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\newcommand{\chapHead}[1]{% #1 = Titre
\begin{tikzpicture}
\fill[blue!20] (0,0) rectangle+(\textwidth,-1.5cm);
\fill[orange!5] (0,-1) rectangle +(\textwidth,-5cm);
\fill[violet] (12cm,0) rectangle +(4cm,-4.5cm);
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\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (13cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!50] (12.5cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (12cm,-3.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[vert] (12cm,-4.5cm) rectangle +(4cm,-1.5cm);
% "Fiche"
\node[below] at (14cm,-0.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont{\Large Exercices}

\bigskip

\emph{par\\{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
};
% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
\begin{minipage}{11cm}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{purple}\Huge #1
\end{minipage}
};
\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
% Date
\node at (14cm,-5.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{black}\today
\end{center}
\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
}
% Sections
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{\thesection}
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{\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont}
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% Subection

\titleformat{\subsection}
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% Paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\fontfamily{lmss}\fontseries{b}\selectfont\color{purple}}{\theparagraph}{1em}{}


% Itemize

\setlist[itemize,1]{label={\color{purple}\textbullet}}
\setlist[itemize,2]{label={\color{purple}$\star$}}

% enumerate

\setlist[enumerate,1]{label={\color{purple}\arabic*.},itemindent=*,leftmargin=*}

% footpage

\cfoot{\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{white}\fcolorbox{violet}{violet}{\thepage}}
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% headpage
\lhead{}
\chead{}
\rhead{}

% Correction

\newcommand{\correction}{%
\newpage
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% Enoncés

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\fontsize{20}{18}\fontfamily{lmss}\fontseries{b}\fontshape{sc}\selectfont\color{purple}\'Enonc\'es
\end{center}
}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Préparation au DNB}

%%%%%%%%%%%% Pour le sommaire
\makeatletter

\renewcommand*\l@section{\color{blue!50!black}\def\@linkcolor{blue!50!black}\@dottedtocline{1}{1em}{2.3em}}
\def\contentsline#1#2#3#4{%
  \ifx\\#4\\%
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%%%%%%%%%%% FONTES

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\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\Huge Sommaire}
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{\tocFONT\tableofcontents}
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\newpage\enonces

\section{Des vélos et des voitures}

Le richissime monsieur Icks possède dans son garage des vélos et voitures.

On peut ainsi compter en tout 16 moyens de locomotion pour 58 roues.

\medskip

Combien de voitures possède-t-il ?

\section{La société Electrix (inspiré du PISA 2012)}

La société Electrix fabrique deux types d'appareils électroniques : des lecteurs audio et des lecteurs vidéo. À la fin d'une journée de production, les lecteurs sont testés et ceux qui sont défectueux sont retirés et envoyés en réparation.

Le tableau suivant indique le nombre moyen de lecteurs de chaque type qui sont fabriqués par jour ainsi que le pourcentage moyen de lecteurs défectueux par jour.

\medskip

\begin{tabular}{|*3{>{\centering\bfseries\arraybackslash}m{0.31\linewidth}|}}
\hline
Type de lecteur & Nombre moyen de lecteurs fabriqués par jour & Pourcentage moyen de lecteurs défectueux par jour\\
\hline
Lecteurs vidéo & \numprint{2000} & \pourcent{5}\\
\hline
Lecteurs audio & \numprint{6000} & \pourcent{3}\\
\hline
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item Voici trois affirmations sur la production d'une journée chez Electrix. Ces affirmations sont-elles correctes ?
\begin{enumerate}
\item Un tiers des lecteurs produits chaque jour sont des lecteurs vidéo. 
\item Dans chaque lot de 100 lecteurs vidéo fabriqués, exactement 5 sont défectueux. 
\item Si un lecteur audio est choisi au hasard parmi la 
production de la journée, la probabilité qu'il aura besoin d'être réparé est de 0,035. 
\end{enumerate}
\item L'un des testeurs affirme ceci :

\medskip

\og En moyenne, il y a plus de lecteurs vidéo envoyés chaque jour en réparation que de lecteurs audio envoyés chaque jour en réparation. \fg

\medskip

Déterminez si le testeur a raison ou tort. Donnez un argument mathématique pour justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\section{Débit d'une perfusion (PISA 2012)}

Les infirmières doivent calculer le débit $D$  d'une perfusion en gouttes par minute. Elles utilisent la formule :
\[ D=\dfrac{dv}{60n}\]
où :
\begin{itemize}
\item $d$ est le facteur d'écoulement en gouttes par millilitre (ml) ;
\item $v$ est le volume (en ml) de la perfusion ;
\item $n$ est le nombre d'heures que doit durer la perfusion.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Une infirmière veut doubler la durée de perfusion .

