\documentclass[12pt]{article} 
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\newcommand{\helv}{\fontfamily{phv}\fontseries{b}\selectfont}
\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}}
\renewcommand{\cellspacetoplimit}{5pt}
\renewcommand{\cellspacebottomlimit}{5pt}

\newcommand{\correction}{\begin{center}\scshape\Large\helv Correction\end{center}\vskip 1pt\hrulefill\vskip 1em\setcounter{numexo}{0}}

% Macro "exercice"
\newcounter{numexo}
\newcommand*\exercice[1]
{%
\vskip 2em

\stepcounter{numexo}
\helv Exercice \thenumexo{} (#1 points)

\bigskip\normalfont
}

% Listes
\setlist[enumerate,1]{label=\fcolorbox{gray!30}{gray!30}{\color{black}\bfseries\arabic*}}
\setlist[enumerate,2]{label=(\bfseries\alph*)}

\setlength\parindent{0mm}

\begin{document}
% ======================================================
% ================== PAGE DE GARDE =====================
% ======================================================
\vspace*{10cm}
\begin{center}
\Huge\bfseries SUJET PONDICH\'ERY 2013\\
\vspace*{3em}
\large Stéphane PASQUET\\
\url{http://www.mathweb.fr}

\vspace*{3em}
\normalfont\emph{La présentation et la rédaction sont notées sur 4 points.}
\end{center}

\newpage

% ======================================================
% ==================== SUJET ===========================
% ======================================================

\exercice{5} % EX1

Quatre affirmations sont données ci-dessous :

\medskip
 
\textbf{Affirmation 1 :} $\left(\sqrt{5} - 1 \right)\left(\sqrt{5} + 1\right)$ est un nombre entier. 

\medskip

\textbf{Affirmation 2 :} 4 n'admet que deux diviseurs.

\medskip
 
\textbf{Affirmation 3 :} Un cube, une pyramide à base carrée et un pavé droit totalisent 17 faces.

\medskip
 
\textbf{Affirmation 4 :}

\parbox{0.5\linewidth}{Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\coordinate (A) at (135:2.8);
\coordinate (B) at (40:2);
\coordinate (C) at (-45:5);
\coordinate (D) at (-140:3.5);
\coordinate (O) at (0,0);
\draw (A) node[above left] {A} -- (B) node[above right] {B} -- (C) node[below right] {C} -- (D) node[below left] {D} -- cycle;
\node[below] at (0,0) {O};
\draw (A) -- (O) node[midway,above,scale=0.6,rotate=-45] {2,8 cm};
\draw (O) -- (C) node[midway,above,scale=0.7,rotate=-45] {5 cm};
\draw (D) -- (O) node[midway,above,scale=0.7,rotate=40] {3,5 cm};
\draw (O) -- (B) node[midway,above,scale=0.7,rotate=40] {2 cm};
\end{tikzpicture}
}
\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse.}

\bigskip

\exercice{8}

Un professeur de SVT demande aux 29 élèves d'une classe de sixième de faire germer des graines de blé chez eux.
 
Le professeur donne un protocole expérimental à suivre: 

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item mettre en culture sur du coton dans une boîte placée dans une pièce éclairée, de température entre 20\degres{} et 25\degres C ; 
\item arroser une fois par jour ; 
\item il est possible de couvrir les graines avec un film transparent pour éviter l'évaporation de l'eau.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le tableau ci-dessous donne les tailles des plantules (petites plantes) des 29 élèves à 10 jours après la mise en germination. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\bfseries Taille en cm&0 &8 &12 &14 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22\\ \hline 
\bfseries Effectif &1 &2 &2 &4 &2 &2 &3 &3 &4 &4 &2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Combien de plantules ont une taille qui mesure au plus 12~cm ? 
\item Donner l'étendue de cette série. 
\item Calculer la moyenne de cette série. Arrondir au dixième près. 
\item Déterminer la médiane de cette série et interpréter le résultat. 
\item On considère qu'un élève a bien respecté le protocole si la taille de la plantule à 10 jours est supérieure ou égale à 14~cm.
 
