\documentclass[12pt,a4paper,openany]{book}
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\usepackage{pas-math}
\usepackage{yhmath}
\usepackage{pdfpages}
%\usepackage{xlop}
\begin{document}
\includepdf[pages=-]{sujet.pdf}
\part*{Correction}
\paragraph*{Exercice 1} (5 points)

\begin{enumerate}
\item On trace un cercle de centre O et de rayon 3 cm puis on place le point A n'importe où sur le cercle (à peu près comme sur la figure de l'énoncé). 

Ensuite, on se dit que pour un octogone régulier, l'angle au centre est 
$360\degres\div8=45\degres$. 
Donc on place le point B de sorte que $\angle{AOB}=45\degres$. On fait de m\^eme pour les autres points.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (3cm);
\draw[dotted] (12.5:3cm) node[above right] {H} -- (0,0) node[below] {O} -- (57.5:3cm) node[above] {A};
\draw[dotted] (0,0) -- (102.5:3cm) node[above] {B};
\draw[dotted] (0,0) -- (147.5:3cm) node[above left] {C};
\draw[dotted] (0,0) -- (192.5:3cm) node[left] {D};
\draw[dotted] (0,0) -- (237.5:3cm) node[below left] {E};
\draw[dotted] (0,0) -- (282.5:3cm) node[below right] {F};
\draw[dotted] (0,0) -- (327.5:3cm) node[right] {G};
\draw (12.5:3cm) -- (57.5:3cm) -- (102.5:3cm) -- (147.5:3cm) -- (192.5:3cm) -- (237.5:3cm) -- (282.5:3cm) -- (327.5:3cm) -- cycle;
\draw[dotted] (12.5:1cm) arc (12.5:57.5:1cm);
\node at (38:1.5cm) {45\degres};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Par construction, $\angle{HOD}=4\times45\degres=180\degres$ donc [DH] est un diamètre du cercle.

De plus, A est sur le cercle.

\medskip

Or, tout triangle inscrit dans un cercle dont un c\^oté est un diamètre est rectangle.

\medskip

\underline{Ainsi, DAH est rectangle en A.}

\item L'angle $\angle{BEH}$ intercepte le petit arc $\wideparen{BH}$ et est inscrit dans le cercle. Ainsi, sa mesure est la moitié de l'angle au centre \angle{BOH} qui intercepte le m\^eme arc.

\underline{Ainsi, $\angle{BEH}=2\times45\div2=45\degres$.}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 2} (6 points)

\begin{enumerate}
\item Dans les magasins A et B, le premier cahier est au prix normal, alors que dans le magasin C, la réduction porte directement sur le premier cahier acheté.

\underline{Donc si Léa achète un seul cahier, le magasin C est plus intéressant.}

\item 
\begin{enumerate}
\item Pour deux cahiers, le magasin A n'est pas intéressant car l'avantage ne porte que sur un lot de 3 cahiers.

Dans le magasin B, elle devra payer le prix normal d'un cahier plus sa moitié, soit 1,5 fois le prix d'un cahier.

Dans le magasin C, un cahier vaut \pourcent{70} du prix normal, soit 0,7 fois son prix. Donc, pour deux cahiers, elle paiera $0,7\times2$ fois le prix d'un cahier, donc 1,4 fois le prix d'un cahier.

\medskip

\underline{Le magasin C est donc plus intéressant pour 2 cahiers.}

\item Pour 3 cahiers, dans le magasin A, elle paiera 2 fois le prix d'un cahier.

Dans le magasin B, $1,5+1$ fois, soit 2,5 fois le prix d'un cahier.

Dans le magasin C, $3\times0,7$ fois, soit 2,1 fois le prix d'un cahier.

\medskip

\underline{Le magasin A est donc plus intéressant pour 3 cahiers.}
\end{enumerate}

\item Posons $x$ le prix d'un cahier.

\pourcent{30} de réduction mène au prix de $0,7x$.

\`A cela s'ajoutent \pourcent{10} de $0,7x$, donc le prix final sera : $0,9\times0,7x=0,63x$.

\medskip

\underline{$1-0,63=0,37$ donc le pourcentage total sera de \pourcent{37}.}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 3} (5 points)

\begin{enumerate}
\item On choisit \og 8 \fg{} comme nombre de départ.

$8-6=2$ et $8-2=6$. $2\times6=12$ donc le résultat final est 12.

\item Pour vérifier si les affirmations sont vraies ou fausses, posons $x$ le nombre de départ.

Ainsi, le nombre final sera :
\[ (x-6)(x-2)=x^2-2x-6x+12=x^2-8x+12.\]

\textbf{Proposition 1 :} VRAIE. En effet, le produit $(x-6)(x-2)$ est négatif quand on choisit $x$ entre 2 et 6. Par exemple, si $x=4$, le résultat final sera $(4-6)(4-2)=-2\times2=-4<0$.

