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\newcommand{\chapHead}[1]{% #1 = Titre
\begin{tikzpicture}
\fill[blue!20] (0,0) rectangle+(\textwidth,-1.5cm);
\fill[orange!5] (0,-1) rectangle +(\textwidth,-5cm);
\fill[violet] (12cm,0) rectangle +(4cm,-4.5cm);
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\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
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\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[vert] (12cm,-4.5cm) rectangle +(4cm,-1.5cm);
% "Fiche"
\node[below] at (14cm,-0.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}
\selectfont{\Large DNB 2015}

\bigskip

\emph{par\\{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
};
% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
\begin{minipage}{11cm}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont
\color{purple}\Huge #1
\end{minipage}
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\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
% Date
\node at (14cm,-5.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{black}\today
\end{center}
\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
}
% Sections
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% Paragraph

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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\chapHead{Sujet d'entraînement}

\section*{Exercice 1}

Cet exercice est un QCM.

Pour chaque ligne du tableau, une seule affirmation est juste.

Sur votre copie, indiquer le numéro de la question et recopier l'affirmation juste.

On ne demande pas de justifier.

\medskip

\begin{tabular}{|S{m{\dimexpr\linewidth-11cm}}|*4{S{>{\centering\arraybackslash}p{2.2cm}}|}}
\hline
\centering\arraybackslash Questions & A & B & C & D\\
\hline
\textcolor{purple}{1.} Si $f(x)=(2x-1)^2-16$, alors $f(x)=$ & $(2x-5)(2x+3)$ & $(2x+5)(2x-3)$ & $4x^2-17$ & $4x^2-15$\\
\hline
\textcolor{purple}{2.} Sur la figure suivante, $\angle{AOB}=100^\circ$.\newline Que vaut alors \angle{ACB} ?\newline\hspace*{1	cm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (1.5cm);
\fill (0,0) circle (1.5pt) node[below left] {O};
\draw (200:1.5cm) node[below left] {A} -- (0,0) -- (300:1.5cm) node[below right] {B};
\draw (200:1.5cm)  -- (0,1.5) node[above] {C} -- (300:1.5cm);
\end{tikzpicture}
& 200° & 100° & 50° & 25°\\
\hline
\textcolor{purple}{3.} Si\strut $A(x)=3x+10$ et $B(x)=8+5x$, alors $A(x)\geqslant B(x)$ pour $x=$ & $x\leqslant1$ & $x\geqslant-1$ & $x\geqslant1$ & $x>1$\\
\hline
\end{tabular}

\section*{Exercice 2}

On considère deux fonctions $f$ et $g$ pour lesquelles on a utilisé un tableur afin de construire un tableau de valeurs :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tableur*[3]{A/1cm,B/1cm,C/1cm,D/1cm,E/1cm,F/1cm,G/1cm}
\celtxt[c]{A}{1}{x}
\celtxt[c]{B}{1}{-3}
\celtxt[c]{C}{1}{-2}
\celtxt[c]{D}{1}{-1}
\celtxt[c]{E}{1}{0}
\celtxt[c]{F}{1}{1}
\celtxt[c]{G}{1}{2}
%
\celtxt[c]{A}{2}{f(x)}
\celtxt[c]{B}{2}{9}
\celtxt[c]{C}{2}{7}
\celtxt[c]{D}{2}{5}
%\celtxt[c]{E}{2}{3}
\celtxt[c]{F}{2}{1}
\celtxt[c]{G}{2}{-1}
%
\celtxt[c]{A}{3}{g(x)}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item On sait que $f$ est une fonction affine.
\begin{enumerate}
\item D'après les valeurs du tableau ci-dessus, donner l'expression de $f(x)$.
\item Calculer la valeur manquante dans la cellule E2.
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $f(x)=-5$ ?
\end{enumerate}

\item On sait que $g(x)=x^2+1$.
\begin{enumerate}
\item Quelle formule doit-on entrer dans la cellule B3 pour qu'en la recopiant de gauche à droite, le tableur affiche sur la ligne 3 les images des valeurs de $x$ de la ligne 1 ?
\item Qu'afficherait alors le tableur dans la cellule D3 ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}

Dans un collège, le principal a organisé un tournoi de culture générale. 119 filles et 85 garçons se sont inscrits. 

Le principal souhaite construire des équipes ayant le même nombre de filles et de garçons.

\begin{enumerate}
\item Peut-il faire 5 équipes ?
\item Combien d'équipes au maximum pourra-t-il faire ?

