslant  - 16$ est (sont)&tous les nombres inférieurs ou égaux à 1&tous les nombres supérieurs ou égaux à 1&1\\ \hline 
3&La forme développée de $(7x - 5)^2$ est&$49x^2 - 25$&$49x^2 - 70x + 25$& $49x^2 - 70x - 25$\\ \hline
4&La forme factorisée de $9 - 64x^2$ est& $- 55 x^2$&$(3 - 8x)^2$&$(3 - 8x)(3 + 8x)$\\ \hline
5&\begin{minipage}{4cm}\begin{center}\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-1,0)(1,5)
%\psgrid
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0.2)(0.4,0.2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-0.3,3.1)(0.3,3.1)(0,1.8)
\psline[linewidth=1.4pt](0,0.2)(0,1.8)
\psellipse(0,4.3)(0.6,0.3)
\psline[linewidth=1.4pt](-0.6,4.3)(0,1.8)(0.6,4.3)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,3.1)(0.3,0.15)
\psline{<->}(0.8,1.8)(0.8,4.3) \uput[r](0.8,3.1){$h$}
\psline{<->}(-0.8,1.8)(-0.8,3.1) \uput[r](-0.8,2.45){$\frac{h}{2}$}
\end{pspicture}\end{center}\end{minipage}

Le liquide remplit-il à moitié le verre ?&oui&non, c'est moins de la moitié&non, c'est plus de la moitié\\ \hline
6&La section KMEH du cube ABCDEFGH par un plan parallèle à une de ses arêtes est 

\begin{minipage}{4cm}\begin{center}\psset{unit=0.6cm}\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(4.6,4.8)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.1,1.1)(1.1,4.2)(2.2,3.1)(2.2,0)
\psframe(3.1,3.1)%ABCD
\psline(3.1,0)(4.2,1.1)(4.2,4.2)(3.1,3.1)%DFGC
\psline(4.2,4.2)(1.1,4.2)(0,3.1)%GHD
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.1,1.1)(4.2,1.1)%AEF
\uput[l](0.15,0.15){\footnotesize A} \uput[r](3.1,0){\footnotesize B} \uput[r](3.1,3.1){\footnotesize C} 
\uput[ul](0,3.1){\footnotesize D} \uput[l](1.1,1.1){\footnotesize E} \uput[ur](4.2,1.1){\footnotesize F} 
\uput[ur](4.2,4.2){\footnotesize G} \uput[ul](1.1,4.2){\footnotesize H} \uput[ur](2.2,3.1){\footnotesize K} 
\uput[ur](2.2,0){\footnotesize M}
\end{pspicture}\end{center}\end{minipage}\vskip1em
&un parallélogramme non rectangle&un carré &un rectangle\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\exercice{4} % EX 2 ---------------------------------------------------

\emph{On considère l'expérience aléatoire suivante: on tire au hasard une carte dans un jeu bien mélangé de $32$ cartes (il y a $4$ \og familles \fg{} c{\oe}ur, trèfle, carreau et pique et on a $8$ c{\oe}urs, $8$ trèfles, $8$ carreaux et $8$ piques).\\
On relève pour la carte tirée la \og famille \fg{} (trèfle, carreau, c{\oe}ur ou pique) puis on remet la carte dans le jeu et on mélange.\\ 
On note $A$ l'événement : \og la carte tirée est un trèfle \fg}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité de l'événement A ? 
\item On répète 24 fois l'expérience aléatoire ci-dessus. La représentation graphique ci-dessous donne la répartition des couleurs obtenues lors des vingt-quatre premiers tirages: 

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(5,11)
\psframe(-3,-2)(5,11)
\psline(4,0)(0,0)(0,10)
\multido{\n=0+2}{6}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(4,\n) \uput[l](0,\n){\n}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.333,0)(0.666,6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.333,0)(1.666,8)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.333,0)(2.666,3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.333,0)(3.666,7)
\uput[d](0.5,0){c{\oe}ur}	 	\uput[d](1.5,0){trèfle} \uput[d](2.5,0){carreau} \uput[d](3.5,0){pique}
\rput(-1.5,8){nombre}
\rput(-1.5,6){de fois o\`u}
\rput(-1.5,4){la carte}
\rput(-1.5,2){est tirée}
\end{pspicture}
\end{center} 
 
Calculer la fréquence d'une carte de la \og famille \fg{} c{\oe}ur et d'une carte de la \og famille \fg{} trèfle. 

\item On reproduit la même expérience qu'à la question 2. Arthur mise sur une carte de la \og famille \fg{} c{\oe}ur et Julie mise sur une carte de la \og famille \fg{} trèfle. 

