\documentclass[12pt]{article} 
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\newcommand{\helv}{\fontfamily{phv}\fontseries{b}\selectfont}
\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}}
\renewcommand{\cellspacetoplimit}{5pt}
\renewcommand{\cellspacebottomlimit}{5pt}

\newcommand{\correction}{\begin{center}\scshape\Large\helv Correction\end{center}\vskip 1pt\hrulefill\vskip 1em\setcounter{numexo}{0}}

% Macro "exercice"
\newcounter{numexo}
\newcommand*\exercice[1]
{%
\vskip 2em

\stepcounter{numexo}
\helv Exercice \thenumexo{} (#1 points)

\bigskip\normalfont
}

% Listes
\setlist[enumerate,1]{label=\fcolorbox{gray!30}{gray!30}{\color{black}\bfseries\arabic*}}
\setlist[enumerate,2]{label=(\bfseries\alph*)}

\setlength\parindent{0mm}

\begin{document}
% ======================================================
% ================== PAGE DE GARDE =====================
% ======================================================
\vspace*{10cm}
\begin{center}
\Huge\bfseries SUJET MATHLAND 2013\\[10pt]\large
\emph{Sujet d'entraînement au DNB}\\
\vspace*{3em}
\large Stéphane PASQUET\\
\url{http://www.mathweb.fr}

\vspace*{3em}
\normalfont\emph{La présentation et la rédaction sont notées sur 4 points.}
\end{center}

\newpage

% ======================================================
% ==================== SUJET ===========================
% ======================================================

\exercice{5} % Vitesse -------------------------------------------------

Louis doit effectuer l'ascension d'une montagne, puis redescendre par le même chemin.\\
Il part à 8h27min du pied de la montagne et arrive au sommet à 11h55min.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer la durée de l'ascension en secondes.
\item Le flanc de la montagne mesure \numprint{2760}~mètres.\\
Calculer la vitesse moyenne de Louis, en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, lors de l'ascension.
\end{enumerate}

\item Lors de la descente, la vitesse moyenne de Louis est égale à 1,5~$\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.\\
Combien de temps, en minutes et secondes, Louis met-il pour redescendre de la montagne ?

\item Calculer la vitesse moyenne du trajet \og ascension + descente \fg{} en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. Arrondir le résultat au millième.

\item Louis souhaite calculer la vitesse moyenne du trajet \og ascension + descente \fg{} à l'aide d'une formule trouvée sur Internet : 
\[ v=\dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}}\]
où :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $v_1$ et $v_2$ représentent deux vitesses
\item[$\bullet$] $v$ représente la moyenne des deux vitesses
\end{itemize}

Appliquer cette formule pour trouver la vitesse moyenne voulue par Louis, puis comparer avec le résultat de la question précédente.

\item Convertir $0,384~\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ en $\text{km}\cdot\text{h}^{-1}$.
\end{enumerate}

\exercice{4} % Système -------------------------------------------------

Dans la vidéothèque de Julie, il y a des Blu-ray et des DVD. Elle compte en tout 180 boitiers.\\
Elle a toujours payé ses films aux plus bas prix : 15 \euro{} pour un Blu-ray et 10 \euro{} pour un DVD. Elle estime que le prix total de tous ses films est \numprint{2075} \euro.

\medskip

Calculer le nombre de Blu-ray et de DVD.

\exercice{6} % --------------------------------------------------------

\begin{minipage}{0.55\textwidth}
\emph{Toutes les longueurs seront exprimées en centimètres.}

\medskip

Une \og couronne \fg{} est la partie grise de la figure ci-contre. La largeur de la couronne est $x$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'aire de la couronne est égale à\linebreak$\pi x(x+2)$.

\item Montrer que chercher le nombre $x$ pour que l'aire de la couronne soit égale à celle du disque central revient à résoudre l'équation $x^2+2x-1=0$.
\item 
\begin{enumerate}
\item On pose $A=-1+\sqrt{2}$ et $B=-1-\sqrt{2}$. \\
Calculer $A\times B$ et $A+B$.
\item Développer l'expression : $(x-A)(x-B)$.
\item En déduire la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de la couronne est égale à celle du disque central.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\fill[gray!15] (0,0) circle (3cm);
\fill[white] (0,0) circle (1cm);
\draw[<->] (0,0) node[below] {O} -- (20:1cm) node[midway,above,rotate=20] {1};
\draw[<->] (20:1cm) -- (20:3cm) node[midway,above,rotate=20] {$x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\exercice{6} % Volumes, pythagore, thalès ----------------------------------------------

Un objet est obtenu à partir d'une demi-boule de diamètre 4 cm en lui enlevant une partie de cône de révolution de hauteur $h$ cm et de base de diamètre 2 cm, comme indiqué par la figure ci-dessous.