Quel pourcentage des élèves de la classe a bien respecté le protocole ? 
\item Le professeur a fait lui-même la même expérience en suivant le même protocole. Il a relevé la taille obtenue à 10 jours de germination.
 
Prouver que, si on ajoute la donnée du professeur à cette série, la médiane ne changera pas. 
\end{enumerate}

\newpage

\exercice{6} % EX 3

Le poids d'un corps sur un astre dépend de la masse et de l'accélération de la pesanteur.
 
On peut montrer que la relation est $P = mg$ où :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $P$ est le poids (en Newton) d'un corps sur un astre (c'est-à-dire la force que l'astre exerce sur le corps),
 \item[$\bullet$] $m$ la masse (en kg) de ce corps,
 \item[$\bullet$] $g$ l'accélération de la pesanteur de cet astre.
\end{itemize}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur la terre, l'accélération de la pesanteur de la Terre $g_{T}$ est environ de $9,8$. Calculer le poids (en Newton) sur Terre d'un homme ayant une masse de $70$~kg. 
\item Sur la lune, la relation $P = mg$ est toujours valable.
 
On donne le tableau ci-dessous de correspondance poids-masse sur la Lune : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Masse (kg)& 	3& 	10& 	25& 	40& 	55 \\ \hline
Poids (N)& 	5,1& 	17 &	42,5& 	68& 	93,5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Est-ce que le tableau ci-dessus est un tableau de proportionnalité ? 
\item Calculer l'accélération de la pesanteur sur la lune noté $g_{L}$ 
\item Est-il vrai que l'on pèse environ 6 fois moins lourd sur la lune que sur la Terre ?
\end{enumerate} 

\item Le dessin ci-dessous représente un cratère de la lune. BCD est un triangle rectangle en D. 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\filldraw[fill=gray!20,draw=black] (0,2.3)--(7.9,2.3)--(7.9,4.7)--(6.8,4.7)--(5.4,3.6)--(2.5,3.6)--(1,4.7)-- (0,4.7);
\draw (4,3.6)--(11.8,6.6);
\draw[->,>=stealth'] (11.5,6.7)--(9.5,5.9);
\draw[->,>=stealth'] (11.8,6.2)--(9.7,5.4);
\draw[dashed] (4,5.7)--(4,0.6)--(6.8,0.6)--(6.8,5.7);
\draw[<->,>=stealth'] (4,0.6)--(6.8,0.6);
\node[below] at (5.4,0.6) {29 km};
\node[rotate=20,above] at (10,6.8) {rayons solaires};
\draw (4,3.6)--(12,3.6);
\draw (8.9,3.6) arc(0:21:4.9cm);
\node[above] at (1,4.7) {A};
\node[above right] at (6.8,4.7) {B};
\node[below left] at (4,3.6) {C};
\node[below right] at (6.8,3.6) {D};
\node at (9.4,4.6){4,3$^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la profondeur BD du cratère. Arrondir au dixième de km près. 
\item On considère que la longueur CD représente 20\,\% du diamètre du cratère. Calculer la longueur AB du diamètre du cratère.
\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\newpage

\exercice{4}

\parbox{0.67\linewidth}{On donne la feuille de calcul ci-contre. 

La colonne B donne les valeurs de l'expression $2x^2 - 3x - 9$ pour quelques valeurs de $x$ de la colonne A.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Si on tape le nombre 6 dans la cellule A 17, quelle valeur va-t-on obtenir dans la cellule B 17 ? 
\item À l'aide du tableur, trouver 2 solutions de l'équation :\linebreak $2x^2 - 3x - 9 = 0$. 
\item L'unité de longueur est le cm.
 