Est-ce que l'un d'entre deux a plus de chance que l'autre de gagner ? 
\end{enumerate}
 
\bigskip

\exercice{6} % EX 3 -----------------------------------------------------

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-3.8,-4.5)(3.8,4.5)
%\psgrid
\pscircle(0,0){3.5}\psline[linestyle=dashed](0.8,3.4)(-0.8,-3.4)
\pspolygon(1.8,-3)(-3.1,-1.6)(0.8,3.4)%CBA
\uput[ur](0.8,3.4){A} \uput[dl](-3.1,-1.6){B} \uput[dr](1.8,-3){C} \uput[ur](0,0){O}\uput[d](-0.8,-3.4){M}
\psdots(0,0)
\rput(-1.6,1){5} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{On considère un triangle ABC isocèle en A tel que l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ mesure 50\degres{} et AB est égal à 5~cm.
 
On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. La droite (OA) coupe ce cercle, noté ($C$), en un autre point M.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAM}}$ ? Aucune justification n'est demandée. 
\item Quelle est la nature du triangle BAM ? Justifier. 
\item Calculer la longueur AM et en donner un arrondi au dixième de centimètre près. 
\item La droite (BO) coupe le cercle ($C$) en un autre point K. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{BKC}}$ ?

Justifier. 
\end{enumerate}}

\bigskip

\exercice{7} % EX 4 --------------------------------------------------------

\medskip 
 
Le nombre d'abonnés à une revue dépend du prix de la revue.
 
Pour un prix $x$ compris entre 0 et 20~\euro, le nombre d'abonnés est donné par la fonction $A$ telle que : $A(x) = - 50 x + \np{1250}$.
 
La recette, c'est-à-dire le montant perçu par l'éditeur de cette revue, est donnée par la fonction $R$ telle que : $R(x) = - 50 x^2 + \np{1250} x$. 


\begin{center}\textbf{Représentation graphique de la fonction} \boldmath $A$ \unboldmath 

\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.004cm}
\begin{pspicture}(-1,-100)(25,1400)
\multido{\n=0+1}{25}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=gray,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,1400)}
\multido{\n=0+100}{15}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=gray,linewidth=0.2pt](0,\n)(24,\n)}
\psplot[plotpoints=100,linewidth=1.25pt]{0}{24}{1250 50 x mul sub}
\uput[u](19,0){prix de la revue en euros}
\uput[r](0,1350){nombre d'abonnés}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=200]{->}(0,0)(-1,-100)(25,1300)
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\textbf{Représentation graphique de la fonction } \boldmath $R$ \unboldmath
\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.0008cm}
\begin{pspicture}(-1,-400)(20,8400)
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=gray,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,8400)}
\multido{\n=0+400}{21}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=gray,linewidth=0.2pt](0,\n)(20,\n)}
\psplot[plotpoints=100,linewidth=1.25pt]{0}{20}{25  x  sub 50 mul x mul}
\uput[u](16,0){prix de la revue en euros}
\uput[r](0,8350){recette en euros}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2000]{->}(0,0)(-1,-400)(20,8400)
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le nombre d'abonnés est-il proportionnel au prix de la revue ? Justifier. 
\item Vérifier, par le calcul, que $A(10) = 750$ et interpréter concrètement ce résultat. 
\item La fonction $R$ est-elle affine ? Justifier. 
\item Déterminer graphiquement pour quel prix la recette de l'éditeur est maximale. 
\item Déterminer graphiquement les antécédents de \np{6800} par $R$. 
\item Lorsque la revue coûte $5$~euros, déterminer le nombre d'abonnés et la recette. 
\end{enumerate}

\bigskip

\exercice{4} % EX 5 ----------------------------------------------

\begin{minipage}{3cm}
\small
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Année & SMIC\\\hline
2011& 	9,40 \\\hline
2010& 	9,00 \\\hline
2009& 	8,82 \\\hline
2008& 	8,63 \\ \hline
2007& 	8,44 \\ \hline
2006& 	8,27 \\ \hline
2005& 	8,03 \\ \hline
2004& 	7,61 \\  \hline
2003& 	7,19 \\\hline
2002& 	6,83 \\	 \hline
2001& 	6,67\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\textwidth-3cm}
On considère la série statistique donnant le SMIC\footnote{SMIC: salaire minimum interprofessionnel de croissance} horaire brut en euros de 2001 à 2011 (source: INSEE).