Combien y aura-t-il alors de garçons est de filles dans chaque équipe ?
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4}

Un fabriquant d'emballages souhaite réaliser la boîte parallélépipédique en carton suivante :

\medskip

\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (3,0) node[below right] {B} -- (3,6) node[below right] {C} -- (0,6) node[above left] {D} -- cycle;
\draw (3,0) -- (4.5,1) node[below right] {E} -- (4.5,7) node[above right] {F} -- (1.5,7) node[above left] {G} -- (0,6);
\draw (3,6) -- (4.5,7);
\draw[dotted] (1.5,1.26) circle (0.5cm);
\fill (1.5,1.26) circle (2pt) node[below] {O};
\draw[dotted] (1.5,6) node[above] {I} -- (0,1.5) node[left] {P};
\draw[dotted] (1.5,6) -- (3,1.5) node[right] {Q};
\clip (0,0) rectangle +(3,6);
\draw[dotted] (1.5,6) circle (4.74cm);
\begin{scope}[xshift=1.5cm,yshift=6cm]
\draw[->,>=latex] (-108.43:0.75cm) arc(-108.43:-71.57:0.75cm) node[midway,below] {$\alpha$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-7.5cm}
On donne :

\bigskip

$AB=6$ cm.

\medskip

$AD=12$ cm.

\medskip

$BE=6$ cm.

\medskip

$PA=3,3$ cm.

\medskip

I est le milieu de [DC].

\medskip

$O$ est au milieu de l'arc de cercle $\wideparen{PQ}$ de centre $I$.

\medskip

Le cercle de centre $O$ a un rayon égal à 2 cm.

\medskip

$\alpha=\widehat{PIQ}$.

\medskip

Les traits en pointillés sont destinés à délimiter les parties qui pourront être facilement déchirées\linebreak manuellement (le client peut appuyer sur le cercle de centre $O$ et tirer la partie $PIQ$).
\end{minipage}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Volume de la boîte.}
\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de cette boîte, exprimé en cm$^3$.
\item Convertir ce volume en litres.
\end{enumerate}

\item \textbf{Aire de la boîte.}

Calculer l'aire de la surface de carton nécessaire à la fabrication d'une boîte, exprimée en cm$^2$.
\end{enumerate}

Afin de mieux voir les parties détachables de la boîte, le fabriquant souhaite mettre une couleur différente sur ces parties (à l'intérieur des pointillés). Il veut donc calculer l'aire de la surface à colorier.

\begin{enumerate}[start=3]
\item \textbf{Aire de la partie à l'intérieur des pointillés.}
\begin{enumerate}
\item\label{3a} Calculer la mesure approchée au degré près de l'angle $\widehat{DIP}$.

En déduire celle de l'angle $\alpha$.

\item\label{3b} Calculer la longueur $PI$. Vous donnerez la valeur approchée au dixième.

\item Déduire des questions \ref{3a} et \ref{3b} l'aire du secteur angulaire $PIQ$ à l'intérieur des pointillés. Vous arrondirez au dixième le résultat.

\item Même si ce n'est pas totalement exact, il estime que l'aire du demi-disque inférieur de centre $O$ est égale à la moitié de l'aire du disque plein.

Donner une valeur approchée à 0,1 près de cette aire.

\item Donner alors une valeur approchée à 0,1 près de l'aire de la surface à l'intérieur des pointillés.
\end{enumerate}

\item \textbf{Coût de fabrication de la boîte.}

1 m$^2$ de carton coûte au fabriquant 1,20 \euro.

\`A cela viennent s'ajouter les frais de colorisation :
\begin{itemize}
\item Il colorie en bleu la partie la plus importante ; cela lui coûte 1,80 \euro{} pour 1~m$^2$.
\item Il colorie en violet la partie à l'intérieur des pointillés ; cela lui coûte 1,90 \euro{} pour 1 m$^2$.
\end{itemize}

Combien lui coûte la fabrication d'une boîte ?

\item \textbf{Réduction des coûts.}

Estimant que cela est trop cher, il réduit les dimensions de \pourcent{10}.