\medskip

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw (-2,0) arc(180:360:2cm and 0.5cm);
\draw[dotted] (2,0) arc(0:180:2cm and 0.4cm);
\draw (2,0) arc(0:180:2cm);
\draw[dashed] (1,0) arc(0:360:1cm and 0.2cm);
\draw (-0.46,1.95) -- (0,3.5) node[above,scale=0.7] {S} -- (0.46,1.95);
\draw[dashed] (-1,0) -- (-0.46,1.95);
\draw[dashed] (0.46,1.95) -- (1,0);
\draw (-0.46,1.95) arc(180:360:0.46cm and 0.05cm);
\draw[dashed] (0.46,1.9) arc(0:180:0.46cm and 0.05cm);
\draw[dashed] (0,3.5) -- (3,3.5);
\draw[dashed] (2,0) -- (3,0);
\draw[<->] (2.5,0) -- (2.5,3.5) node[midway,right] {$h$ cm};
\draw[dashed] (-1,0) -- (-1,-.75);
\draw[dashed] (1,0) -- (1,-.75);
\draw[<->] (-1,-0.75) -- (1,-0.75) node[midway,below] {2 cm};
\draw[dashed] (-2,0) -- (-2,-1.25);
\draw[dashed] (2,0) -- (2,-1.25);
\draw[<->] (-2,-1.25) -- (2,-1.25) node[midway,below] {4 cm};
\draw[dotted] (0,3.5) -- (0,0) node[left,scale=0.75] {O} -- (1,0) node[right,scale=0.7] {A};
\draw[dashed] (-0.46,1.95) -- (-2.5,1.95);
\draw[dashed] (-2,0) -- (-2.5,0);
\draw[<->] (-2.5,0)--(-2.5,1.95) node[midway,left] {1,95 cm};
\node[below left,scale=0.75] at (0,1.95) {H};
\node[above right,scale=0.7] at (0.5,1.95) {B};
\node[scale=0.7,above right,inner sep=1pt] at (0,2) {C};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {O} -- (0,1.95) node[left] {H} -- (0,3.5) node[above] {S} -- (1,0) node[right] {A} -- cycle;
\draw (0,1.95) -- (0.45,1.95) node[right] {B};
\draw (0.15,0) -- (0.15,0.15) -- (0,0.15);
\draw (0.15,1.95) -- (0.15,2.1) -- (0,2.1);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\emph{Tous les résultats seront arrondis au centième.}

\begin{enumerate}
\item \`A l'aide des informations portées sur les schémas ci-dessus, calculer HB. 
\item Calculer alors SH. 
\item Calculer le volume du grand cône de révolution ainsi que celui du cône de révolution qui dépasse de la demi-boule. 
\item Calculer le volume de la demi-boule pleine (donc sans tenir compte du trou).
\item La partie de la demi-boule au-dessus de la base du petit cône de révolution a un volume qui se calcule avec la formule :
\[ \dfrac{\pi}{3}\times\text{HC}^2\times(3\text{R}-\text{HC})\]
où R représente le rayon de la demi-boule.\\
Calculer ce volume.
\item En déduire le volume de l'objet troué.
\end{enumerate}

\exercice{5} % PGCD, trigonométrie ------------------------------------

\begin{minipage}{0.77\textwidth}
\emph{La pente p d'une route est le rapport de la hauteur à laquelle nous nous trouvons (par rapport à celle à laquelle nous sommes partis) par la distance horizontale parcourue. Elle se mesure en pourcentage.}
\[p=\frac{\text{AH}}{\text{OH}}\times100\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.22\textwidth}
\begin{tikzpicture}
\draw (3,0) node[below] {H} -- (0,0) node[below] {O} -- (3,1.5) node[above] {A};
\draw[dashed] (3,0) -- (3,1.5);
\draw (2.8,0) -- (2.8,0.2) -- (3,0.2);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Une route fait un angle de $4\degres$ avec l'horizontale.\\
Expliquer pourquoi sa pente est à peu près \pourcent{7}.

