\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{kpfonts}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{cellspace}
\setlength{\cellspacetoplimit}{3pt}
\setlength{\cellspacebottomlimit}{3pt}
\usepackage{tkz-euclide}
\usetikzlibrary{fadings,calc,decorations.pathmorphing}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{eso-pic}
\usepackage[urlcolor=purple,colorlinks=true]{hyperref}
\usepackage{pas-math}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{pdfpages}
\definecolor{violet}{cmyk}{0.28,0.89,0,0.28}
\definecolor{vert}{cmyk}{0.17,0,0.17,0.07}
\newcommand{\chapHead}[1]{% #1 = Titre
\begin{tikzpicture}
\fill[blue!20] (0,0) rectangle+(\textwidth,-1.5cm);
\fill[orange!5] (0,-1) rectangle +(\textwidth,-5cm);
\fill[violet] (12cm,0) rectangle +(4cm,-4.5cm);
\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (13cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!50] (12.5cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (12cm,-3.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[vert] (12cm,-4.5cm) rectangle +(4cm,-1.5cm);
% "Fiche"
\node[below] at (14cm,-0.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}
\selectfont{\Large DNB 2015}

\bigskip

\emph{par\\{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
};
% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
\begin{minipage}{11cm}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont
\color{purple}\Huge #1
\end{minipage}
};
\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
% Date
\node at (14cm,-5.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{black}\today
\end{center}
\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
}
% Sections
\titleformat{\section}[block]
{\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\fontsize{16}{14}\selectfont\color{violet}}
{\thesection}
{1em}
{\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont}
\setlength{\parindent}{0pt}

% Paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\fontfamily{lmss}\fontseries{b}\selectfont\color{purple}}{\theparagraph}{1em}{}


% Itemize

\setlist[itemize,1]{label={\color{purple}\textbullet}}
\setlist[itemize,2]{label={\color{purple}$\star$}}

% enumerate

\setlist[enumerate,1]{label={\color{purple}\arabic*.}}
% footpage

\cfoot{\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{white}\fcolorbox{violet}{violet}{\thepage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

% headpage
\lhead{}
\chead{}
\rhead{}

\begin{document}
\includepdf[pages=1-4]{sujet}

\vfil
\paragraph*{Attention :} dans l'exercice 6, il faut lire : $\angle{BAC}=60^\circ$ et non $\angle{ABC}=60^\circ$.

(note de Stéphane Pasquet)

\includepdf[pages=5]{sujet}

\pagestyle{fancy}
\chapHead{Correction du DNB 2015 Pondichéry}

\section*{Exercice 1 (5 points)}

\begin{enumerate}
\item Réponse B. $(x-1)^2=x^2-2x+1$ : c'est une identité remarquable.
\item Réponse C. Il suffit de remplacer $x$ par les 3 valeurs proposées. on voir alors que :
\begin{itemize}
\item $2\times0^2+3\times0-2=-2$
\item $2\times2^2+3\times2-2=8+6-2=12$
\item $2\times(-2)^2+3\times(-2)-2=8-6-2=0$
\end{itemize}
On obtient \og 0 \fg{}  pour $x=-2$.
\item Réponse B. Un antécédent de $-7$ par la fonction $f$ est une valeur de $x$ pour laquelle $3x+2=-7$, soit $3x=-7-2$, donc $3x=-9$, c'est-à-dire $x=\dfrac{-9}{3}=-3$.
\item Réponse C. Un angle conserve toujours la même mesure, qu'on le regarde avec une loupe, un télescope ou nos yeux (un agrandissement conserve la mesure des angles).
\item Réponse A. On voit que la cellule \texttt{A2} contient la valeur de $x$ que l'on souhaite (à savoir $-2$). Donc on remplace $x$ par \og \texttt{A2} \fg{} dans l'expression de $g(x)$ : $x^2+7$ devient \texttt{A2}$^2+7$. Et comme toute formule de tableur, on met le signe \og = \fg{} avant.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 (4 points)}

\begin{enumerate}
\item Si le chocolatier pouvait faire 19 paquets, il y aurait $\dfrac{\numprint{2622}}{19}$ \oe ufs de Pâques et $\dfrac{\numprint{2530}}{19}$ poissons en chocolat.

