\documentclass[12pt,a4paper,openany]{book}
\usepackage{pas-exos}
\usepackage{pas-math}
\usepackage{pdfpages}
\usepackage{xlop}
\begin{document}
\includepdf[pages=-]{sujet.pdf}
\part*{Correction}
\paragraph*{Exercice 1} (4 points)

\begin{enumerate}
\item Réponse B. En effet, 
\begin{align*}
\left(\dfrac{2}{7}+\dfrac{3}{7}\right):\dfrac{1}{5} & =
\dfrac{5}{7}:\dfrac{1}{5}\\
& = \dfrac{5}{7}\times\dfrac{5}{1}\\
& = \dfrac{25}{7}
\end{align*}

\item Réponse B. En effet, l'algorithme d'Euclide donne :

\[
\begin{array}{rll}
133 & = & 1\times84+49\\
84 & = & 1\times49+35\\
49 & = & 1\times35+14\\
35 & = & 2\times14 + \textbf{7}\\
14 & = & 2\times7+0
\end{array}
\]

\item Réponse A. En  effet, on a :
\begin{align}
-3x+5\geqslant9\\
-3x+5-5\geqslant9-5\\
-3x\geqslant4\label{l1}\\
\dfrac{-3x}{-3}\pmb{\leqslant}\dfrac{4}{-3}\label{l2}\\
x\leqslant\dfrac{-4}{3}
\end{align}

On a divisé par un nombre négatif, donc on change le sens du signe en passant de la ligne \ref{l1} à la ligne \ref{l2}.

\item Réponse C. En effet, on a :
\begin{align*}
\left(1+\sqrt{2}\right)^2 & = 1^2+2\times1\times\sqrt{2}+\sqrt{2}^2\\
& = 1+2\sqrt{2}+2\\
& = 3+2\sqrt{2}
\end{align*}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 2 (3 points)}

\begin{itemize}
\item Le volume $V_1$ du cylindre central est :
\begin{align*}
V_1 & = \pi\times R^2 \times h\\
& = \pi\times 8^2 \times 50\\
V_1 & = \numprint{3200}\pi
\end{align*}

Le volume $V_2$ de la sphère formée par les deux \og bouts \fg{} est :

\begin{align*}
V_2 & = \dfrac{4}{3}\pi R^3\\
& = \dfrac{4}{3}\times 8^3 \times \pi\\
V_2 & = \dfrac{\numprint{2048}}{3}\pi
\end{align*}

Le volume total $V$ est donc :
\begin{align*}
V & = V_1+V_2\\
& = \left(\numprint{3200}+\dfrac{\numprint{2048}}{3}\right)\pi\\
& = \left(\dfrac{\numprint{3200}\times3}{3}+\dfrac{\numprint{2048}}{3}\right)\pi\\
\Aboxed{V& = \dfrac{\numprint{11648}}{3}\pi}
\end{align*}

La valeur exacte du volume est donc $\dfrac{\numprint{11648}}{3}\pi$ cm$^3$, soit à peut près \numprint{12197,76} cm$^3$.
\end{itemize}

\paragraph*{Exercice 3 (3 points)}

\begin{enumerate}
\item $240\div8=30$.

Il faut donc, au minimum, 30 heures pour aller de Toulouse à l'étang de Thau.

\item Le volume d'un pavé droit est donné par la formule :
\[ V=\ell\times L\times h.\]
Donc ici, 
\[ V=8,4\times 30\times 3 = 756.\]

\underline{Le volume est donc égal à 756 m$^3$.}

\item $882\times\left(1+\dfrac{27}{100}\right)=882\times1,27=\numprint{1120,14}$.

\medskip

\underline{Le prix de la location pour cette période est donc \numprint{1120,14} \euro.}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 4 (3 points)}

\begin{enumerate}
\item La formule à entrer dans la cellule M5 est :
\begin{center}
$\boxed{=L3-B3}$
\end{center}
\item $-5,23-2,44=-7,67$.

\underline{Le dénivelé est donc égal à $-7,67$ mètres.}

\item Le dénivelé est négatif, donc le parcourt est globalement descendant.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 5 (3 points)}

Il faut ici calculer CE. Noter que dans l'énoncé, il y a une erreur de frappe : ce n'est pas \og ABCD rectangle \fg{} qu'il faut lire mais \og ABC rectangle en A \fg{} ou \og ABCD est un rectangle \fg.

