\documentclass[12pt]{article} 
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\AddToShipoutPictureBG{%
\put(\LenToUnit{1mm},\LenToUnit{1mm}){%
\begin{tikzpicture}
\node[rotate=56,gray!20,scale=7]  {http://www.mathweb.fr};
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}
}

\newcounter{numexo}

\newcommand{\helv}{\fontfamily{phv}\fontseries{b}\selectfont}
\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}}
\renewcommand{\cellspacetoplimit}{5pt}
\renewcommand{\cellspacebottomlimit}{5pt}

%\newcommand{\correction}{\begin{center}\scshape\Large\helv Correction\end{center}\vskip 1pt\hrulefill\vskip 1em\setcounter{numexo}{0}}

% Macro "exercice"
\newcommand*\exercice 
{%
\vskip 2em

\stepcounter{numexo}
\helv Exercice \thenumexo{}

\bigskip\normalfont
}

%%%%%% Macro "activite"
\newcommand{\activite}[1]{%
\newpage
\setcounter{numexo}{0}
\begin{center}
\fcolorbox{black}{yellow!30}{~\scshape\Large Activités #1~}
\end{center}
}

\newcommand{\probleme}[1][]{%
\newpage
\begin{center}
\fcolorbox{black}{yellow!30}{~\scshape\Large Problème\ifx#1\@empty\else #1\fi}
\end{center}
}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{document}
% ======================================================
% ================== PAGE DE GARDE =====================
% ======================================================
\vspace*{10cm}
\begin{center}
\Huge\bfseries SUJET D'ENTRAÎNEMENT AU BREVET DES COLLEGES\\
\vspace*{3em}
\large Stéphane PASQUET\\
\vspace*{3em}
\normalfont\emph{Si vous souhaitez posséder ce sujet sans le fond de page, contactez-moi : contact}\verb+@+\emph{mathweb.fr}
\end{center}

% ======================================================
% ==================== SUJET ===========================
% ======================================================

\activite{Numériques}

\exercice %%%%%%%%%%% EX 1

Voici un programme de calculs :

\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\vskip 0.3em
\begin{description}
\item[$\bullet$] Choisir un nombre
\item[$\bullet$] Ajouter 5 à ce nombre
\item[$\bullet$] \'Elever au carré le résultat obtenu
\item[$\bullet$] Soustraire 49 au dernier résultat
\end{description}
\vskip 1em
\end{minipage}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quel est le résultat de ce programme de calculs si l'on choisit le nombre 3 au début ?
\item On décide de noter $x$ le nombre choisi.
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'expression littérale développée qui donne le résultat final ?
\item Quelle est l'expression littérale factorisée qui donne le résultat final ?
\end{enumerate}
\item On pose $A=(x-2)(x+12)$.\\
Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $A=0$ ?\\
Que cela représente-t-il pour le programme de calculs précédent ?
\end{enumerate}

\exercice %%%%%%%%%%% EX 2

\begin{enumerate}
\item On considère les deux expressions suivantes :
\[
A = \left(\frac{\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{4}}{\dfrac{11}{5}}+\dfrac{3}{4}\right)\times \frac{2}{3}\qquad;\qquad B=\frac{18\times\left(10^{-2}\right)^3}{10^{-8}\times 6\times 10^{2}}
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Vérifier que $B$ est un nombre entier. \'Ecrire toutes les étapes du calcul.
\item \'Evariste stipule que $B$ est l'opposé de $A$. Est-ce exact ? Justifier.
\end{enumerate}

\item On considère l'expression suivante :
\[ C=\sqrt{405}+2\sqrt{320}-\sqrt{500}\]
Mettre $C$ sous la forme $a\sqrt{5}$, où $a$ est un entier relatif.
\end{enumerate}

\pagebreak

\exercice % EX 3

Un chocolatier désire préparer un assortiment de chocolats blancs et chocolats noirs, qu'il mettra dans des boîtes.\\
Pour cela, il dispose en tout de \numprint{3036} chocolats noirs et \numprint{1056} chocolats blancs et il souhaite tous les utiliser.
\begin{enumerate}
\item Combien de boîtes pourra-t-il constituer ?
\item Calculer le nombre de chocolats noirs et de chocolats blancs qu'il y aura dans chacune des boîtes.
\end{enumerate}