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'étendue de cette série ? Interpréter ce résultat.
\item Quelle est la médiane ?
\item Paul remarque qu'entre 2001 et 2002, l'augmentation du SMIC horaire brut est de 16 centimes alors qu'entre 2007 et 2008, elle est de 19 centimes.\\
Il affirme que \og le pourcentage d'augmentation en 2012 est supérieur à celui pratiqué entre 2001 et 2002 \fg.\\
A-t-il raison ?	 
\end{enumerate}
\end{minipage}

%\bigskip

\exercice{4} % EX 6 -----------------------------------------------------

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
\emph{On considère la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur.}

\bigskip

\begin{minipage}{0.25\textwidth}
\psset{unit=0.35cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(10,7.2)
\psframe(3,7)(9,0)
\psline(3,7)(0,7)(9,2.8)
\uput[u](0,7){A} 
\uput[u](3,7){B} 
\uput[u](9,7){C} 
\uput[dl](3,5.5){M} 
\uput[r](9,2.8){F} 
\uput[ur](3,0){E} 
\uput[r](9,0){D} 
\uput[u](1.5,7){3} 
\uput[u](6,7){6} 
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.75\textwidth}
BCDE est un carré de 6 cm de côté.
 
Les points A, B et C sont alignés et AB = 3 cm.
 
F est un point du segment [CD].
 
La droite (AF) coupe le segment [BE] en M.

Déterminer la longueur CF par calcul ou par construction pour que les longueurs BM et FD soient égales. 
\end{minipage}

%\bigskip

\exercice{5} % EX 7 -------------------------------------------------

On peut lire au sujet d'un médicament :
 
\og Chez les enfants (12 mois à 17 ans), la posologie doit être établie en fonction de la surface corporelle du patient [voir formule de Mosteller]. \fg
 
\og Une dose de charge unique de 70 mg par mètre carré (sans dépasser 70 mg par jour) devra être administrée \fg

\medskip
 
Pour calculer la surface corporelle en m$^2$ on utilise la formule suivante : 

Formule de Mosteller : Surface corporelle en m$^2 = \sqrt{\dfrac{\text{taille (en cm)} \times \text{masse (en kg)}}{\np{3600}}}$.

\bigskip

On considère les informations ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Patient &\^Age &Taille (m) &Masse (kg) &Dose administrée\\ \hline 
Lou &5 ans &1,05 &17,5 &50 mg\\ \hline  
Joé &15 ans &1,50 &50 &100 mg\\ \hline 
\end{tabularx}
\medskip 

\begin{enumerate}
\item La posologie a-t-elle été respectée pour Joé ? Justifier la réponse. 
\item Vérifier que la surface corporelle de Lou est environ de $0,71$ m$^2$. 

\medskip

\textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
\item La posologie a-t-elle été respectée pour Lou ? Justifier la réponse 
\end{enumerate}

\correction

\exercice{6} % EX 1 -------------------------------------------------

\begin{enumerate}
\item Réponse A.
\item Réponse B. On peut tester l'inégalité pour $x=0$ et obtenir $-14\leqslant-16$, qui est faux. Donc \og 0 \fg{} ne fait pas partie des solutions.
\item Réponse B.
\item Réponse C.
\item Réponse B. Le volume du liquide est le huitième du volume total.
\item Réponse C.
\end{enumerate}

\exercice{4} % EX 2 -------------------------------------------------

\begin{enumerate}
\item Il y a autant de cartes dans chaque famille et il y a 4 familles différentes.\\
\textbf{Ainsi, la probabilité d'obtenir un trèfle est égale à $\pmb{\dfrac{1}{4}}$.}

\item 6 \og c\oe ur \fg{} ont été tirés sur 24 ; donc la fréquence d'une carte de la famille c\oe ur est égale à $\dfrac{6}{24}$, soit $\dfrac{1}{4}$.\\
De même, la fréquence d'une carte de la famille trèfle est $\dfrac{8}{24}$, soit $\dfrac{1}{3}$.

\item Question déroutante ... Il ne faut pas se baser sur les statistiques obtenues précédemment pour prévoir ce qui va se passer. Ce n'est pas parce que plus de \og trèfle \fg{} ont été obtenus lors de la 1\iere{} expérience que cela en sera ainsi pour la 2\ieme{}.\\
En théorie, chaque famille a la même probabilité d'être choisie.\\ \textbf{Donc Arthur et Julie ont la même chance de gagner.}
\end{enumerate}

\exercice{6} % EX 3 ---------------------------------------------

\begin{enumerate}
\item BAC est isocèle en A et (AO) semble être la bissectrice de \angle{BAC}. De plus, $\dfrac{50}{2}=25$.\\
\textbf{Ainsi, $\pmb{\angle{BAM}=25\degres}$.}

\item $\left[\text{AM}\right]$ est un diamètre du cercle (C) ; de plus, B est sur (C).\\
Or, tout triangle inscrit dans un cercle dont un côté coïncide avec un diamètre est rectangle.\\
\textbf{Ainsi, BAM est un triangle rectangle en B.}