\item Sur une deuxième route, pour une distance horizontale de \numprint{8778}~mètres, la différence de hauteur est 924~mètres.\\
\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de \numprint{8778} et 924.
\item Montrer alors que la pente de cette route est égale à $\dfrac{200}{19}$.
\item Quel est l'angle que fait cette route avec l'horizontale ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\exercice{4} % Probabilités -----------------------------------------

Une urne, notée U1, contient 3 boules rouges et 2 boules vertes.\\
Une autre urne, notée U2, contient 2 boules rouges et 1 boule noire.\\
On tire au hasard une boule dans U1 et une autre dans U2.\\
On note :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] R l'événement : \og la boule tirée est rouge \fg{} ;
\item[$\bullet$] V l'événement : \og la boule tirée est verte \fg{} ;
\item[$\bullet$] N l'événement : \og la boule tirée est noire \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (2,1) node[right] (R) {R} node[midway,above] {$\dfrac{3}{5}$};
\draw (0,0) -- (2,-1) node[right] (V) {V} node[midway,below] {$\ldots$};
\draw (R.east) -- (4,1.5) node[right] {R} node[midway,above] {$\ldots$};
\draw (R.east) -- (4,.5) node[right] {N} node[midway,below] {$\ldots$};
\draw (V.east) -- (4,-.5) node[right] {R} node[midway,above] {$\ldots$};
\draw (V.east) -- (4,-1.5) node[right] {N} node[midway,below] {$\ldots$};
\node at (2.2,-2.5) {U1};
\node at (4.2,-2.5) {U2};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Calculer la probabilité d'avoir deux boules rouges.
\item En déduire la probabilité de ne pas avoir deux boules rouges.
\end{enumerate}

\exercice{6} % Statistiques -------------------------------------------

Nous avons interrogé \numprint{1200} personnes sur le nombre de paires de chaussures qu'elles possédaient. Nous avons reporté dans le tableau ci-dessous les résultats obtenus :

%\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|S{m{5cm}}|*6{Sc|}}
\hline
\bfseries Nombre de paires de chaussures & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
\bfseries Effectif & 140 & 220 & 230 & 280 & 140 & \phantom{190}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Combien de personnes possèdent 6 paires de chaussures ?
\item Calculer le nombre moyen de paires de chaussures que possède une personne de ce groupe.
\item Déterminer le nombre médian de paires de chaussures.
\item Calculer les premier et troisième quartile de la série statistique.
\item On choisit au hasard une personne parmi ces \numprint{1200}.\\
Quelle est la probabilité pour qu'elle possède au moins 3 paires de chaussures ?
\end{enumerate}

\newpage\correction %================================================

\exercice{5} % Vitesse

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item De 8h27min à 11h27min, il y a 3 heures, soit $3\times\numprint{3600}=\numprint{10800}$ secondes.\\
De 27 min à 55 min, il y a 28 min, soit $28\times60=\numprint{1680}$ secondes.\\
\textbf{Ainsi, l'ascension a duré \numprint{12480} secondes.} 

\item Une vitesse moyenne $v$ est donnée par la formule :
\[ v=\frac{d}{t}\]
On a alors :
\begin{align*}
v & = \dfrac{\numprint{2760}}{\numprint{12480}}\\
v & \approx0,22
\end{align*}

\textbf{La vitesse moyenne de l'ascension est donc égale à 0,22 $\pmb{\text{m}\cdot\text{s}^{-1}}$.}
\end{enumerate}

\item D'après la formule $v=\dfrac{d}{t}$, on a :
\begin{align*}
1,5 & = \dfrac{\numprint{2760}}{t}\\
t & = \dfrac{\numprint{2760}}{1,5}\\
t & = \numprint{1840}
\end{align*}

Donc Louis met \numprint{1840} secondes.\\
Or, $\numprint{1840}=60\times30+40$.