\exercice % EX 4

Nous avons représenté ci-dessous l'histogramme représentant le nombre d'enfants par couple d'un village :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\foreach \y in {1,2,3,4,5}
{
	\draw[dashed] (12,\y) -- (0,\y);
	\node[left] at (0,\y) {\y 00};
}
\foreach \x/\y/\t in {0/0.5/0,2/3/1,4/4.5/2,6/1.5/3,8/0.5/4}
{
	\filldraw[draw=black,left color=black!70!white,right color=black!40!white] (\x,0) rectangle+(2,\y);
	\node[below] at ({\x+1},0) {\t};
}
\draw[->,>=stealth',thick] (0,0) -- (12,0) node[below left,inner ysep=2em] {Nombre d'enfants par famille};
\draw[->,>=stealth',thick] (0,0) -- (0,6) node[below right] {Effectifs};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|Sl|*5{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
\bfseries Nombre d'enfants par famille & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
\hline
\bfseries Effectif & & & & & \\
\hline
\bfseries Effectif cumulé croissant & & & & & \\
\hline
\end{tabularx}

\item Quelle est la médiane du nombre d'enfants par famille dans ce village ?
\item Quelle est la moyenne du nombre d'enfants par famille dans ce village ?
\item Quelle est la fréquence du nombre d'enfants par famille inférieur ou égal à 2 ?
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%% ACT GEOMETRIQUE 

\activite{Géométriques}

\exercice % 1

Soit ABC un triangle rectangle en B tel que $\text{AB}=6,8~\text{cm}$ et $\text{BC}=5,1~\text{cm}$.

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
On souhaite tracer trois cercles :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] un cercle $\mathscr{C}_A$, de centre A,
\item[$\bullet$] un cercle $\mathscr{C}_B$, de centre B,
\item[$\bullet$] un cercle $\mathscr{C}_C$, de centre C,
\end{itemize}

\medskip

de sorte que :

\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\mathscr{C}_A$ et $\mathscr{C}_B$ ait un seul point d'intersection, noté M,
\item[$\bullet$] $\mathscr{C}_A$ et $\mathscr{C}_C$ ait un seul point d'intersection, noté N,
\item[$\bullet$] $\mathscr{C}_B$ et $\mathscr{C}_C$ ait un seul point d'intersection, noté P,
\end{itemize}

\medskip

comme l'illustre la figure ci-contre.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\filldraw[fill=gray] (0,0) node[left] {A} -- (4,0) node[right] {B} -- (4,-3) node[below] {C} -- cycle;
\filldraw[fill=white] (0,0) circle (3cm);
\filldraw[fill=white] (4,0) circle (1cm);
\filldraw[fill=white] (4,-3) circle (2cm);
\draw (0,0) node[left] {A} -- (4,0) node[right] {B} -- (4,-3) node[below] {C} -- cycle;
\filldraw[pattern=north east lines] (2.4,-1.8) -- (0,0) -- (3,0) arc(0:-40:3cm);
\filldraw[pattern=north west lines] (2.4,-1.8) -- (4,-3) -- (4,-1) arc(90:140:2cm);
\filldraw[pattern=horizontal lines] (4,-1) -- (4,0) -- (3,0) arc(180:270:1cm);
\draw (3.75,0) -- (3.75,-0.25) -- (4,-.25);
\node[above left] at (3,0) {M};
\node[left] at (2.4,-1.8) {N};
\node[below right] at (4,-1) {P};
\fill (3,0) circle (3pt);
\fill (4,-1) circle (3pt);
\fill (2.3,-1.8) circle (3pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Calculer AC.
\item On note $x$ le rayon de $\mathscr{C}_A$ et $y$ celui de $\mathscr{C}_B$.\\
Montrer que l'on a le système suivant :
\[
\systeme[][:]{x+y=6,8:x-y=3,4}
\]
\item Résoudre ce système.
\item Déterminer une valeur approchée (au degré près) de l'angle $\widehat{ACB}$. \\
En déduire une valeur approchée (au degré près) de l'angle $\widehat{CAB}$.
\item \`A l'aide de la proportionnalité, déterminez une valeur approchée au dixième de l'aire des surfaces hachurées BPM, AMN et CPN.\\
\emph{On rappelle que l'aire d'un disque de rayon $r$ est donnée par la formule : $\pi r^2$}.
\item En déduire l'aire de la partie grisée entre les trois cercles.
\end{enumerate}