Quel est alors le nouveau coût de fabrication d'une boîte ?
\end{enumerate}

\section*{Exercice 5}

Un système automatisé (représenté en coupe ci-dessous) permet, à l'aide de rails, de bouger [MN] de sorte que [BD] puisse monter ou descendre.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (0,0) node[below] {C} -- (10,0) node[below] {A};
\filldraw[pattern=bricks] (10,0) rectangle +(0.2,7);
\filldraw[pattern=bricks] (4,0) node[below] {M} rectangle +(0.2,3);
\draw[<->,>=latex] (11,0) -- (11,7) node[midway,below,rotate=90] {7 mètres};
\draw[<->,>=latex] (4.5,0) -- (4.5,3) node[midway,below,rotate=90] {3 mètres};
\draw[<->,>=latex] (0,-1) -- (10,-1) node[midway,below] {10 mètres};
\draw[thick] (10,7) -- (0,0.38) node[left] {D};
\node[above] at (4,3) {N};
\node[above] at (10,7) {B};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Le point M peut aller de C à A et de A à C.

\begin{enumerate}
\item Lorsque M est en A, D est confondu avec C. Calculer alors la valeur exacte de BD.
\item Lorsque M bouge de A vers C, à quelle distance de C se trouve M pour que [BD] commence à se lever ? Arrondir au millimètre près.
\item \`A quelle hauteur se trouve D lorsque M est à 3 mètres de C ?

\emph{Pour cette question, on n'hésitera pas à prendre des initiatives et à compléter le schéma pour trouver des longueurs non représentées.}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 6}

L'équation des gaz parfaits est l'égalité :
\[ PV=nRT\;,\]
où :
\begin{itemize}
\item $P$ représente la pression, exprimée en Pa (Pascal) ;
\item $V$ représente le volume, exprimé en m$^3$ ;
\item $n$ représente la quantité de matière, exprimée en mol ;
\item $R$ est la constante des gaz parfaits ;
\item $T$ représente la température, exprimée en degrés Kelvin (°K). 
\end{itemize}

On rappelle que si $C$ représente une température en degrés Celsius et $K$ une température en degrés Kelvin, alors :
\[
K=T+273,15.
\]

\begin{enumerate}
\item Sachant que pour un volume égal à 1,5 litre et soumis à une pression de 1,013 Pa, à température de 20°C, la quantité de matière est égale à $n=6,234\times10^{-2}$ mol, montrer que $R=8,314$. 

\item Calculer la quantité de matière pour un volume de 30 m$^3$, une pression de 3 Pa et une température de 300°K.
\end{enumerate}

\chapHead{Corrigés}

\section*{Exercice 1}

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x) & =(2x-1)^2-16\\
& = (2x-1)^2-4^2\\
& = \big[(2x-1)-4\big]\big[(2x-1)+4\big]\\
& = (2x-1-4)(2x-1+4)\text{ (les parenthèses à l'intérieur des crochets ne servent à rien, donc on peut les enlever)}\\
& = (2x-5)(2x+3)
\end{aligned}$

\underline{Il fallait donc répondre A.}

\item \angle{AOB} est un angle au centre du cercle et \angle{ACB} est un angle inscrit. Ils interceptent tous les deux le petit arc $\wideparen{AB}$ donc $\angle{AOB}=2\times\angle{ACB}$. Par conséquent, si $\angle{AOB}=100^\circ$, alors la mesure de \angle{ACB} sera égale à sa moitié. Donc $\angle{ACB}=50^\circ$.

\underline{Il fallait donc répondre C.}

\item $\begin{aligned}[t]
A(x)\geqslant B(x) & \Longleftrightarrow 3x+10\geqslant 8+5x\\
& \Longleftrightarrow 10-8\geqslant5x-3x\\
& \Longleftrightarrow 2\geqslant 2x\\
& \Longleftrightarrow \dfrac{2}{2}\geqslant x\\
& \Longleftrightarrow x \leqslant 1.
\end{aligned}$

\underline{Il fallait donc répondre A.}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On sait que $f(x)=ax+b$, car $f$ est une fonction affine.

On sait aussi que $f(1)=1$ donc $a\times1+b=1$, soit $a+b=1$.

On sait de plus que $f(2)=-1$ donc $a\times2+b=-1$, soit $2a+b=-1$.

On doit donc résoudre le système :
\begin{align*}
\begin{cases}
a+b & =1\\
2a+b&=-1
\end{cases} & \Longleftrightarrow
\begin{cases}
-a-b & =-1\\
2a+b & = -1
\end{cases} \quad\text{En multipliant la première ligne par }(-1)\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
-a-b & =-1\\
a & = -2
\end{cases}\quad\text{En ajoutant les deux égalités}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
-(-2)-b & = -1\\
a & = -2
\end{cases}\quad\text{En remplaçant $a$ par $-2$ dans la première égalité}
\end{align*}
\begin{align*}
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
-b & = -1-2=-3\\
a & = -2 
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
b=3\\
a=-2
\end{cases}
\end{align*}

\underline{Finalement, on arrive à : $f(x)=-2x+3$.}

\item La valeur manquante dans la cellule E2 est $f(0)=-2\times0+3=3$.