\medskip

Le triangle ACE est rectangle en C, donc d'après le théorème de Pythagore,
\begin{align*}
AE^2 & = AC^2+CE^2\\
56^2 & = 34^2+CE^2\\
CE^2 & = 56^2-34^2\\
CE^2 & = \numprint{1980}\\
CE & = \sqrt{\numprint{1980}}\\
CE & \approx 44,5
\end{align*}

\underline{CE est bien compris entre 44 cm et 46 cm, donc la hauteur de ce siège lui est bien adaptée.}

\paragraph*{Exercice 6 (6 points)}

\begin{enumerate}
\item Il y a une face qui porte le numéro \og 1 \fg{} et une face qui porte le numéro \og 5 \fg, donc les probabilités d'obtenir \og 1 \fg{} et \og 5 \fg{}  sont égales.

\item Il y a 6 faces pour le dé rouge, 6 aussi pour le jaune. Il y a donc en tout $6\times6$ possibilités d'issues, soit 36 issues possibles.

\item Paul a obtenu 650 points. Il lui manque donc au moins $\numprint{1000}-650=350$ points.

Il peut donc faire :

\begin{itemize}
\item Un double \og 1 \fg{} (et il gagne \numprint{1000} points) ; la probabilité de cela est $\dfrac{1}{36}$.
\item un double \og 4 \fg{} (et il gagne 400 points) ; la probabilité de cela est $\dfrac{1}{36}$.
\item un double \og 5 \fg{} (et il gagne 400 points) ; la probabilité de cela est $\dfrac{1}{36}$.
\item un double \og 6 \fg{} (et il gagne 400 points) ; la probabilité de cela est $\dfrac{1}{36}$.
\end{itemize}

Donc, en ajoutant les probabilités, on trouve que la probabilité qu'il gagne lors du 3\ieme{} lancer est $\dfrac{4}{36}$, soit en simplifiant, $\dfrac{1}{9}$.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 7 (5 points)}

\begin{enumerate}
\item $v=\sqrt{2\times9,81\times(4,3-1,8)}\approx7$.

\underline{La vitesse est donc à peu près égale à $7~\text{m}\cdot\text{m}^{-1}$.}

\item On demande la valeur de $x$ pour laquelle $v=0$, soit :
\begin{align*}
\sqrt{2g(h-x)}=0\\
2g(h-x)=0\\
h-x=0\\
h=x
\end{align*}

\underline{Dans ce cas, le niveau de l'eau dans l'écluse est la m\^eme qu'en amont.} (c'est un peu logique quand on y réfléchit ...)

\item Par lecture graphique, on voit que pour $h=3,4$ m, $v=4,2$ m (1 petit carreau représente 0,2 sur chaque axe).
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 8 (4 points)}

\begin{enumerate}
\item L'aire d'un disque est : $S=\pi\times R^2$.

Donc ici, en prenant $R=30$ cm$=0,3$ m, $S=\pi\times 0,3^2=0,09\pi$ m$^2$.

\medskip

\underline{La vantelle a donc une aire égale à 0,09$\pi$ m$^2$.}

\item $q=S\times v=0,09\pi\times2,8\approx0,792$.

\underline{Le débit est donc égal à 0,792 m$^3\cdot$s$^{-1}$.}

\item En 1 seconde, il passe 0,792 $m^3$ d'eau.

Or, $756\div0,792\approx955$. 

\underline{Il faudra donc attendre à peu près 955 secondes.}

$955\div60\approx15,9$ donc il faudra attendre un peu plus de 15 minutes.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 9 (5 points)}

Trop facile !

\medskip

Dans AHP, rectangle en H, $\cos\angle{HAP}=\dfrac{AH}{AP}$.

Or, $\angle{HAP}=90^\circ-55^\circ=35^\circ$ et AH = $\dfrac{5,8}{2}=2,9$ 	d'où :

\begin{align*}
\cos 35^\circ=\dfrac{2,9}{AP}\\
AP = \dfrac{2,9}{\cos35^\circ}\\
AP\approx3,54
\end{align*}

\underline{Donc, les portes busquées mesurent 3,54 mètres.} (Fingers in the noise ...)
\end{document}