\newpage

\exercice % 2

\begin{minipage}{5cm}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (A) at (2,0);
\coordinate (OO) at (0,4);
\coordinate (B) at (0.75,4);
\coordinate (S) at (0,6);
\draw (-2,0) arc(180:360:2cm and 1cm);
\draw[dashed] (A) arc(0:180:2cm and 1cm);
\draw (-.75,4) arc(180:360:0.75cm and 0.375cm);
\draw[dashed] (0.75,4) arc(0:180:0.75cm and 0.375cm);
\draw (-.75,6) arc(180:360:0.75cm  and 0.375cm);
\draw (0.75,6) arc(0:180:0.75cm  and 0.375cm);
\draw (-2,0)--(-0.75,4)--(-0.75,6);
\draw (2,0)--(0.75,4)--(0.75,6);
\fill (O) circle (1pt) node[below right] {$O$};
\fill (A) circle (1pt) node[right] {$A$};
\fill (OO) circle (1pt) node[right] {$O'$};
\fill (S) circle (1pt) node[right] {$S$};
\fill (B) circle (1pt) node[right] {$B$};
\draw[dashed] (-0.75,4)--(S)--(0.75,4);
\draw[<->,>=stealth'] (O)--(A) node[above,midway] {5~cm};
\draw[<->,>=stealth'] (O)--(OO) node[above,midway,rotate=90] {20~cm};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\textwidth-5.1cm}
La carafe ci-contre est formée d'un morceau de cône (de sommet $S$) surmonté d'un cylindre.

\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Le rayon de la base du tronc de cône est égal à 5~cm ;
\item[$\bullet$] Le rayon de la base du cylindre est égal à 1~cm;
\item[$\bullet$] La hauteur du tronc du cône est égale à 20~cm;
\end{itemize}

\medskip

$O$, $O'$ et $S$ sont les centres des différentes bases comme l'indique la figure ci-contre. Toutes les bases sont parallèles.

\medskip

\emph{On donnera les résultats exacts, sauf pour la question 4.}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la longueur $OS$.
\item 
\begin{enumerate}
\item En déduire le volume du cône \underline{non tronqué}.
\item Calculer alors le volume du cône tronqué.
\end{enumerate}
\item Calculer le volume du cylindre.
\item Quel est alors le volume de la carafe ? Vous arrondirez le résultat au cm$^3$ près.\\
Quelle fraction de litre cela représente-t-il ?
\end{enumerate}
\end{minipage}

\exercice % ex 3

On considère un triangle ABC tel que :
\begin{quote}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] AB = 5 cm ;
\item[$\bullet$] BC = 7 cm ;
\item[$\bullet$] AC = 9 cm.
\end{itemize}
\end{quote}

Soit I le milieu de [AC] et soit D le point d'intersection des droites (BI) et de la droite parallèle à (AB) passant par C.

\begin{enumerate}
\item Montrer que ABC n'est pas un triangle rectangle.
\item Faites une figure.
\item Démontrer que ABCD est un parallélogramme.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%% PROBLEME

\probleme

Soit $\mathscr{C}$ un cercle de centre O et de diamètre [AB], avec AB = 8 cm.\\
On considère alors un point M sur $\mathscr{C}$ tel que $\widehat{\text{BAC}}=x$, angle exprimé en degrés.\\
Soit H le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC.

\begin{enumerate}
\item Faites une figure en prenant $x=30^\circ$.
\item Démontrer que le triangle ABC est toujours rectangle, quelle que soit la valeur de $x$.
\item Justifiez l'égalité : $\widehat{\text{HOC}}=2x$.
\item Montrer alors que $\text{CH}=4\sin(2x)$.
\item On note $f(x)$ l'aire du triangle ABC.\\
Montrer que $f(x)=16\sin(2x)$.
\item Nous avons représenté ci-dessous la représentation de la fonction $f$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.1]
\draw[gray!20] (0,0) grid[xstep=2.5,ystep=0.25] (90,4.5);
\draw[gray] (0,0) grid[xstep=10,ystep=1] (90,4.5);
\draw[->,>=stealth'] (0,0) -- (100,0) node[below left] {$x$};
\draw[->,>=stealth'] (0,0) -- (0,5) node[right] {$y$};
\draw[thick] plot[domain=0:90,samples=70] (\x,{4*sin(2*\x)});
\foreach \x in {0,10,...,90}
{
\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach \y in {0,1,2,3,4}
{
\draw (1,\y) -- (-1,\y) node[left] {\y};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Trouver graphiquement la valeur de l'aire du triangle ABC quand $x=30^\circ$.
\item D'après cette courbe, pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle ABC est-elle maximale ?
\item Existe-t-il une valeur de $x$ autre que zéro telle que l'aire du triangle ABC soit égale au vingtième de cette valeur ? Si oui, en préciser une valeur approchée.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