\medskip

\textbf{Ainsi, la descente dure 30 minutes et 40 secondes.}

\item Le trajet total comporte $2\times\numprint{2760}=\numprint{5520}$~mètres et est parcouru en $\numprint{12480}+\numprint{1840}=\numprint{14320}$~secondes.
\begin{align*}
v & = \dfrac{\numprint{5520}}{\numprint{14320}}\\
v & \approx 0,38547486
\end{align*}

\textbf{Ainsi, la vitesse moyenne du trajet total est à peu près égale à 0,385 $\pmb{\text{m}\cdot\text{s}^{-1}}$.}

\item Remplaçons dans la formule les lettres par leur valeur :
\begin{align*}
v & = \dfrac{2}{\dfrac{1}{0,22}+\dfrac{1}{1,5}}\\
v & \approx 0,384
\end{align*}

\textbf{Avec la formule, on trouve une vitesse moyenne d'à peu près 0,384 $\pmb{\text{m}\cdot\text{s}^{-1}}$.}\\
On ne trouve pas exactement la même chose qu'à la question précédente, mais ceci est dû aux multiples approximations que l'on a faites avant la question précédente.

\item $0,384~\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ signifie que l'on parcourt 0,384 mètre en 1 seconde. Il y a \numprint{3600} secondes en 1 heure.
\[ \numprint{3600}\times0,384=\numprint{1382,4}\]
Donc, on parcourt \numprint{1382,4} mètres en 1 heures, c'est-à-dire 1,3824 km en 1 heure.\\
\textbf{Ainsi, $\pmb{0,384~\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\approx1,38~\text{km}\cdot\text{h}^{-1 }}$.}
\end{enumerate}

\exercice{4} % Système

Notons :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $x$ le nombre de DVD
\item[$\bullet$] $y$ le nombre de Blu-ray
\end{itemize}

Alors, le nombre total de boitiers s'exprime par : $x+y$. Ainsi, $x+y=180$.\\
De plus, le prix total s'exprime par : $10x+15y$, donc $10x+15y=\numprint{2075}$. En divisant par 5 cette dernière équation, on a : $2x+3y=415$. On a donc le système :
\begin{multicols}{2}
\systeme{x+y=180,2x+3y=415}
\\\\
\systeme{2x+2y=360@L_1,2x+3y=415@L_2}
\\\\
\systeme{x=180-y,y=55@L_2-L_1}
\\\\
\systeme{x=180-55,y=55@}
\\\\
\systeme{x=125,y=55}
\end{multicols}

\textbf{On peut donc affirmer qu'il y a 125 DVD et 55 Blu-ray.}

\exercice{6} % Identités remarquables, calcul sur les racines carrées

\begin{enumerate}
\item L'aire de la couronne se calcule en soustrayant l'aire du petit disque (de rayon 1) à celle du grand (de rayon $x+1$) :
\begin{align*}
& \pi\times(x+1)^2-\pi\times1\\
= & \pi\left[(x+1)^2-1\right]\\
= & \pi\left[(x+1-1)(x+1+1)\right]\\
= & \pi x(x+2)
\end{align*}

\textbf{L'aire de la couronne est donc égale à $\pmb{\pi x(x+2)}$.}

\item Si l'aire de la couronne est égale à celle du disque central, alors :
\[ \pi x(x+2)=\pi\times 1\]
En divisant les deux membres de cette équation par $\pi$, on obtient :
\[ x(x+2)=1 \]
ou encore, en développant :
\[ x^2+2x=1\]
\textbf{On a donc bien l'équation $\pmb{x^2+2x-1=0}$.}

\item 
\begin{enumerate}
\item $\bullet~\begin{aligned}[t]
A\times B & = \left(-1+\sqrt{2}\right)\left(-1-\sqrt{2}\right)\\
& = (-1)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2\\
& = 1-2\\
& = -1
\end{aligned}$

\medskip

\textbf{Ainsi, $\pmb{A\times B=-1}$.}

\medskip

$\bullet~\begin{aligned}[t]
A+B & = -1+\sqrt{2}-1-\sqrt{2}\\
& = -2
\end{aligned}$

\medskip

\textbf{Ainsi, $\pmb{A+B=-2}$.}

\item $\begin{aligned}[t]
(x-A)(x-B) & = x^2-B\times A-A\times x+A\times B\\
& = x^2-(B+A)x+A\times B\\
& = x^2-(-2)x-1\text{ (d'après la question précédente)}\\
& = x^2+2x-1
\end{aligned}$

\item D'après la question précédente, l'équation $x^2+2x-1=0$ est équivalente à l'équation $(x-A)(x-B)=0$.\\
Or, \emph{un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul.}\\
Ainsi, $x-A=0$ ou $x-B=0$.\\
Autrement dit, $x=A$ ou $x=B$.\\
Or, $B=-1-\sqrt{2}<0$ donc $B$ ne convient pas car $x$ est une longueur (donc positive ou nulle) et $A>0$.