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)=-5 & \iff -2x+3=-5\\
& \iff -2x=-5-3\\
& \iff -2x=-8\\
& \iff x=\dfrac{-8}{-2}=4
\end{aligned}$

\underline{Ainsi, pour $x=4$, on a $f(x)=-5$.}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item La formule à entrer dans la cellule B3 est :
\begin{verbatim}
=B1*B1+1
\end{verbatim} 
ou 
\begin{verbatim}
=B1^2+1
\end{verbatim}

\item Dans la cellule D3, il y aurait $g(-1)=(-1)^2+1=1+1=2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}

\begin{enumerate}
\item Le principal ne peut pas faire 5 équipes car le nombre 119 n'est pas divisible par 5. S'il faisait 5 équipes, le nombre de filles dans chaque équipe ($119\div5$) ne serait pas un nombre entier, ce qui n'est pas possible.

\item Pour savoir combien d'équipe au maximum le principal peut faire, calculons $\pgcd{119}{85}$ à l'aide de l'algorithme d'Euclide :
\begin{align*}
119 & = 1\times85+34\\
85 & = 2\times34+17\\
34 & = 2\times17+0
\end{align*}
Ainsi, $\pgcd{119}{85}=17$. \underline{Le principal peut donc faire au maximum 17 équipes.}

$119\div17=7$ et $85\div17=5$ donc \underline{dans chaque équipe, il y aura 7 filles et 5 garçons.}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Le volume d'un parallélépipède rectangle est donné par la formule : $\mathcal{V}=L\times\ell\times h$.

Ici, \underline{$\mathcal{V}=6\times6\times12=432$ cm$^3$.}

\item On sait que 1 litre = 1 dm$^3$ et 1 cm$^3$ = 0,001 dm$^3$.

Donc 432 cm$^3$ = $432\times0,001$ dm$^3$ = 0,432 dm$^3$.

\medskip

\underline{Le volume de la boîte est donc égal à 0,432 litre.}
\end{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item L'aire de la face ABCD est égale à $6\times12=72$ cm$^2$ ;
\item L'aire de la face BEFC est égale à $6\times12=72$ cm$^2$ ;
\item L'aire de la face DCFG est égale à $6\times6=36$ cm$^2$ ;
\end{itemize}
\underline{Donc l'aire de la boîte est : $(72+72+36)\times2=360$ cm$^2$.}

\item 
\begin{enumerate}
\item Dans le triangle DIP rectangle en D, $\tan\angle{DIP}=\dfrac{\text{DP}}{\text{DI}}=\dfrac{12-3,3}{3}=2,9$. 

\underline{Donc $\angle{DIP}\approx71^\circ$.}

\medskip

Pour des raisons de symétrie, $\angle{QIC}=\angle{DIP}$ donc \underline{$\alpha=180-2\times71=38^\circ$.}

\item Dans le triangle DIP rectangle en D, le théorème de Pythagore donne :
\begin{align*}
PI^2 & = DI^2+DP^2\\
PI^2 & = 3^2+(12-3,3)^2\\
PI^2 & = 9+75,69\\
PI^2 & = 84,69\\
PI & = \sqrt{84,69}\\
\Aboxed{PI & \approx 9,2\text{ cm}.}
\end{align*}

\item L'aire d'un disque de rayon $R$ est donnée par la formule $\pi R^2$. En prenant $R=PI=9,2$, on obtient : $\pi\times9,2^2=84,69\pi\approx266,1$ cm$^2$.

Cette aire est obtenue pour un disque plein, donc pour un angle au centre de 360$^\circ$. Pour obtenir l'aire correspondant à un angle de 71$^\circ$, on utilise la proportionnalité :
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
360$^\circ$ & 71$^\circ$\\
\hline
266,1 cm$^2$ & $x$ cm$^2$\\
\hline
\end{tabular}
\qquad
$x=\dfrac{266,1\times71}{360}\approx52,5$
\end{center}
\underline{L'aire du secteur angulaire est donc à peu près égale à 52,5 cm$^2$.}

\item L'aire du disque de centre $O$ est : $\pi\times2^2\approx12,6$ cm$^2$.

\underline{Donc l'aire du demi-disque inférieur est environ 6,3 cm$^2$.}

\item En ajoutant les deux aires des questions précédentes, on arrive à une aire de $52,5+6,3=58,8$ cm$^2$.