% ======================================================
% ==================== CORR. ===========================
% ======================================================

\activite{Numériques : Correction}

\exercice % EX 1

\begin{enumerate}
\item On choisit le nombre \og 3 \fg; alors, le programme de calculs donne :
\begin{description}
\item[$\bullet$] On choisit : 3
\item[$\bullet$] $3+5=8$
\item[$\bullet$] $8^2=64$
\item[$\bullet$] $64-49=15$
\end{description}

\item 
\begin{enumerate}
\item Le programme de calculs donne, pour un nombre $x$ quelconque :
\begin{description}
\item[$\bullet$] On choisit : $x$
\item[$\bullet$] $x+5$
\item[$\bullet$] $(x+5)^2=x^2+2\times 5\times x + 5^2=x^2+10x+25$
\item[$\bullet$] $x^2+10x+25-49=x^2+10x-24$
\end{description}
Ainsi, l'expression littérale développée donnant le résultat final est :
\[ \boxed{x^2+10x-24} \]

\item Nous l'avons vu dans la réponse précédente, une expression du résultat est :
\[ (x+5)^2-49\]
Ainsi, nous avons :
\begin{align*}
(x+5)^2-49 & =(x+5)^2-7^2\\
& = [(x+5)-7][(x+5)+7]\\
& = (x+5-7)(x+5+7)\\
& = (x-2)(x+12)
\end{align*}
Ainsi, l'expression littérale factorisée donnant le résultat final est :
\[ \boxed{(x-2)(x+12)} \]
\end{enumerate}

\item Résolvons l'équation $A=0$, soit $(x-2)(x+12)=0$.\\
\og \emph{Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.} \fg{} \\
Ainsi, nous avons :

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{align*}
x-2 & =0\\
x & =2
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.1\linewidth}
ou\\
ou
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{align*}
x+12 & =0\\
x&=-12
\end{align*}
\end{minipage}

L'ensemble des solutions à l'équation $A=0$ est donc : 
\[ \boxed{S=\{-12~;2\}} \]
$A$ représente la forme factorisée de l'expression qui donne le résultat final du programme de calculs; ainsi, ces solutions représentent les valeurs que l'on peut prendre au début pour obtenir un résultat égal à 0.
\end{enumerate}

\newpage

\exercice %%%%%%% EX 2
\begin{enumerate}
\item 
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
A & =\left(\dfrac{\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{4}}{\dfrac{11}{5}}+\dfrac{3}{4}\right)\times \dfrac{2}{3}\\
& = \left(\dfrac{\dfrac{4}{20}-\dfrac{15}{20}}{\dfrac{11}{5}}+\dfrac{3}{4}\right)\times \dfrac{2}{3}\\
& = \left(\dfrac{-\dfrac{11}{20}}{\dfrac{11}{5}}+\dfrac{3}{4}\right)\times \dfrac{2}{3}\\
& = \left(-\dfrac{11}{20}\times\dfrac{5}{11}+\dfrac{3}{4}\right)\times \dfrac{2}{3}\\
& = \left(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\right)\times\dfrac{2}{3}\\
& = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}\\
\textcolor{red}{A} & \textcolor{red}{= \dfrac{1}{3}}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
B & = \dfrac{18\times\left(10^{-2}\right)^3}{10^{-8}\times 6\times 10^{2}}\\
& = \dfrac{18\times 10^{-2\times 3}}{6\times 10^{-8+2}}\\
& = \dfrac{18}{6}\times\dfrac{10^{-6}}{10^{-6}}\\
\textcolor{red}{B} & \textcolor{red}{= 3}
\end{aligned}$