Décrivez avec précision la façon dont $D$ change si $n$ est doublé et si $d$ et $v$ ne changent pas.

\item Les infirmières doivent aussi calculer le volume $v$ de la perfusion en fonction du débit de perfusion $D$.

Une perfusion d'un débit de 50 gouttes par minute doit être administrée à un patient pendant 3 heures. Pour cette perfusion, le facteur d'écoulement est de 25 gouttes par millilitre.

Quel est le volume en ml de cette perfusion ?
\end{enumerate}

\section{La grande roue (inspiré de PISA 2012)}

On a schématisé ci-dessous une grande roue.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (2cm);
\fill (0,0) circle (1pt) node[below left] {O};
\draw (-1.5,-2) -- (1.5,-2) node[right] {Plate-forme d'embarquement};
\foreach \a in {0,15,...,345}
{
	\fill ({2*cos(\a)},{2*sin(\a)}) circle (1pt);
}
\fill ({2*cos(0)},{2*sin(0)}) circle (1pt) node[right] {Q};
\fill ({2*cos(180)},{2*sin(180)}) circle (1pt) node[left] {S};
\fill ({2*cos(90)},{2*sin(90)}) circle (1pt) node[above] {R};
\fill ({2*cos(270)},{2*sin(270)}) circle (1pt) node[below] {P};
\draw[->,>=stealth'] ({2.5*cos(30)},{2.5*sin(30)}) arc (30:50:2.5cm);
\draw[->,>=stealth'] ({2.5*cos(200)},{2.5*sin(200)}) arc (200:220:2.5cm);
\fill ({2*cos(120)},{2*sin(120)}) circle (1pt) node[above left] {M};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Les points mis sur le cercle sont régulièrement espacés.

Le diamètre de la roue est 140 mètres.

La roue tourne à une vitesse constante dans le sens indiqué par les flèches et effectue un tour complet en 40 minutes.

\begin{enumerate}
\item Hugo embarque au niveau du point P.
\begin{enumerate}
\item Où se trouvera-t-il une demie-heure plus tard ?
\item Combien de temps lui faut-il pour passer du point P au point M ? On donnera le résultat en minutes et secondes.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle QPR ?
\item En déduire la mesure de l'angle \angle{PRQ}, puis celle de l'angle \angle{PMQ} ?
\end{enumerate}

\item Calculer le périmètre du carré PQRS. Arrondir au mètre près.
\end{enumerate}

\section{L'héritage}

Madame Ygraic souhaite léguer son capital à ses enfants. Elle prépare pour cela son testament.

Elle veut répartir de façon équitable entre ses garçons la somme de \numprint{87500}~\euro{} et entre ses filles la somme de \numprint{62500}~\euro de sorte à donner le maximum à chacun et à ce que chacun de ses enfants ait la m\^eme somme d'argent.

\begin{enumerate}
\item Calculer la somme qu'héritera chaque enfant.
\item Calculer le nombre de garçons et de filles qu'a madame Ygraic.
\end{enumerate}

\section{L'étagère}

Arthur vient d'acheter une maison. Dans l'une des pièces se trouve,dans un mur, un espace creux en forme de trapèze dans lequel il souhaite mettre à mi-hauteur une étagère comme indiqué sur le schéma ci-dessous (schéma de gauche) :