\underline{L'aire à l'intérieur des pointillés est donc à peu près égale à 58,8 cm$^2$.}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item 360 cm$^2$ = 0,036 m$^2$ et $1,20\times0,036=0,0432$.

La boîte coûte donc en carton 0,0432 \euro.

\item 58,8 cm$^2$ = 0,00588 m$^2$ et $1,90\times0,00588=0,011172$.

Donc la colorisation en violet coûte 0,011172 \euro.

\item $360-58,8=301,2$ cm$^2$ = 0,03012 m$^2$ et $1,80\times0,03012=0,054216$.

La colorisation en bleu coûte donc 0,054216 \euro.
\end{itemize}

La boîte coûte donc au total $0,0432+0,011172+0,054216\approx0,11$ \euro.
\end{enumerate}

\item Si les dimensions sont réduites de \pourcent{10}, alors elles sont multipliées par 0,9 ($=1-\dfrac{10}{100}=\dfrac{90}{100}=0,9$).

Si le facteur de réduction est égal à 0,9, alors les aires sont multipliées par $0,9^2=0,81$.

Il faut donc multiplier l'ancien coût par 0,81 : $0,11\times0,81\approx0,09$.

\underline{Le nouveau coût de fabrication de la boîte est donc 0,09 \euro.}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 5}

\begin{enumerate}
\item Le triangle ABC (ou ABD) est rectangle en A donc d'après le théorème de Pythagore :
\begin{align*}
BD^2 & = AD^2+AB^2\\
BD^2 & = 10^2+7^2\\
BD^2 & = 149\\
\Aboxed{BD & =\sqrt{149}}
\end{align*}

\item On nous demande ici à partir de quelle position le point N touche-t-il [BD]. Dans cette configuration, [MN] et [AB] sont parallèle, M$\in$[AD] et N$\in$[BD] donc on peut utiliser le théorème de Thalès :
\[
\dfrac{DM}{DA}=\dfrac{MN}{AB} \iff \dfrac{DM}{10}=\dfrac{3}{7} \iff DM=\dfrac{10\times3}{7}=\dfrac{30}{7}\approx4,286.
\]
\underline{[DC] commencera à se lever lorsque M sera à 4,286 mètres de C.}

\newpage

\item Complétons le schéma :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[left] {O} -- ({10+9/4},0) node[below] {A} -- ({10+9/4},7) node[above] {B} node[midway,right] {7} -- (0,0);
\draw[dashed] ({9/4},0) node[below] {C} -- ({9/4},1.3) node[above] {D};
\draw ({9/4+3},0) node[below] {M} -- ({9/4+3},3) node[above] {N} node[midway,right] {3};
\draw[<->,>=latex] ({9/4},-0.5) -- ({9/4+3},-0.5) node[midway,fill=white] {3};
\draw[<->,>=latex] ({9/4},-1) -- ({9/4+10},-1) node[midway,fill=white] {10};
\end{tikzpicture}
\end{center}

D'après le théorème de Thalès, on a : 
\[
\dfrac{OM}{OA}=\dfrac{MN}{AB}\iff \dfrac{OC+3}{OC+10}=\dfrac{3}{7}\iff 7(OC+3)=3(OC+10)\iff 7OC+21=3OC+30\iff 4OC=9
\]
soit : $OC=\dfrac{9}{4}$.

Toujours d'après le théorème de Thalès, on a :
\[
\dfrac{OC}{OM}=\dfrac{DC}{MN}\iff \dfrac{\frac{9}{4}}{3+\frac{9}{4}}=\dfrac{DC}{3}\iff\dfrac{\frac{9}{4}}{\frac{21}{4}}=\dfrac{DC}{3}\iff\dfrac{9}{4}\times\frac{4}{21}=\dfrac{DC}{3}\iff\dfrac{3}{7}=\dfrac{DC}{3}\iff DC=\dfrac{3\times3}{7}=\dfrac{9}{7}.
\]
\underline{Donc si M se trouve à 3 mètres de C, le point D se trouvera à 1,29 mètres du sol environ.}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 6}

\begin{enumerate}
\item On remplace $P$, $V$ $n$ et $T$ par leur valeur :
\[ 1,013\times \numprint{1500}=6,234\times10^{-2}\times R\times (20+273,15) \]
soit :
\[ R=\dfrac{1,013\times\numprint{1500}}{0,06234\times293,15}=8,314.\]

\item $n=\dfrac{PV}{RT}$ d'après la formule donc ici :
\[
n=\dfrac{3\times30}{8,314\times300}\approx3,61\times10^{-2}.
\]
\end{enumerate}
\end{document}