Donner une valeur de $x$ pour laquelle l'aire du rectangle ci-dessous est égale à 5 cm$^2$. Justifier.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[above left] {A} -- (5,0) node[midway,above] {$2x+3$} node[above right] {B} -- (5,-3) node[below right] {C} -- (0,-3) node[below left] {D} -- (0,0) node[midway,left] {$x-3$};
\draw (0.5,0) -- (0.5,-0.5) -- (0,-0.5);
\draw (4.5,0) -- (4.5,-0.5) -- (5,-0.5);
\draw (4.5,-3) -- (4.5,-2.5) -- (5,-2.5);
\draw (0.5,-3) -- (0.5,-2.5) -- (0,-2.5);
\end{tikzpicture}
\end{center}} \hfill
\parbox{0.3\linewidth}{$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
	&\text{A}	&\text{B}\\ \hline
	&x			&2x^2 - 3x - 9\\ \hline
1	&- 2,5		&11\\ \hline
2	&- 2		&5\\ \hline
3	&- 1,5		&0\\ \hline
4	&- 1		&- 4\\ \hline
5	&- 0,5		&- 7\\ \hline
6	&0			&- 9\\ \hline
7	&0,5		&- 10\\ \hline
8	&1			&- 10\\ \hline
9	&1,5		&- 9\\ \hline
10	&2			&- 7\\ \hline
11	&2,5		&- 4\\ \hline
12	&3			&0\\ \hline
13	&3,5		&5\\ \hline
14	&4			&11\\ \hline
15	&4,5		&18\\ \hline
16	&5			&26\\ \hline
17	&			&\\ \hline
\end{array}$}

\exercice{7}

\parbox{0.6\linewidth}{Une pyramide régulière de sommet S a pour base le carré ABCD telle que son volume V est égal à 108 cm$^3$.
 
Sa hauteur [SH] mesure 9~cm.
 
Le volume d'une pyramide est donné par la relation :
 
\small{$\text{Volume d'une pyramide} = \dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}.$} 

\begin{enumerate}
\item Vérifier que l'aire de ABCD est bien 36 cm$^2$.
 
En déduire la valeur de AB.
 
Montrer que le périmètre du triangle ABC est égal à $12 + 6\sqrt{2}$ cm. 

\item  SMNOP est une réduction de la pyramide SABCD.
 
On obtient alors la pyramide SMNOP telle que 
l'aire du carré MNOP soit égale à 4 cm$^2$. 

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la pyramide SMNOP. 
\item \textbf{Pour cette question toute trace de recherche, 
même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\'Elise pense que pour obtenir le périmètre du triangle MNO, il suffit de diviser le périmètre du triangle ABC par 3.
 
Êtes-vous d'accord avec elle ?
\end{enumerate} 
\end{enumerate}
}
\hfill
\parbox{0.32\linewidth}{
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\draw (0.4,6.8)--(3.8,6.8)--(5.6,8.1)--(3,11.5)--(3.8,6.8)--(0.4,6.8) -- (3,11.5);
\draw[dashed] (0.4,6.8)--(5.6,8.1)--(2.3,8.1)--(3.8,6.8);
\draw[dashed] (0.4,6.8)--(2.3,8.1)--(3,11.5)--(3,7.45);
\node[below left] at (0.4,6.8){A};
\node[below right] at (3.8,6.8){B};
\node[right] at (5.6,8.1){C};
\node[above left] at (2.3,8.1){D};
\node[above] at (3,11.5){S};
\draw (3,7.8)--(3.3,7.6)--(3.3,7.2);
\draw (3,7.8)--(3.4,7.9)--(3.4,7.52);
\node[below] at (3,7.45){H};
\end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\draw (0.4,6.8)--(3.8,6.8)--(5.6,8.1)--(3,11.5)--(3.8,6.8)--(0.4,6.8) -- (3,11.5);
\draw[dashed] (0.4,6.8)--(5.6,8.1)--(2.3,8.1)--(3.8,6.8);
\draw[dashed] (0.4,6.8)--(2.3,8.1)--(3,11.5)--(3,7.45);
\node[below left] at (0.4,6.8){A};\coordinate (A) at (0.4,6.8);
\node[below right] at (3.8,6.8){B};\coordinate (B) at (3.8,6.8);
\node[right] at (5.6,8.1){C}; \coordinate (C) at (5.6,8.1);
\node[above left] at (2.3,8.1){D};\coordinate (D) at (2.3,8.1);
\node[above] at (3,11.5){S}; \coordinate (S) at (3,11.5);
\draw (3,7.8)--(3.3,7.6)--(3.3,7.2);
\draw (3,7.8)--(3.4,7.9)--(3.4,7.52);
\node[below] at (3,7.45){H};
\coordinate (N) at ($0.4*(B)+0.6*(S)$);
\coordinate (O) at ($0.4*(C)+0.6*(S)$);
\coordinate (M) at ($0.4*(A)+0.6*(S)$);
\coordinate (P) at ($0.4*(D)+0.6*(S)$);
\draw (M)--(N)--(O);
\draw[dashed] (M)--(P)--(O);
\node[above left] at (M){M};
\node[below right] at (N){N};
\node[above right] at (O){O};
\node[above left,outer sep=0pt,inner sep=0pt] at (P){P};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