\medskip

\textbf{Ainsi, l'aire de la couronne est égale à celle du disque central quand $\pmb{x=-1+\sqrt{2}}$.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exercice{6} % Volumes ---------------------------------------------

\begin{enumerate}
\item Le triangle OBH est rectangle en H. Donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :
\begin{align*}
\text{OB}^2 & = \text{OH}^2+\text{HB}^2\\
2^2 & = 1,95^2+\text{HB}^2\\
\text{HB}^2 & = 4-3,8025\\
\text{HB}^2 & = 0,1975\\
\text{HB} & = \sqrt{0,1975}\\
\pmb{\text{HB}} & \pmb{\approx 0,44~\text{cm}}
\end{align*}

\item Dans le triangle OAS, (HB) et (OA) sont parallèles. Ainsi, d'après le théorème de Thalès :
\begin{align*}
\dfrac{\text{SH}}{\text{SO}}=\dfrac{\text{HB}}{\text{OA}}\\
\dfrac{\text{SH}}{\text{SH}+1,95}=\dfrac{0,44}{1}\\
\text{SH}=0,44(\text{SH}+1,95)\\
\text{SH} = 0,44\text{SH}+0,44\times1,95\\
\text{SH}-0,44\text{SH}=0,858\\
0,56\text{SH}=0,858\\
\text{SH}=\dfrac{0,858}{0,56}\\
\pmb{\text{SH}\approx1,53~\text{cm}}
\end{align*}

\item La hauteur du grand cône de révolution est :
\[ h=1,95+1,53=3,48\]
Donc son volume est :
\begin{align*}
\mathscr{V}_1 & = \dfrac{1}{3}\times\pi\times1^2\times3,48\\
\pmb{\mathscr{V}_1} & \pmb{\approx 3,64~\text{cm}^3}
\end{align*}

Le volume du petit cône de révolution est :
\begin{align*}
\mathscr{V}_2 & = \dfrac{1}{3}\times\pi\times0,44^2\times1,53\\
\pmb{\mathscr{V}_2} & \pmb{\approx 0,31~\text{cm}^3}
\end{align*}

\item Le volume de la demi-boule est :
\begin{align*}
\mathscr{V}_3 & = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{3}\times\pi\times2^3\\
\pmb{\mathscr{V}_3} & \pmb{\approx 16,76~\text{cm}^3}
\end{align*}

\item Le volume de la partie au-dessus de la base du petit cône est :
\begin{align*}
\mathscr{V}_4 & =\dfrac{\pi}{3}\times0,05^2\times(3\times2-0,05)\\
\pmb{\mathscr{V}_4} & \pmb{\approx 0,02~\text{cm}^3}
\end{align*}
\item Le volume de l'objet troué est :
\begin{align*}
\mathscr{V} & = \mathscr{V}_3-\left(\mathscr{V}_1-\mathscr{V}_2\right)-\mathscr{V}_4\\
 & \approx 16,76-3,64+0,31-0,02\\
 \pmb{\mathscr{V}} & \pmb{\approx13,41~\text{cm}^3}
\end{align*}
\end{enumerate}

\newpage

\exercice{5} % PGCD, trigonométrie

\begin{enumerate}
\item Par définition, la pente de la route est $p=\dfrac{\text{AH}}{\text{OH}}\times100$ dans le triangle OAH rectangle en H.\\
Or, $\dfrac{\text{AH}}{\text{OH}}=\tan\angle{HOA}$.\\
Ainsi, $\begin{aligned}[t]p & =100\tan\angle{HOA}\\p&=100\tan 4\degres\\p&\approx100\times0,069926812\\p&\approx7\end{aligned}$.