\item Nous constatons que $B$ est l'inverse de $A$, et non son opposé.
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item $\begin{aligned}[t]
C & = \sqrt{405}+2\sqrt{320}-\sqrt{500}\\
& = \sqrt{5\times81}+2\sqrt{5\times64}-\sqrt{5\times100}\\
& = \sqrt{5\times9^2}+2\sqrt{5\times8^2}-\sqrt{5\times10^2}\\
& = 9\sqrt{5}+2\times8\sqrt{5}-10\sqrt{5}\\
\red{C} & \red{= 15\sqrt{5}}
\end{aligned}$
\end{enumerate}

\exercice % EX 3

\begin{enumerate}
\item Nous allons calculer $\text{PGCD}(\numprint{3036}~;\numprint{1056})$ à l'aide de l'algorithme d'{\scshape Euclide} :

$\begin{aligned}[t]
\numprint{3036} & =2\times\numprint{1056}+924\\
\numprint{1056} & =1\times924+132\\
924 & =7\times132+0
\end{aligned}$

Ainsi, $\text{PGCD}(\numprint{3036}~;\numprint{1056})=132$.

\medskip

\red{Le chocolatier pourra donc constituer 132 bo\^ites.}

\item $\dfrac{\numprint{3036}}{132}=23$ et $\dfrac{\numprint{1056}}{132}=8$.

\medskip

\red{Ainsi, il y aura 23 chocolats noirs et 8 chocolats blancs dans chacune des boîtes.}
\end{enumerate}

\newpage

\exercice % EX 4

\begin{enumerate}
\item Le tableau complété est le suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|Sl|*5{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
\bfseries Nombre d'enfants par famille & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
\hline
\bfseries Effectif & 50 &300 & 450&150 &50 \\
\hline
\bfseries Effectif cumulé croissant &50 & 350& 800& 950& \numprint{1000} \\
\hline
\end{tabularx}

\item La moitié de l'effectif total est égale à 500. On atteint ce nombre pour 2 enfants. \\
\red{Donc la médiane est égale à 2.}

\item La moyenne du nombre d'enfant se calcule ainsi :
\begin{align*} \overline{x} & =\frac{0\times50+1\times300+2\times450+3\times150+4\times50}{\numprint{1000}}\\
\overline{x} & = \frac{\numprint{1850}}{\numprint{1000}}\\
\red{\overline{x}} & \red{=1,85}
\end{align*}

\item L'effectif cumulé croissant correspondant à 2 enfants est 800. 
\[ \frac{800}{\numprint{1000}}=0,8\]
\red{Par conséquent, la fréquence du nombre d'enfants par famille inférieur ou égal à 2 est 0,8.}
\end{enumerate}

\activite{Géométriques : Correction}

\exercice % 1

\begin{enumerate}
\item Le triangle ABC est rectangle en B ; ainsi, d'après le théorème de Pythagore :
\begin{align*}
\text{AC}^2 & = \text{AB}^2+\text{BC}^2\\
& = 6,8^2+5,1^2\\
& = 46,24+26,01\\
& = 72,25\\
\text{AC} & = \sqrt{72,25}\\
\text{AC} & =8,5
\end{align*}

\red{Ainsi, $\text{AC}=8,5~\text{cm}$.}

\item D'après la construction, $\text{AM}+\text{MB}=\text{AB}$, donc $x+y=6,8$, d'où la première équation du système.\\
De plus :
\begin{align*}
\text{CP} & =\text{CN}\\
\text{CB}-\text{BP} & =\text{AC}-\text{AN}\\
5,1-y & =8,5-x
\end{align*}

En réordonnant les termes de cette dernière équation, on a :
\[ x-y=8,5-5,1 \]
Soit :
\[ x-y=3,4 \]
D'où la seconde équation du système.