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {A} -- 
(4,0) node[below right] {B} node[midway,below] {120 cm} -- (1.666,3.333) node[above right] {C} -- (0,3.333) node[above left] {D} node[midway,above] {50 cm} -- (0,0) node[midway,above,rotate=90] {100 cm};
\draw[dashed] (0,1.666) node[above right] {E} -- (2.833,1.666) node[right] {F};
\draw[<->,>=stealth'] (0.5,0) -- (0.5,1.666) node[midway,below,rotate=90] {50 cm};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {A} -- 
(4,0) node[below right] {B} node[midway,below] {120 cm} -- (1.666,3.333) node[above right] {C} -- (0,3.333) node[above left] {D} node[midway,above] {50 cm} -- (0,0) node[midway,above,rotate=90] {100 cm};
\draw[dashed] (0,1.666) node[above right] {E} -- (2.833,1.666) node[right] {F};
\draw[<->,>=stealth'] (0.5,0) -- (0.5,1.666) node[midway,below,rotate=90] {50 cm};
\draw[dotted] (0,3.333) -- (0,5.714) node[above] {S} node[midway,left] {$x$} -- (1.666,3.333);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

Afin de déterminer la longueur EF de l'étagère, il s'aide du schéma de droite, où $x=\text{SD}$.


\begin{enumerate}
\item Montrer que $\dfrac{x}{x+100}=\dfrac{5}{12}$.

En déduire alors la valeur de $x$ sous forme fractionnaire.
\item Calculer la valeur de EF.
\end{enumerate}

\section{L'\oe uvre d'art}

Une \oe uvre d'art est constituée d'une sphère en verre $\mathscr{S}$ au centre de laquelle se trouve une autre sphère en verre $\mathscr{S}'$ qui est une réduction de $\mathscr{S}$. On l'a schématisé ci-dessous :

\begin{minipage}{0.333\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw (0,0) circle (3cm);
\draw (-3,0) arc (180:360:3cm and 0.5cm);
\draw[dotted] (3,0) arc (0:180:3cm and 0.5cm);
\fill (0,0) circle (1pt) node[below] {O};
\draw[dashed] (0,0) circle (1.2cm);
\draw[dashed] (-1.2,0) arc (180:360:1.2cm and 0.2cm);
\draw[dashed] (1.2,0) arc (0:180:1.2cm and 0.2cm);
\node at (220:3.6cm) {$\mathscr{S}$};
\node[scale=0.8] at (60:1.7cm) {$\mathscr{S}'$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.666\linewidth}

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
\item L'artiste a souhaité que le volume de $\mathscr{S}'$ soit les huit cent-vingt-cinquièmes du volume de $\mathscr{S}$.

Que représente le rayon de $\mathscr{S}'$ par rapport à celui de $\mathscr{S}$ ?
\item L'espace entre les deux sphères est rempli d'eau.

Sachant que le rayon de $\mathscr{S}$ est égal à 20 cm, calculer le volume d'eau contenu dans cette \oe uvre d'art, arrondi au cm$^3$ puis en litres.
\end{enumerate}
\end{minipage}

\subsection*{Partie B}

Dans cette partie, on admet que le volume d'une calotte sphérique (partie grise du schéma ci-dessous) de hauteur $h$ est donnée par la formule :

\medskip

\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw (0,0) circle (3cm);
\draw (-3,0) arc (180:360:3cm and 0.5cm);
\draw[dotted] (3,0) arc (0:180:3cm and 0.5cm);
\fill (0,0) circle (1pt) node[below] {O};
\fill[gray!10] (225:3cm) arc (225:315:3cm) -- cycle;
\begin{scope}[yshift=-2.2cm]
\fill[gray!10] (0:2cm) arc (0:180:2cm and 0.3cm) -- cycle;
\draw (180:2cm) arc (180:360:2cm and 0.3cm);
\draw[dotted] (0:2cm) arc (0:180:2cm and 0.3cm);
\end{scope}
\draw[dashed] (225:3) -- ($(225:3)+(-1.5,0)$);
\draw[dashed] (270:3) -- ($(225:3)+(-1.5,-0.87)$);
\draw[<->,>=stealth'] ($(225:3)+(-1.5,0)$) -- ($(225:3)+(-1.5,-0.87)$) node[midway,left] {$h$};
\draw[<->,>=stealth'] (0,0) -- (30:3) node[midway,above,rotate=30] {$r$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.66\linewidth}
\[
\mathscr{V}_{\text{calotte}}=\dfrac{\pi}{3}\times h^2(3r-h)
\]

On note $f(h)$ le volume d'eau (en litres) dans l'\oe uvre d'art pour une hauteur de $h$ cm en partant du bas.

