\documentclass[12pt,a4paper,openany]{book}
\usepackage{pas-exos}
\usepackage{pas-math}
\usepackage{pdfpages}
\usepackage{xlop}
\begin{document}
\includepdf[pages=-]{sujet.pdf}
\part*{Correction}
\paragraph*{Exercice 1} (6 points)

\begin{enumerate}
\item Arthur souhaite constituer 20 corbeilles identiques ; effectuons donc la division euclidienne de \numprint{3003} et \numprint{3731} par 20.

\begin{center}
\opidiv{3003}{20}\hspace*{4cm}\opidiv{3731}{20}
\end{center}

\uline{Il lui restera donc 3 dragées au chocolat et 11 dragées aux amandes.}

\item
\begin{enumerate}
\item Effectuons la division euclidienne de \numprint{3003} par 90.

\begin{center}
\opidiv{3003}{90}
\end{center}

\og 90 \fg{} ne divise pas \numprint{3003}, ce qui est suffisant pour dire qu'ils ne pourront pas faire 90 ballotins.

\item Le nombre de ballotins doit \^etre un diviseur de \numprint{3003} et de \numprint{3731}. Comme ils veulent le nombre \uline{maximal} de ballotins, il faut que ce diviseur commun soit le plus grand ; il faut donc calculer le PGCD de \numprint{3731} et \numprint{3003}.

Utilisons pour cela l'algorithme d'Euclide :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sr@{~=~}Sl|}
\hline
\numprint{3731} & $1\times\numprint{3003}+728$\\
\numprint{3003} & $4\times728+91$\\
728 & $8\times91+0$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Ainsi, PGCD$\coord{\numprint{3731}}{\numprint{3003}}=91$.

\medskip

Or, 
\[ \numprint{3731}\div 91=41\qquad\text{et}\qquad\numprint{3003}\div 91=33\]
donc \uline{il y aura 91 ballotins dans lesquels se trouveront 41 dragées au chocolat et 33 dragées aux amandes.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 2} (4 points)

\begin{enumerate}
\item Réponse C. En effet, $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$.
\item Réponse C. En effet, si on considère un carré de c\^oté 2 cm, alors son aire sera 4 cm$^2$ et son périmètre sera $4\times2=8$ cm.\\
Si on considère maintenant un rectangle de longueur 4 cm et de largeur 1 cm, son aire sera $1\times4=4$ cm$^2$ (donc identique à celle du carré) mais son périmètre sera $2\times(1+2)=2\times3=6$ cm, qui n'est pas égal à celui du carré.
\item Réponse C. Le loto est un jeu aléatoire : chaque numéro a autant de chance de sortir que les autres. Ainsi, ce n'est pas parce qu'un numéro est sorti fréquemment qu'il sortira lors du prochain tirage.
\item Réponse A. En effet, on a :
\begin{align*}
(x-1)^2-16 & =(x-1)^2-4^2\\
& = [(x-1)-4][(x-1)+4]\\
& = (x-1-4)(x-1+4)\\
& = (x-5)(x+3)
\end{align*}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 3} (3 points)

Posons $x$ le nombre choisi au départ.

\begin{itemize}
\item \og Je lui ajoute 3 \fg{} signifie que l'on obtient : $x+3$.
\item \og et je multiplie le résultat par 7 \fg{} veut dire que l'on a : $7\times(x+3)=7x+21$.
\item \og J'ajoute le triple du nombre de départ \fg{} signifie que l'on fait : $7x+21+3x=10x+21$.
\item \og et j'enlève 21 \fg{} signifie que l'on a : $10x+21-21=10x$.
\end{itemize}

Le résultat final sera toujours le nombre de départ multiplié par 10. \uline{L'affirmation est donc exacte.}

\paragraph*{Exercice 4} (7 points)

\begin{itemize}
\item \textbf{Commençons par calculer le périmètre du triangle ACD.}

\medskip

Ce triangle est rectangle en C donc, d'après le théorème de Pythagore,

\begin{align*}
AD^2 & = AC^2+CD^2\\
AD^2& = 1,4^2+1,05^2\\
AD^2& = 1,96+\numprint{1,1025}\\
AD^2& = \numprint{3,0625}\\
AD & = \sqrt{\numprint{3,0625}}\\
AD & = 1,75 
\end{align*}

\uline{Ainsi, le périmètre de ACD est $1,75+1,4+1,05=4,2$ km.}

\bigskip

\item \textbf{Calculons maintenant le périmètre du triangle AEF.}

\medskip

Dans ce triangle,
\begin{itemize}
\item A, E', E sont alignés dans cet ordre ;
\item A, F', F sont alignés dans cet ordre ;
\item (E'F') // (EF)
\end{itemize}

Ainsi, d'après le théorème de Thalès,
\[
\thales{AE'}{AE}{AF'}{AF}{E'F'}{EF}
\]
d'où, en remplaçant par les mesures que l'on a :
\[
\thales{0,5}{1,3}{AF'}{1,6}{0,4}{EF}.
\]

On en déduit alors :
\[
\text{EF}=\dfrac{1,3\times0,4}{0,5}=1,04.
\]

Le périmètre de AEF est donc :
\[
1,3+1,04+1,6=3,94.
\]