\item En additionnant terme à terme les deux équations, nous obtenons :
\[ 2x=10,2\]
Soit :
\[ x=\frac{10,2}{2}=5,1 \]
En remplaçant $x$ par $5,1$ dans la première équation, on a :
\[ 5,1+y=6,8\]
D'où :
\[ y=6,8-5,1=1,7 \]
L'ensemble solution du système est donc :
\[ \red{S=\{(5,1~;1,7\}} \]

\item Dans le triangle ABC rectangle en B, on a :
\[ \cos \widehat{ACB}=\frac{\text{BC}}{\text{AC}}=\frac{5,1}{8,5} \]
D'où : 
\[ \widehat{ACB} =\cos^{-1}\left(\frac{5,1}{8,5}\right)\]
Soit :
\[ \red{\widehat{ACB}\approx 53^{\circ}} \]
On en déduit alors :
\[ \widehat{CAB}\approx 90-53 \]
car dans un triangle rectangle, les deux angles autres que le droit sont complémentaires. D'où :
\[ \red{\widehat{CAB}\approx 37^{\circ}} \]

\item 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] L'aire $\mathscr{A}_\text{B}$ de la partie hachurée BPM est le quart de l'aire du cercle $\mathscr{C}_B$.\\
L'aire de $\mathscr{C}_B$ est :
\[ \frac{\pi\times 1,7^2}{4} = 2,89\pi \]
\red{L'aire hachurée BPM est donc à peu près égale à $2,3~\text{cm}^2$.}

\item[$\bullet$] Pour l'aire hachurée AMN, nous allons utiliser le tableau de proportionnalité suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|}
\hline
\bfseries Angle & $360^\circ$ & $37^\circ$\\
\hline
\bfseries Aire du secteur angulaire & $\pi\times 5,1^2$ & $\mathscr{A}_\text{A}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\[\mathscr{A}_\text{A} = \frac{37\times\pi\times5,1^2}{360}\approx 8,4\]
\red{L'aire hachurée AMN est donc à peu près égale à $8,4~\text{cm}^2$.}

\item[$\bullet$] Le rayon de $\mathscr{C}_C$ est égale à :
\[ 5,1-1,7=3,4\]
Pour l'aire hachurée CPN, nous allons utiliser le tableau de proportionnalité suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|}
\hline
\bfseries Angle & $360^\circ$ & $53^\circ$\\
\hline
\bfseries Aire du secteur angulaire & $\pi\times 3,4^2$ & $\mathscr{A}_\text{C}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\[\mathscr{A}_\text{C} = \frac{53\times\pi\times3,4^2}{360}\approx 5,3\]
\red{L'aire hachurée CPN est donc à peu près égale à $5,3~\text{cm}^2$.}
\end{itemize}

\item L'aire grisée $\mathscr{A}$ est égale à l'aire $\mathscr{A}_{\text{ABC}}$ du triangle ABC à laquelle on soustrait la somme de l'aire des surfaces hachurées :
\begin{align*} \mathscr{A} & =\mathscr{A}_{\text{ABC}}-\left(\mathscr{A}_\text{A}+ \mathscr{A}_\text{B}+\mathscr{A}_\text{C}\right)\\
& \approx \dfrac{\text{AB}\times\text{BC}}{2}- (2,3+8,4+5,3)\\
& \approx 17,34-16\\
& \approx 1,34
\end{align*}
\red{L'aire de la partie grisée est donc à peu près égale à 1,34 cm$^2$.}
\end{enumerate}

\exercice % 2

\begin{enumerate}
\item Dans le triangle OAS, 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $(O'B)//(OA)$
\item[$\bullet$] $S$, $O'$ et $O$ sont alignés dans cet ordre
\item[$\bullet$] $S$, $B$ et $A$ sont alignés dans cet ordre
\end{itemize}

Ainsi, d'après le théorème de Thalès :
\[ 
\frac{SO'}{SO}=\frac{O'B}{OA}
\]
Donc :
\[
\frac{SO'}{SO'+20}=\frac{1}{5}
\]
Ainsi :
\[ 5SO' = SO'+20\]
D'où :
\[ 4SO'=20\]
Finalement, on a :
\[SO' = 5\]
Et donc :
\[ \red{SO=25~\text{cm}} \]

\item 
\begin{enumerate}
\item Le volume d'un cône est donné par la formule :
\[ \mathscr{V}=\frac{1}{3}\pi r^2h \]
où $r$ est le rayon de sa base et $h$ sa hauteur.