Or, $\dfrac{\numprint{2622}}{19}=138$ et $\dfrac{\numprint{2530}}{19}\approx133,16$. Ce dernier résultat n'est pas entier donc le chocolatier ne peut pas faire 19 paquets.

\item On cherche le plus grand nombre de paquets possibles, donc le plus grand nombre entier qui divise à la fois \numprint{2622} et \numprint{2530}. On cherche donc \pgcd{\numprint{2622}}{\numprint{2530}}. On va utiliser l'algorithme d'Euclide pour cela :

\begin{align*}
\numprint{2622} & =\numprint{2530}+92\\
\numprint{2530} & = 27\times92 + 46\\
92 & = 2\times46+0
\end{align*}

Le dernier reste non nul est 46. Ainsi, le chocolatier peut faire 46 paquets.

Dans ce cas, il y aura dans chacun des paquets $\dfrac{\numprint{2530}}{46}=55$ poissons en chocolat et $\dfrac{\numprint{2622}}{46}=57$ \oe eufs de Pâques.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 (6 points)}

\begin{itemize}
\item Exploitons l'information 1.

Peio reste 3 mois complet donc :
\begin{itemize}
\item s'il choisit la paillote sur la plage, il devra payer : $3\times\numprint{2500}$ \euro, soit \numprint{7500} \euro.
\item s'il choisit la boutique en centre ville, il devra payer : $(30+31+31)\times60$ \euro, soit \numprint{5520} \euro.
\end{itemize}

\item Pour connaître ses recettes, exploitons les informations 2 et 3 :

Le soleil brille \pourcent{75} du temps, soit $\dfrac{75}{100}\times(30+31+31)=69$ jours.

Le temps sera donc pluvieux pendant $(30+31+31)-69=23$ jours.
\begin{itemize}
\item S'il choisit la paillote, il gagnera : $69\times500+23\times50=\numprint{35650}$ \euro.
\item S'il choisir la boutique en centre ville, il gagnera : $69\times500+23\times300=\numprint{41400}$ \euro.
\end{itemize}

\item Le bénéfice sera alors :
\begin{itemize}
\item S'il choisit la paillote, $\numprint{35650}-\numprint{7500}=\numprint{28150}$ \euro.
\item S'il choisit la boutique en centre ville, $\numprint{41400}-\numprint{5520}=\numprint{35880}$ \euro.
\end{itemize}

Le bénéfice maximum est donc envisageable s'il prend la boutique en centre ville.
\end{itemize}

\section*{Exercice 4 (6 points)}

\begin{enumerate}
\item Le volume d'une pyramide est donné par la formule : \[ \mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{A}_{\text{ABC}}\times\text{AS}.
\]
L'aire de ABC est :
\[
\mathcal{A}_{\text{ABC}}=\dfrac{\rm AB\times AC}{2}=\dfrac{7,5^2}{2}=28,125.
\]
Donc :
\begin{align*}
\mathcal{V} & = \dfrac{1}{3}\times28,125\times15\\
\Aboxed{\mathcal{V}& = 140,625\text{ cm}^3}
\end{align*}

\item 
\begin{enumerate}
\item S'MN est un triangle rectangle isocèle. En effet, c'est une réduction du triangle rectangle isocèle ABC et nous savons qu'une réduction conserve les longueurs.
\item Dans le triangle SAC, (S'N) et (AC) sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès :
\[
\thalesShort{SS'}{SA}{S'N}{AC}
\]
soit :
\[
\thalesShort{6}{15}{S'N}{7,5}.
\]
On a alors :
\[
\boxed{\text{S'N}=\dfrac{6\times7,5}{15}=3}
\]
\end{enumerate}

\item Le coefficient de réduction est $\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}$. Ainsi, le volume de la pyramide SS'MN est :
\[
\mathcal{V}^\prime=\dfrac{2}{5}\mathcal{V}=\dfrac{2}{5}\times140,625=56,25\text{ cm}^3.
\]
Le volume maximal de parfum est donc :
\[
\boxed{\mathcal{V}-\mathcal{V}^\prime=140,625-56,25=84,375\text{ cm}^3}
\]
\end{enumerate}