\exercice{6}

Lancé le 26 novembre 2011, le Rover Curiosity de la NASA est chargé d'analyser la planète Mars, appelée aussi planète rouge.
 
Il a atterri sur la planète rouge le 6 août 2012, parcourant ainsi une distance d'environ 560 millions de km en 255 jours.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle a été la durée en heures du vol? 
\item Calculer la vitesse moyenne du Rover en km/h. Arrondir à la centaine près.

\item \emph{Pour cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation}

Via le satellite Mars Odyssey, des images prises et envoyées par le Rover ont été retransmises au centre de la NASA.
 
Les premières images ont été émises de Mars à 7~h 48~min le 6~août~2012.
 
La distance parcourue par le signal a été de $248 \times 10^6$~km à une vitesse moyenne de \np{300000}~km/s environ (vitesse de la lumière).
 
À quelle heure ces premières images sont-elles parvenues au centre de la NASA ? (On donnera l'arrondi à la minute près). 
\end{enumerate}

\newpage

% ======================================================
% ==================== CORRECTION ======================
% ======================================================

\correction

\exercice{5}

\textbf{Affirmation 1 :}

$\begin{aligned}[t]
\left(\sqrt{5} - 1 \right)\left(\sqrt{5} + 1\right) & = \left(\sqrt{5}\right)^2-1^1\\
& = 5-1\\
& = 4.
\end{aligned}$

\underline{Ainsi, l'affirmation 1 est VRAIE.}

\medskip

\textbf{Affirmation 2 :}

Les diviseurs de \og 4 \fg{} sont : 1, 2 et 4. Il y en a donc 3.\\
\underline{L'affirmation 2 est donc FAUSSE.}

\medskip

\textbf{Affirmation 3 :}

Un cube a 6 faces, une pyramide à base carrée en a 5 et un pavé droit en a 6. Il y a donc, en tout, 17 faces.

\underline{Ainsi, l'affirmation 3 est VRAIE.}

\medskip

\textbf{Affirmation 4 :}

Nous avons ici une configuration croisée de Thalès :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] A, O, C sont alignés dans cet ordre ;
\item[$\bullet$] B, O, D sont alignés dans cet ordre ;
\end{itemize}

De plus, 
\[ \frac{\text{OB}}{\text{OD}}=\frac{2}{3,5}=\frac{20}{35}=\frac{4}{7}\]
et 
\[ \frac{\text{OA}}{\text{OC}}=\frac{2,8}{5}=\frac{28}{50}=\frac{14}{25}\]
Donc :
\[ \frac{\text{OB}}{\text{OD}} \neq \frac{\text{OA}}{\text{OC}} \]
Ainsi, d'après la contraposée du théorème de Thalès, (AB) n'est pas parallèle à (DC).\\
\underline{L'affirmation 4 est donc FAUSSE.}

\bigskip

\exercice{8}

\begin{enumerate}
\item \og Au plus 12 cm \fg{}  signifie que le plantule a une taille inférieure ou égale à 12 cm. On compte alors :
\[ 1+2+2=5\]
\underline{Il y a donc 5 plantules dont la taille est au plus égale à 12 cm.}

\item L'étendue de cette série est :
\[ e=22-0\]
\underline{Donc l'étendue de cette série est égale à 22.}

\item La moyenne de cette série est :
$\begin{aligned}[t]
m & = \dfrac{0\times1+8\times2+12\times2+14\times4+\cdots+22\times2}{1+2+2+4+\cdots+2}\\
& = \dfrac{481}{29}\\
& \approx 16,5862\ldots
\end{aligned}$