\medskip

On a alors :
\begin{align*}
\mathscr{V} & = \dfrac{1}{3}\pi\times 5^2\times 25\\
& = \dfrac{625}{3}\pi
\end{align*}

\red{Le volume du cône non tronqué est donc $\mathscr{V}=\dfrac{625}{3}\pi~\text{cm}^3$.}

\item Le volume du cône qui a été enlevé est :
\begin{align*}
\mathscr{V}^\prime & = \dfrac{1}{3}\pi\times BO'^2\times SO'\\
& = \dfrac{1}{3}\pi\times 5\\
& = \dfrac{5}{3}\pi
\end{align*}

Ainsi, le volume du cône tronqué est :
\begin{align*}
\mathscr{V}-\mathscr{V'} & = \dfrac{625}{3}\pi-\dfrac{5}{3}\pi\\
& = \dfrac{620}{3}\pi
\end{align*}

\red{Le volume du cône non tronqué est donc égal à $\dfrac{620}{3}\pi~\text{cm}^3$.}
\end{enumerate}

\item Le volume d'un cylindre est donné par la formule :
\[ \mathscr{V}_{\text{cylindre}}=\pi r^2h\]
où $r$ est le rayon d'une base et $h$ sa hauteur.

\medskip

On a alors :
\begin{align*}
\mathscr{V}_{\text{cylindre}}&=\pi\times 1^2\times 5\\
& =5\pi
\end{align*}

\red{Le volume du cylindre est donc égal à $5\pi~\text{cm}^3$.}

\item Le volume de la carafe est :
\begin{align*}
(\mathscr{V}-\mathscr{V'})+\mathscr{V}_{\text{cylindre}} & = \dfrac{620}{3}\pi+5\pi\\
& = \dfrac{620}{3}\pi+\dfrac{15}{3}\pi\\
& = \dfrac{635}{3}\pi\\
& \approx 665
\end{align*}

\red{Le volume de la carafe est donc à peu près égal à 665 cm$^3$, soit 0,663 L.}

\medskip

\red{Cela représente à peu près $\dfrac{2}{3}$ de litre.}
\end{enumerate}

\exercice % ex 3

\begin{enumerate}
\item D'une part, 
\begin{quote}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\text{AC}^2=9^2=81$
\end{itemize}
\end{quote}
D'autre part,
\begin{quote}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\begin{aligned}[t]
\text{AB}^2+\text{BC}& =5^2+7^2\\
& =25+49\\
& =74
\end{aligned}$
\end{itemize}
\end{quote}
Nous voyons alors que $\text{AC}^2\neq\text{AB}^2+\text{BC}^2$.\\
\red{Par conséquent, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle.}

\item Pour construire le cercle circonscrit à un triangle, on trace deux médiatrices, qui se coupent en O, centre de ce cercle.

\newpage

Voici la figure :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(9,0){C}
\tkzDrawPoints(A,C)
\tkzLabelPoints[right](C)
\tkzLabelPoints[left](A)
\tkzInterCC[R](A,5 cm)(C,7 cm)\tkzGetPoints{B}{D}
\tkzDrawPoints(B)\tkzLabelPoints[above](B)
\tkzDefMidPoint(A,C)\tkzGetPoint{I}
\tkzDrawPoints(I)\tkzLabelPoints[below left](I)
\tkzDrawLine[add=0.1 and 1.1](B,I)
\tkzDefLine[parallel=through C](A,B)\tkzGetPoint{Z}
\tkzDrawLine[add=1.1 and -0.6](C,Z)
\tkzInterLL(B,I)(C,Z)\tkzGetPoint{D}
\tkzDrawPoints(D)\tkzLabelPoints(D)
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On sait que :
\begin{quote}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] C, I et A sont alignés dans cet ordre ;
\item[$\bullet$] D, I et B sont alignés dans cet ordre ;
\item[$\bullet$] (CD) et (AB) sont parallèles.
\end{itemize}
\end{quote}
Ainsi, d'après le théorème de Thalès :
\[ \frac{\text{IC}}{\text{IA}}=\frac{\text{ID}}{\text{IB}}\]
Or, 
\[ \frac{\text{IC}}{\text{IA}}=1\]
car I est le milieu de [AC].
Ainsi,
\[ \frac{\text{ID}}{\text{IB}}=1\]
Soit :
\[ \text{ID}=\text{IB} \]
I est donc aussi le milieu de [BD].

