\documentclass[10pt,a4paper]{article}
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\begin{document}
\paragraph*{Exercice 1 (fonctions)} Deux piétons se trouvent au même endroit, nommé $O$. À l'instant $t=0$, le premier part dans une direction avec une vitesse $v_1$. Le second part au même moment dans une direction faisant un angle de $\alpha$ degrés avec la direction du premier, à une vitesse $v_2$.

La situation est rapportée à un repère orthonormé d'origine $O$. À chaque instant, les deux piétons (représentés ci-dessous par les points $A$ et $B$) ont la même ordonnée. 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick,->,>=latex] (0,0) -- (5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,0) -- (0,5) node[above] {Direction du piéton 1};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[dashed,>=latex,->] (0,0) -- (50:5) node[right] {Direction du piéton 2};
\draw[dotted] (0,3) -- (5,3);
\draw (50:1) arc (50:90:1);
\node at (70:1.25) {$\alpha$};
\fill (0,3) circle (2pt) node[left] {$A$};
\fill (50:3.92) circle (2pt) node[above left] {$B$};
\draw[dashed] (0,2.75) -- (0.25,2.75) -- (0.25,3);
\draw[<->,>=latex] (-0.5,0) -- (-0.5,3) node[midway,fill=white] {$d_1$};
\draw[<->,>=latex,red,thick] (0,0) -- (50:3.92) node[midway,below right] {$d_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On appelle $d_1$ et $d_2$ les distances parcourues respectivement par le piéton 1 et le piéton 2 à l'instant $t$.
\begin{enumerate}
\item Expliquer l'égalité : $d_2=\dfrac{d_1}{\cos\alpha}$.
\item Montrer que $\dfrac{d_1}{v_1}=\dfrac{d_2}{v_2}$ à chaque instant $t$.
\item En déduire alors que $v_2=\dfrac{v_1}{\cos\alpha}$ à chaque instant $t$.
\item Si $\alpha=30\degres$ et $v_1=4$ m/s, quelle est la vitesse du second piéton ?
\item Si $\alpha=40\degres$ et $v_2=3$ m/s, quelle est la vitesse du premier piéton ?
\item Les vitesses des piétons sont-elles proportionnelles ?
\item On a représenté ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{3}{\cos(x)}$, où $x$ est exprimé en degrés.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.1,yscale=0.4]
\draw[dashed,gray] (0,0) grid[xstep=10,yscale=1] (90,20);
\draw[->,>=latex] (0,0) -- (90,0);
\draw[->,>=latex] (0,0) -- (0,20);
\foreach \x in {0,10,20,30,40,50,60,70,80,90}
{
\node[below] at (\x,0) {\x};
}
\foreach \y in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
{
\node[left] at (0,\y) {\y};
}
\clip (0,0) rectangle (90,20);
\draw[thick] plot[domain=0:89,samples=100] (\x,{3/cos(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item À partir de ce graphique, donner la vitesse du second piéton si $\alpha=60$ et $v_1=3$ km/h.
\item En milieu urbain, on estime à 5 km/h la vitesse maximale moyenne d'un piéton. 

Dans un tel cas, quel est l'angle maximal qu'il peut y avoir entre les deux directions des piétons ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}