\underline{La moyenne est donc à peu près égale à 16,6 cm.}

\item $\dfrac{29}{2}=14,5$ donc la médiane est la 15\ieme{} valeur de la série, c'est-à-dire \og 18 \fg.\\
\underline{Cela signifie que 50\% des plantules ont une taille inférieure à 18 cm.}

\item Il y a 5 plantules dont la taille est strictement inférieure à 14 cm, donc 24 plantules mesurent au moins 14 cm.
\[ \frac{24}{29}\times100\approx82,76\]
\underline{Il y a donc 82,76\% des élèves qui ont bien respecté le protocole.}

\item Deux cas sont possibles :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] La taille du plantule du professeur est strictement inférieure à la médiane actuelle (à savoir 18 cm).\\
Dans ce cas, l'effectif cumulé croissant correspondant à 17 est égal à 14. Or, $14<15$ (\og 15 \fg{} étant la moitié de l'effectif total de la nouvelle série). Donc la médiane est toujours égale à 18.
\item[$\bullet$] La taille du plantule du professeur est supérieure ou égale  à la médiane actuelle (à savoir 18 cm).\\
Dans ce cas, la 15\ieme{} et 16\ieme{} valeur sont égales à 18, donc la médiane est aussi égale à 18.
\end{itemize}

\underline{Dans les deux cas, la médiane vaut 18.}
\end{enumerate}

\bigskip

\exercice{6}

\begin{enumerate}
\item Sur la Terre, pour $m=70$, on a :
\[ P=70\times9,8 \Longrightarrow P=686\]
\underline{Ainsi, le poids d'un homme dont la masse est 70 kg vaut 686 N.}

\item 
\begin{enumerate}
\item On a :
\[ 
\frac{5,1}{3}=\frac{17}{10}=\frac{42,5}{25}=\frac{68}{40}=\frac{93,5}{55}=1,7\]
\underline{Ainsi, ce tableau est bien un tableau de proportionnalité.}

\item $g_L$ est le coefficient de proportionnalité pour passer de la masse au poids, donc $g_L=1,7$.

\item Dire que l'on pèse 6 fois moins lourd sur la Lune que sur la Terre signifierait que le poids sur la Lune (que je vais noter $P_L$) est égal au sixième de celui sur la Terre (noté $P_T$).\\
Or, 
\[ P_L=1,7m\qquad\text{et}\qquad P_T=9,1m\]
Donc :
\[ \frac{P_T}{P_L}=\frac{9,8m}{1,7m}=\frac{9,8}{1,7}\approx5,76\approx6\]
\underline{On peut donc en effet dire que nous pesons 6 fois moins sur la Lune que sur la Terre.}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Dans le triangle BCD rectangle en D :
\[ \tan \widehat{BCD}=\frac{\text{BD}}{\text{CD}}\]
\[ \tan(4,3\degres)=\frac{\text{BD}}{29}\]
\[ \text{BD}=29\times\tan(4,3\degres)\]
\[ \text{BD}\approx 2,18052\ldots\]
\underline{Ainsi, la profondeur du cratère est à peur près égale à 2,2 km.}

\item 29 km représentent 20\% de AB, soit le cinquième.
\[ 29\times5=145\]
\underline{Ainsi, AB = 145 km.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exercice{4}

Posons $f(x)=2x^2-3x-9$.

\begin{enumerate}
\item Dans la cellule B17, on verra apparaître l'image de 6 par la fonction $f$.