\medskip

\emph{Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.}

\medskip

\red{Ainsi, ABCD est un parallélogramme.}
\end{enumerate}

\probleme[: Correction]

\begin{enumerate}
\item On a, pour $x=30^\circ$, la figure suivante :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (4,0) circle (4cm);
\node[left] at (0,0) {A};
\node[right] at (8,0) {B};
%\coordinate (C) at (30:{4*sqrt(3)});
\draw (0,0) -- (8,0) -- (30:6.928) -- cycle;
\node[above right] at (30:6.928) {C};
\draw (30:6.928) -- (6,0) node[below] {H};
\fill (4,0) circle (1pt) node[below] {O};
\draw (1,0) arc (0:30:1cm);
\node[right] at (15:1cm) {$30^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item On sait que :
\begin{quote}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] [AB] est un diamètre de $\mathscr{C}$ ;
\item[$\bullet$] C$\in\mathscr{C}$.
\end{itemize}
\end{quote}
Or, \emph{tout triangle inscrit dans un cercle dont un c\^oté est un diamètre de ce cercle est rectangle en le point extérieur au diamètre considéré.}

\red{Ainsi, ABC est rectangle en C, quelle que soit la valeur de $x$.}

\item Les angles $\widehat{\text{HOC}}$ et $\widehat{\text{BAC}}$ interceptent le même arc, à savoir $\wideparen{BC}$.\\
Ainsi, d'après le théorème de l'angle au centre, $\widehat{\text{HOC}}$ mesure le double de $\widehat{\text{BAC}}$.\\
\red{Par conséquent, $\widehat{\text{HOC}}=2x$.}

\item Dans le triangle HOC rectangle en H, 
\[ \sin\widehat{\text{HOC}} = \frac{\text{CH}}{\text{OC}}\]
Soit :
\[ \sin(2x) = \frac{\text{CH}}{4}\]
\`A l'aide des produits en croix, on déduit alors :
\[ \red{\text{CH}=4\sin(2x)} \]
\item L'aire d'un triangle se calcule à l'aide de la formule :
\[ \frac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}\]
Donc l'aire de ABC est :
\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{\text{AB}\times\text{CH}}{2}\\
f(x)& = \dfrac{8\times 4\sin(2x)}{2}\\
\red{f(x)}&\red{=16\sin(2x)}
\end{align*}

\item
\begin{enumerate}
\item Graphiquement, on peut lire : $f(30)\approx3,5$.\\
\red{Donc l'aire du triangle ABC est égale à environ 3,5 cm$^2$ quand $x=30^\circ$.}
\item La courbe atteint \og son point le plus haut \fg{} pour \red{$x=45^\circ$} (pour celle valeur de $x$, l'aire du triangle est égale à 4 cm$^2$).
\item On nous demande ici s'il existe une valeur de $x$ telle que $f(x)=\dfrac{1}{20}x$.\\
Il faut donc tracer la droite d'équation $y=\dfrac{1}{20}x$ et voir s'il existe au moins un point d'intersection de cette droite avec la courbe. Pour la tracer, on prend deux valeurs de $x$, choisies de façon à simplifier les calculs :
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|Sc|}
\hline
$x$ & 0 & 20\\
\hline
$\dfrac{1}{20}x$ & 0 & 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Ainsi, la droite passe par l'origine du repère et par le point de coordonnées $(20~;1)$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.1]
\draw[gray!20] (0,0) grid[xstep=2.5,ystep=0.25] (90,4.5);
\draw[gray] (0,0) grid[xstep=10,ystep=1] (90,4.5);
\draw[->,>=stealth'] (0,0) -- (100,0) node[below left] {$x$};
\draw[->,>=stealth'] (0,0) -- (0,5) node[right] {$y$};
\draw[thick] plot[domain=0:90,samples=70] (\x,{4*sin(2*\x)});
\foreach \x in {0,10,...,90}
{
\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach \y in {0,1,2,3,4}
{
\draw (1,\y) -- (-1,\y) node[left] {\y};
}
\draw[thick,red] plot[domain=0:90] (\x,{\x/20});
\draw[red,dashed] (0,3.17) -- (63.5,3.17) -- (63.5,0);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\red{Elle coupe bien la courbe en un point autre que l'origine. Ce point a pour abscisse environ 63 et pour ordonnée environ 3,15.}\\
On vérifie alors qu'en effet, $\dfrac{63}{20}=3,15$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}