\medskip

\textbf{Ainsi, la pente est environ égale à $\pmb{\pourcent{7}}$.}

\item
\begin{enumerate}
\item Calculons $\pgcd{\numprint{8778}}{924}$ à l'aide de l'algorithme d'Euclide :

\medskip

$\begin{aligned}[t]
\numprint{8778} & = 9\times924+462\\
924 & = 2\times462+0
\end{aligned}$

\medskip

\textbf{Ainsi, $\pmb{\pgcd{\numprint{8778}}{924}=462}$.}

\item La pente de la route est :

\medskip

$
\begin{aligned}[t]
p & = \dfrac{924}{\numprint{8778}}\times100\\
p& = \dfrac{\cancel{462}\times2}{\cancel{462}\times19}\times100\\
\pmb{p} & \pmb{= \dfrac{200}{19}}
\end{aligned}$

\item Notons $\alpha$ l'angle que fait cette route avec l'horizontale. Alors :
\begin{align*}
\tan\alpha & = \dfrac{2}{19}\\
\alpha & = \arctan\left(\dfrac{2}{19}\right)\\
\alpha & \approx 6\degres
\end{align*}

\medskip

\textbf{Ainsi, la route fait un angle de $\pmb{6\degres}$ avec l'horizontale.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exercice{4} % Probabilités

\begin{enumerate}
\item L'arbre complété est le suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (2,1) node[right] (R) {R} node[midway,above] {$\dfrac{3}{5}$};
\draw (0,0) -- (2,-1) node[right] (V) {V} node[midway,below] {$\dfrac{2}{5}$};
\draw (R.east) -- (4,1.5) node[right] {R} node[midway,above] {$\frac{2}{3}$};
\draw (R.east) -- (4,.5) node[right] {N} node[midway,below] {$\frac{1}{3}$};
\draw (V.east) -- (4,-.5) node[right] {R} node[midway,above] {$\frac{2}{3}$};
\draw (V.east) -- (4,-1.5) node[right] {N} node[midway,below] {$\frac{1}{3}$};
\node at (2.2,-2.5) {U1};
\node at (4.2,-2.5) {U2};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La probabilité d'avoir deux boules rouges est, d'après l'arbre précédent :
\[ \frac{3}{5}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{5}\]
\textbf{La probabilité d'avoir deux boules rouges est égale à $\pmb{\dfrac{2}{5}}$.}

\item L'événement \og ne pas obtenir deux boules rouges \fg{} est le contraire de \og obtenir deux boules rouges \fg.
\[ 1-\frac{2}{5}=\frac{5}{5}-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\]

\textbf{Ainsi, la probabilité de ne pas avoir deux boules rouges est égale à $\pmb{\dfrac{3}{5}}$.}
\end{enumerate}

\exercice{6} % statistiques

\begin{enumerate}
\item Le nombre total des effectifs doit être égal à \numprint{1200}.
\[ 140+220+230+280+140=\numprint{1010}\]
\[\numprint{1200}-\numprint{1010}=190\]

\textbf{Il y a donc 70 personnes qui possèdent 6 paires de chaussures.}

\item Calculons la moyenne de la série statistique :
\begin{align*}
m & = \dfrac{140\times1+220\times2+240\times3+280\times4+140\times5+190\times6}{\numprint{1200}}\\
& = \dfrac{\numprint{4260}}{\numprint{1200}}\\
& =3,55
\end{align*}

\textbf{Une personne possède donc en moyenne 3,55 paires de chaussures.}

\item La médiane est la valeur du caractère qui partage la série en deux séries de même effectif.
La moitié de l'effectif total est $\dfrac{\numprint{1200}}{2}=600$.\\
La 600\ieme{} valeur est \og 4 \fg{} et la 601\ieme{} valeur aussi donc la médiane est égale à 4.

\medskip

\textbf{Le nombre médian de paires de chaussures est égal à 4.}

\item Le quart de \numprint{1200} est 300. La 300\ieme{} valeur est \og 2 \fg{} donc \textbf{le premier quartile est égal à 2}.\\
Les trois quarts de \numprint{1200} sont égaux à 900 et la 900\ieme{} valeur est \og 5 \fg{}  donc \textbf{le troisième quartile est égal à 5}.

\item Il y a $140+220=360$ personnes qui possèdent moins de 3 paires de chaussures, donc\linebreak$\numprint{1200}-360=840$ personnes qui possèdent au moins 3 paires de chaussures.
\[ \dfrac{840}{\numprint{1200}}=0,7=\dfrac{7}{10}\]
\textbf{Ainsi, la probabilité pour que la personne choisie au hasard ait au moins trois paires de chaussures est $\pmb{\dfrac{7}{10}}$.}
\end{enumerate}
\end{document}