\section*{Exercice 5 (4 points)}

\begin{enumerate}
\item Il y a 5 portes dont 1 qui conduit à la salle du trésor ; par conséquent, la probabilité que le candidat se retrouve dans la salle du trésor est $\dfrac{1}{5}$.
\item
\begin{enumerate}
\item On a la situation suivante :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[draw] (e1) {\numprint{1000} \euro};
\node[draw,right,outer xsep=2em] (e2) at (e1.east) {\numprint{200} \euro};
\node[draw,right] (e3) at (e2.east) {\numprint{100} \euro};
\node[draw] (st) at ($(e2.north)+(0,2)$) {Salle du trésor};
\draw (e1.north) -- (st.south) node[midway,fill=white] {1};
\draw (e2.north) -- (st.south) node[midway,fill=white] {5};
\draw (e3.north) -- (st.south) node[midway,fill=white] {2};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Il y a 6 enveloppes qui contiennent un montant supérieur ou égal à 200 \euro{} donc la probabilité pour que le candidat gagne au moins 200 \euro{} est $\dfrac{6}{8}$, soit $\dfrac{3}{5}$.
\end{enumerate}
\item Dans la salle de consolation, il y a 3 enveloppes vides sur les 8, donc la probabilité pour que le candidat ne gagne rien est $\dfrac{3}{8}$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 6 (7 points)}

\begin{enumerate}
\item La figure est sur la page suivante.

\item 
\begin{enumerate}
\item ABC est inscrit dans le cercle que nous avons tracé et [AB] est un diamètre. Or, \emph{tout triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre de ce cercle est rectangle.}

Donc ABC est un triangle rectangle en C.

\underline{L'affirmation est donc vraie.}

\item ABC est un triangle rectangle en C donc nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore :
\[ \pythagore{AB}{AC}{BC} \]
donc : \[ 12^2=6^2+\text{BC}^2 \]
soit : \[ 144 = 36+\text{BC}^2.\]
Ainsi,
\[ \text{BC}=144-36=108\]
et
\[ \text{BC}=\sqrt{108}\neq10.\]
\underline{Donc l'affirmation est fausse.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[left] {A} -- (12,0) node[right] {B};
\draw (6,0) circle (6cm);
\draw (6,0.1) -- (6,-0.1) node[below] {O};
\draw (0,0) -- (60:6cm) node[above] {C} node[midway,above,rotate=60] {6 cm} -- (12,0);
\draw (1,0) arc (0:60:1cm);
\node[right] at (30:1cm) {$60^\circ$};
\draw (6,0) -- (60:6cm);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $\text{AO}=\text{CO}=6$ car [AO] et [CO] sont deux rayons du cercle tracé. De plus, $\text{AC}=6$. Donc AOC est équilatéral. Ainsi, chacun de ses angles mesure $60^\circ$.

\underline{L'affirmation est donc vraie.}

\item L'aire de ABC est égale à $ \dfrac{\rm AC \times BC}{2}=\dfrac{6 \times \sqrt{108}}{2}=3\sqrt{108}$.

Or, $\sqrt{108}=\sqrt{9\times4\times3}=3\times2\sqrt{3}= 6\sqrt{3}$. Donc l'aire de ABC est égale à $18\sqrt{3}$ cm$^2$.

\underline{L'affirmation est donc vraie.}

\item\label{qerreor} $\angle{AOC}+\angle{COB}=\angle{AOB}=180^\circ$.

Donc $\angle{COB}=180^\circ-60^\circ=120^\circ$.

\underline{L'affirmation est donc fausse.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\paragraph*{N.B.} Le sujet comporte manifestement des erreurs ... L'angle $\angle{ABC}$ n'est pas égal à $60^\circ$. J'imagine donc (et c'est ce que j'ai pris pour construire la figure) que $\angle{BAC}=60^\circ$.

De plus, la question \ref{qerreor} est semble-t-il aussi fausse (en fait, elle est tellement stupide qu'elle semble fausse).

\section*{Exercice 7 (4 points)}

On note $x$ la longueur d'un côté d'un triangle équilatéral que nous découpons.

Le périmètre d'un petit triangle équilatéral est alors : $3x$.

Le périmètre total des 3 triangles équilatéraux est donc : $3\times3x=9x$.

\medskip

Le côté du grand triangle équilatéral est 6 cm, donc son périmètre est $3\times6=18$ cm.

\medskip

On sait que :
\[ 
9x=18 \]
donc
\[x=\dfrac{18}{9}=2.\]

\underline{Le côté des petits triangles équilatéraux mesure donc 2 cm.}
\end{document}