\item Dans le triangle rectangle BAM,
\[ \cos\angle{BAM}=\dfrac{\text{BA}}{\text{AM}}\]
Donc,
\[ \cos25\degres=\dfrac{5}{\text{AM}}\]
Et donc,
\[ \text{AM}= \dfrac{5}{\cos 25\degres} \approx 5,5\]
\textbf{Ainsi, AM mesure environ 5,5 cm.}

\item Les angles $\angle{BAC}$ et $\angle{BKC}$ sont inscrits dans (C) et interceptent l'arc $\wideparen{BC}$. Ils ont donc la même mesure.\\
\textbf{Ainsi, $\pmb{\angle{BKC}=25\degres}$.}
\end{enumerate}

\exercice{7} % EX 4 ---------------------------------------------

\begin{enumerate}
\item La droite représentant la fonction donnant le nombre d'abonnés en fonction du prix de la revue ne passe pas par l'origine du repère.\\
\textbf{Ainsi, le nombre d'abonnés n'est pas proportionnel au prix de la revue.}

\item $\begin{aligned}[t]
A(10) & = -50\times10+\numprint{1250}\\
& = -500+\numprint{1250}\\
\pmb{A(10)} & \pmb{=750}.
\end{aligned}$

\medskip

Ce la signifie que si la revue coûte 10~\euro, il y aura 750 abonnés.

\item La fonction $R$ n'est pas affine car sa représentation n'est pas une droite.

\item Sur le graphique, le maximum de la courbe est atteint pour $x=12,5$.\\
\textbf{Donc, pour 12,5 \euro, la recette est maximale.}

\item Les antécédents de \numprint{6800} par la fonction R sont $x=8$ et $x=17$.\\
En effet, une graduation en ordonnée correspond à 400 abonnés (car 5 graduations correspondent à \numprint{2000} abonnés).

\item Pour $x=5$, $\begin{aligned}[t]
R(5) & = -50\times5^2+\numprint{1250}\times5\\
& = -\numprint{1250}+\numprint{6250}\\
& = \numprint{5000}
\end{aligned}$ et $\begin{aligned}[t]
A(5) & = -50\times5+\numprint{1250}\\
& = -250+\numprint{1250}\\
& = \numprint{1000}
\end{aligned}$.

\medskip

\textbf{Ainsi, quand la revue coûte 5 \euro, il y a \numprint{1000} abonnés et la recette est \numprint{5000} \euro.}
\end{enumerate}

\exercice{4} % EX 5 --------------------------------------------------

\begin{enumerate}
\item L'étendue de cette série est :
\[e=9,40-6,67 = 2,73\]
\textbf{Le SMIC a donc augmenté de 2,73 \euro.}

\item La médiane est la 6\ieme{} valeur de la série car c'est elle qui partage la série en deux séries de même effectif. \\
\textbf{Donc la médiane est 8,27.}

\item Cette question n'a aucun sens ! Donc, il est impossible d'y répondre ...
\end{enumerate}

\exercice{4} % EX 6 --------------------------------------------------

D'après le théorème de Thalès, 
\[ 
\frac{\text{BM}}{\text{CF}}=\frac{\text{AB}}{\text{AC}}.
\]
Donc :
\[ 
\frac{\text{BM}}{6-\text{FD}}=\frac{3}{9}.
\]
Or, on veut que $\text{BM}=\text{FD}$. D'où :
\[ 
\frac{\text{BM}}{6-\text{BM}}=\frac{1}{3},
\]
Soit :
\[ 3\text{BM}=6-\text{BM}.\]
On en déduit alors :
\[ 4\text{BM}=6\]
ou encore :
\[ \text{BM}=\dfrac{6}{4}=1,5.\]
De plus, 
\[ \text{CF}=6-\text{FD}=6-1,5=4,5.\]
\textbf{Ainsi, la longueur de CF doit être 4,5 cm pour que BM et FD soient égales.}

\exercice{5} % EX 7 --------------------------------------------------

\begin{enumerate}
\item La posologie stipule que l'on ne doit pas dépasser 70 mg. Or, Joé a reçu 100 mg.\\
\textbf{Donc la posologie n'a pas été respectée.}

\item La surface corporelle de Lou est :
\begin{align*}
\sqrt{\dfrac{105\times17,5}{\numprint{3600}}} & \approx \sqrt{\numprint{0,510417}}\\
& = \approx 0,71.
\end{align*}

\item 70 mg pour 1 m$^2$ sachant que pour Lou, la surface corporelle est 0,71 m$^2$.
\[ 0,71\times70\approx49,7\]
Cependant, 0,71 est une valeur approchée !\\
Si on calcule sans valeur approchée jusqu'à la fin, on a :
\[ 70\times\sqrt{\dfrac{105\times17,5}{\numprint{3600}}}\approx50,01\]
\textbf{Donc la posologie a bien été respectée pour Lou.}
\end{enumerate}
\end{document}