\documentclass[12pt]{article}
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\title{Fonctions linéaires et affines\\Fiche de cours}
\author{Stéphane PASQUET}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\maketitle

\section*{Fonctions linéaires}

\paragraph*{Définition.} Ce sont les fonctions $f$ telles que :
\[ f(x)=ax\qquad,\qquad a\in\R.\]

\paragraph*{Exemples.} $f(x)=2x$ et $g(x)=-5x$ définissent des fonctions linéaires.

\paragraph*{Représentation graphique.} Les fonctions linéaires sont représentées par des droites passant par l'origine du repère.\\
La droite d'équation $y=ax$ a pour \textbf{coefficient directeur} le nombre $a$.

\paragraph*{Calcul du coefficient directeur par méthode graphique.}~

\medskip

\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[gray!50] (-7,-5) grid[xstep=0.5,ystep=0.5] (7,5);
\draw[gray] (-7,-5) grid (7,5);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-7,0) -- (7,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-5) -- (0,5);
\foreach\x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
{
\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,scale=0.8] {\x};
}
\foreach\y in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left,scale=0.8] {\y};
}
\node[below left,scale=0.8] at (0,0) {O};
\clip (-7,-5) rectangle (7,5);
\draw[blue] plot[domain=-7:7] (\x,{\x/3}); 
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] On repère d'abord un point de la droite dont les coordonnées sont facile à lire.\\
Par exemple, A\coord{3}{1} est sur la droite ci-contre.

\medskip

\item[$\bullet$] Ensuite, pour obtenir le coefficient directeur $a$ de la droite, on calcule $\dfrac{y_A}{x_A}$.\\
Ici, $a=\dfrac{1}{3}$.

\medskip

La fonction est donc : $f(x)=\dfrac{1}{3}x$.
\end{itemize}
\end{minipage}

\paragraph*{Calcul du coefficient directeur par méthode algébrique.}~

\medskip

Si on sait que $f$ est une fonction linéaire (donc $f(x)=ax$) et si $f(\textcolor{blue}{5})=\textcolor{red}{-2}$, alors :
\[ a=\dfrac{\textcolor{red}{-2}}{\textcolor{blue}{5}}.\]

\newpage

\section*{Fonctions affines}

\paragraph*{Définition.} Ce sont les fonctions $f$ telles que :
\[ f(x)=ax+b\qquad,\qquad a~\text{et}~b~\text{étant deux nombres réels},\ b\neq0.\]

\paragraph*{Exemples.} $f(x)=-6x+1$ et $g(x)=\frac{1}{5}x-3$ définissent deux fonctions linéaires.

\paragraph*{Représentation graphique.} Les fonctions affines sont représentées par des droites qui ne passent pas par l'origine du repère.\\
La droite d'équation $y=ax+b$ a pour \textbf{coefficient directeur} le nombre $a$, et pour \textbf{ordonnées à l'origine} le nombre $b$.

\paragraph*{Calcul du coefficient directeur par méthode graphique.}~

\medskip

\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[gray!50] (-7,-5) grid[xstep=0.5,ystep=0.5] (7,5);
\draw[gray] (-7,-5) grid (7,5);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-7,0) -- (7,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-5) -- (0,5);
\foreach\x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
{
\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,scale=0.8] {\x};
}
\foreach\y in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left,scale=0.8] {\y};
}
\node[below left,scale=0.8] at (0,0) {O};
\clip (-7,-5) rectangle (7,5);
\draw[blue] plot[domain=-7:7] (\x,{-\x/2+2}); 
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] On repère d'abord un point de la droite dont les coordonnées sont facile à lire.\\
Par exemple, A\coord{3}{1} est sur la droite ci-contre.

\medskip

\item[$\bullet$] Ensuite, pour obtenir le coefficient directeur $a$ de la droite, on calcule $\dfrac{y_A}{x_A}$.\\
Ici, $a=\dfrac{1}{3}$.

\medskip

La fonction est donc : $f(x)=\dfrac{1}{3}x$.
\end{itemize}
\end{minipage}

\end{document}