\medskip

\textbf{Proposition 2 :} VRAIE. si on choisit $x=\dfrac{1}{2}$, le résultat final sera :

\begin{align*}
\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-8\times\dfrac{1}{2}+12&=\dfrac{1}{4}-4+12=\dfrac{1}{4}+8\\&=\dfrac{1+32}{4}\\&=\dfrac{33}{4}.
\end{align*}

\textbf{Proposition 3 :} VRAIE. Le produit $(x-2)(x-6)$ s'annule pour $x=2$ et $x=6$.

\medskip

\textbf{Proposition 4 :} FAUX car une fonction linéaire est de la forme $ax$. Or, le résultat final est $x^2-8x+12$.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 4} (3 points)

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item La couleur la plus présente dans le sac est le jaune car la fréquence d'apparition des jetons jaunes est plus forte que les autres.

\item La formule qui permet de calculer la fréquence est : $\dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$ donc la formule à rentrer dans la cellule C2 est :
\begin{center}
=B2/A2
\end{center}
car B2 représente le nombre de jetons obtenus  et A2 représente le nombre de tirages.
\end{enumerate}

\item Il y a 20 jetons au total et la probabilité d'obtenir un jeton rouge se calcule en faisant : $\dfrac{\text{nombre de jetons rouges}}{20}$. Si cette probabilité est égale à $\dfrac{1}{5}$, c'est que le nombre de jetons rouges est le cinquième de 20, soit $\dfrac{20}{5}=4$.

\underline{Il y a donc 4 jetons rouges.}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 5} (4 points)

\medskip

\textbf{Question 1 :} Réponse (d) : 8. 

En effet, on multiplie par $2^3$ le volume, soit 8.

\medskip

\textbf{Question 2 :} Réponse (a).

En effet, 36 km, c'est \numprint{36000} m et 1 h = \numprint{3600} s. Or, $\numprint{36000}\div\numprint{3600}=10$. Donc 36 km/h = 10 m/s.

\medskip

\textbf{Question 3 :} Réponse (c).

En effet, $\sqrt{525}=\sqrt{25\times21}=5\sqrt{21}$ donc en divisant par 5, il reste $\sqrt{21}$.

\medskip

\textbf{Question 4 :} Réponse (a).

En effet, 1,5 To = $1,5\times10^{12}$ octets et 60 Go = $60\times10^9$ octets.

Et $\dfrac{1,5\times10^{12}}{60\times10^9}=25$.


\paragraph*{Exercice 6} (6 points)

\begin{enumerate}
\item $PA=QC=0,65$ m et $CK=0,58$ m donc $QK=0,65-0,58=0,07$ m.

Ainsi, $\dfrac{QK}{QP}=\dfrac{0,07}{5}=\underline{0,014}$.

\item Le triangle QPK est rectangle en Q donc :
\begin{align*}
\tan\angle{QPK} & = \dfrac{QK}{QP}\\
& = 0,014\\
\angle{QPK} & = \tan^{-1}(0,014)\\
\Aboxed{\angle{QPK} & \approx 0,8\degres}
\end{align*}

\item Le triangle PAS est rectangle en A donc :
\begin{align*}
\tan\angle{APS} & =\dfrac{AS}{AP}\\
\tan(90-0,8) & = \dfrac{AS}{0,65}\\
AS & = 0,65\times\tan(89,2)\\
AS & \approx 46,55
\end{align*}

\underline{Ainsi, $AS \approx 47$ mètres.}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 7} (7 points)

\begin{enumerate}
\item Le volume (en $m^3$) d'une botte de paille est :
\[ 0,9\times0,45\times0,35=0,14175.\]
Sa masse (en kg) est donc :
\[
90\times0,14175=12,7575.
\]

40 \euro{} pour \numprint{1000} kg donne $x$ \euro{} pour 12,7575 kg.

$x=\dfrac{40\times12,7575}{\numprint{1000}}=0,5103$.

\medskip

\underline{Le prix d'une botte de paille est donc bien égal à 0,51 \euro.}

\item
\begin{enumerate}
\item $15,3\div0,45=34$ donc il devra mettre 34 bottes de pailles en longueur.

Le triangle IJF est rectangle en I donc, d'après le théorème de Pythagore :
\begin{align*}
JF^2 & = IJ^2+IF^2\\
& = 2,7^2+3,6^2\\
& = 20,25\\
JF & = \sqrt{20,25}\\
JF & = 4,5
\end{align*}

Et $4,5\div0,9=5$ donc il mettra 5 bottes en largeur.

\underline{$5\times34=170$ donc il lui faudra 170 bottes de pailles en tout.}

\item $0,51\times170=86,7$. \underline{Le co\^ut total de paille est donc 86,70 \euro.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}