$\begin{aligned}[t]
f(6) & =2\times6^2-3\times6-9\\
& = 72-18-9\\
& = 27
\end{aligned} $

\underline{Ainsi, on verra la valeur 27 dans la cellule B17.}

\item On cherche dans la colonne B les \og 0 \fg{} : il sont obtenus pour $x=3$ et $x=-1,5$.\\
\underline{Ainsi, les solutions de l'équation sont 3 et -1,5.}

\item L'aire du rectangle ABCD est :
\[ (2x+3)(x-3)=2x^2-6x+3x-9=2x^2-3x-9=f(x).\]
On doit donc chercher dans la colonne B la valeur \og 5 \fg{} : on trouve qu'elle est atteinte pour $x=3,5$ et $x=-2$.\\
Or, si $x=-2$, $x-3=-5<0$ et un côté ne peu pas avoir une mesure négative.\\
\underline{Ainsi, pour $x=3,5$, l'aire de ABCD est égale à 5 cm$^2$.}
\end{enumerate}

\medskip

\exercice{7}

\begin{enumerate}
\item D'après la formule, on a:
\[ 108 = \frac{\text{aire de ABCD} \times 9}{3}\]
Donc :
\[ 108 = 3\times\text{aire de ABCD} \]
Ainsi, 
\[ \text{aire de ABCD} = \frac{108}{3}=36\]
\underline{L'aire de ABCD est bien égale à 36 cm$^2$.}

\medskip

L'aire d'un carré est égale au carré de la mesure d'un côté donc :
\[ \text{AB}^2=36 \Longrightarrow\text{AB}=\sqrt{36}=6\]
\underline{Ainsi, AB=6 cm.}

\medskip

Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore, on a :
\[ \text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\]
\[  \text{AC}^2=6^2+6^2\]
\[  \text{AC}^2=2\times6^2\]
\[ \text{AC}=\sqrt{2\times6^2}\]
\[ \text{AC}=6\sqrt{2}\]
Donc, le périmètre du triangle ABC est :
\[ 6\sqrt{2}+6+6=12+6\sqrt{2}.\]
\underline{Le périmètre est bien égal à $12+6\sqrt{2}$ cm.}

\item 
\begin{enumerate}
\item L'aire $A_1$ de MNOP est 4 cm$^2$. L'aire $A_2$ de ABCD est 36 cm$^2$.\\
Or, on sait que si $k$ est le facteur de réduction, alors $A_1=k^2A_2$. D'où :

$\begin{aligned}[t]
k^2 & = \dfrac{A_1}{A_2}\\
k^2 & = \frac{4}{36}\\
k & = \sqrt{\dfrac{4}{36}}\\
k & = \dfrac{2}{6}\\
k & = \dfrac{1}{3}
\end{aligned}$

De plus, si $V_1$ est le volume de SMNOP et $V_2$ celui de SABCD, alors $V_1=k^3V_1$. Ainsi, 

$\begin{aligned}[t]
V_1 & =\dfrac{1}{3^3}\times108\\
V_1 & = \dfrac{108}{27}\\
V_1 & = 4
\end{aligned}$

\underline{Ainsi, le volume de SMNOP est égal à 4 cm$^3$.}

\item Le triangle MNO est une réduction de facteur $\dfrac{1}{3}$ du triangle ABC. Ainsi, les mesures de MNO sont égales au tiers de celles de ABC. \\
\underline{\'Elise a donc raison.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\exercice{6}

\begin{enumerate}
\item Il y a 24 heures en 1 jour.
\[ 255\times24=\numprint{6120}\]
\underline{La durée de vol a donc été de \numprint{6120} heures.}

\item La vitesse moyenne est donnée par la formule :
\begin{align*}
v & = \dfrac{d}{t}\\
& = \dfrac{\numprint{560000000}}{\numprint{6120}}\\
& \approx 91503,267973856
\end{align*}

\underline{Ainsi, la vitesse moyenne du Rover a été de \numprint{91500} km/h.}

\item On doit ici calculer la durée de la transmission.

\begin{align*}
\numprint{300000} & = \dfrac{\numprint{248000000}}{t}\\
t & = \dfrac{\numprint{248000000}}{\numprint{300000}}\\
t & \approx 827~s
\end{align*}

Or, $827=13\times60+47$. Donc 827 s = 13 min 47 s.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{*7{Sc}}
 & 7 & h & 48 & min & 00 & s\\
 + & & & 13 & min & 47 & s\\
 \hline
 & 8 & h & 01 & min & 47& s
\end{tabular}
\end{center}

\underline{Les premières images sont donc arrivées à 8 h 01 min 47 s.}
\end{enumerate}
\end{document}