\item \textbf{On compare la marge des périmètres par rapport à 4.}

$4,2-4=0,2$ et $4-3,94=0,06$.
\end{itemize}

\uline{Donc le périmètre le plus proche de 4 km est celui de AEF.}

\paragraph*{Exercice 5} (8 points)

\begin{enumerate}
\item \textit{Remarque : il y a \uline{une seule} partie cylindrique constituant la bouteille ; l'autre cylindre constitue le goulot. Il ne faut donc pas calculer son volume ici.}

\medskip

Le volume d'un cylindre se calcule avec la formule  :
\begin{center}
aire de la base $\times$ hauteur.
\end{center}

Donc, ici :
\begin{align*}
\mathscr{V}_{\text{cylindre}} & = \underbrace{\pi\times 5^2}_{\text{base}}\times15\\
\mathscr{V}_{\text{cylindre}} & = 25\times15\times\pi\\
\Aboxed{\mathscr{V}_{\text{cylindre}} & = 375\pi}
\end{align*}

\uline{Une valeur arrondie au cm$^3$ de ce volume est \numprint{1178} cm$^3$.}

\item 
\begin{enumerate}
\item Le volume du c\^one de hauteur SO est, en cm$^3$ :
\begin{align*}
\text{V}_1 & = \dfrac{1}{3}\pi\times5^2\times6\\
\text{V}_1 & = \dfrac{1}{3}\times6\times25\pi\\
\Aboxed{\text{V}_1 & = 50\pi}
\end{align*}

\item Le c\^one de hauteur SO' est une réduction du c\^one de hauteur SO donc le coefficient de réduction est :
\[ \frac{SO'}{SO}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.\]
Par conséquent, son volume est, en cm$^3$ :
\begin{align*}
\text{V}_1^\prime & = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3\text{V}_1\\
\text{V}_1^\prime& = \dfrac{1}{27}\times50\pi\\
\text{V}_1^\prime & = \dfrac{50}{27}\pi.
\end{align*}

Ainsi, le volume du tronc de c\^one est, en cm$^3$ :
\begin{align*}
\text{V}_2 & = \text{V}_1-\text{V}_1^\prime\\
\text{V}_2 & = 50\pi-\dfrac{50}{27}\pi\\
\text{V}_2 & = \dfrac{50\times27}{27}\pi-\dfrac{50}{27}\pi\\
\Aboxed{\text{V}_2 & = \dfrac{\numprint{1300}}{27}\pi}
\end{align*}

\uline{Une valeur arrondie de ce volume au cm$^3$ est 151 cm$^3$.}
\end{enumerate}

\item 
\begin{itemize}
\item Si $0\leqslant h\leqslant 15$, seul le cylindre se remplit.

Le volume est alors :
\[\pi\times r^2\times h=\pi\times 5^2\times h =25\pi h.\]

Le graphique doit donc commencer par une fonction linéaire de coefficient directeur $25\pi$, soit à peu près 78,5. Pour $h=15$, on voit avoir :
\[ V(15)=25\pi\times15\approx \numprint{1178}.\]
Le graphique 4 est donc exclut.

\item Si $h\geqslant15$, le volume augmente donc le graphique 2 est exclut car le deuxième \og morceau \fg{} de courbe descend au lieu de monter.

\item Si $h=19$, le volume est égal à peu près à :
\[ \mathscr{V}_{\text{cylindre}}+\text{V}_2\approx\numprint{1178}+151\approx\numprint{1329}.\]
Ainsi, on peu exclure le graphique 3 car sur ce graphique, on peut lire $V(19)>\numprint{2400}$.
\end{itemize}

\uline{Ainsi, seul le graphique 1 convient.}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 6} (7 points)

\begin{enumerate}
\item La formule saisie dans la cellule O2 est :
\begin{center}
\boxed{\texttt{=SOMME(B2:N2)}}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item On calcule :
\begin{align*}
m & = \dfrac{8\times1+2\times2+2\times3+2\times4+\cdots+1\times18+1\times32+1\times40}{26}\\
m & = \dfrac{205}{26}\\
m & \approx7,88 
\end{align*}
\uline{La moyenne de cette série est donc environ 8 médailles.}

\item La moitié de 26 est égale à 13.

$8+2+2+2=14$ donc \uline{la médiane est 4.} (\og 4 \fg{} est la valeur qui partage la série en deux séries d'effectif total égal à 13)

\item Les effectifs correspondant aux nombres 1, 2, 3 et 4 sont supérieurs à ceux correspondant aux autres nombres de médailles, ce qui justifie la différence entre médiane et moyenne.
\end{enumerate}

\item Notons $x$ le nombre de pays médaillés. \pourcent{70} des pays médaillés correspond alors à 
\[ \dfrac{70}{100}\times x=0,7x.\]
Or, il y a 26 pays qui ont obtenu une médaille d'or donc :
\[ 0,7x = 26\]
d'où :
\[ x=\dfrac{26}{0,7}\approx37.\]
Il y a donc eu 37 pays médaillés. 
\[ 37-26=11.\]
\uline{Il y a donc eu 11 pays qui n'ont obtenu que des médailles d'argent ou de bronze.}
\end{enumerate}
\end{document}