\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $h$ la fonction $f$ est-elle définie ?
\item Justifier que pour $0\leqslant h\leqslant 12$, $f(h)=\dfrac{\pi}{\numprint{3000}}\times h^2(60-h)$.
\item Justifier que pour $12\leqslant h\leqslant 20$, \[f(h)=\dfrac{\pi}{\numprint{3000}}\left[h^2(60-h)-(h-12)^2(36-h)\right]\;,\]
puis :
\[
f(h)=\pi(0,336h-1,728).
\]
\end{enumerate}
\end{minipage}
On a représenté ci-dessous la fonction $f$ pour $0\leqslant h\leqslant 20$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[gray!50,dashed] (0,0) grid[xstep=1,ystep=1] (20,17);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (21,0) node[below left,outer ysep=1em] {$h$ (en cm)};
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (0,17) node[right] {$\mathscr{V}$ (en litres)};
\draw[thick] plot[domain=0:12,samples=80,id=art1] function {x*x*(60-x)*pi/3000};
\draw[thick] plot[domain=12:20,id=art2] function {(0.336*x-1.738)*pi+0.03};
\foreach\x in {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
{
	\draw[thick] (\x,0.2) -- (\x,-0.2) node[scale=0.7,below] {\x};
}
\foreach\y/\t in {1/{0,1},2/{0,2},3/{0,3},4/{0,4},5/{0,5},6/{0,6},7/{0,7},8/{0,8},9/{0,9},10/{1},11/{1,1},12/{1,2},13/{1,3},14/{1,4},15/{1,5},16/{1,6}}
{
	\draw[thick] (0.2,\y) -- (-0.2,\y) node[scale=0.7,left] {\t};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[start=4]
\item Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
\begin{enumerate}
\item Quel est le volume d'eau, en litres, contenu dans l'\oe uvre d'art pour une hauteur de 6 cm ?\label{q4a}
\item Pour quelle valeur de $h$ le volume d'eau est-il égal à 1,3 litre ?
\end{enumerate}

\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, m\^eme incomplète, sera prise en compte dans la note finale.}

\`A partir de la question \ref{q4a}, déterminer le volume d'eau contenu dans cette \oe uvre d'art pour une hauteur de 34 cm. Arrondir au litre le plus proche.
\end{enumerate}

\section{Les aménagements}

Arthur et Zoé aménagent chacun de leur c\^oté mais achètent chez un m\^eme commerçant les m\^emes chaises et tables.

Arthur achète 4 chaises et une table ; il paie le tout 640 \euro.

Zoé achète 14 chaises et 3 tables ; elle paie le tout \numprint{2040}~\euro.

\medskip

Combien co\^utent une chaise et une table ?

\section{De la musique}

On a représenté ci-dessous la répartition des styles musicaux des chansons qui se trouvent dans le lecteur MP3 de Vincent selon la taille (en Mégaoctets, abrégé en : Mo) ou selon la durée (en minutes) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*2{>{\centering\bfseries\arraybackslash}X|}}
\hline
\begin{tikzpicture}[every node/.style={draw,rectangle,fill=white,scale=0.6}]
\filldraw[pattern=vertical lines] (0,0) -- (3,0) arc (0:45:3cm) -- (0,0);
\filldraw[pattern=horizontal lines] (0,0) -- (45:3cm) arc (45:189:3cm) -- (0,0);
\filldraw[pattern=bricks] (0,0) -- (189:3cm) arc (189:297:3cm) -- (0,0);
\filldraw[pattern=north east lines] (0,0) -- (297:3cm) arc (297:360:3cm) -- (0,0);
\node at (22:2cm) {Rock (\pourcent{12,5})};
\node at (117:1.5cm) {Rap (\pourcent{40})};
\node at (243:2cm) {Electro (\pourcent{30})};
\node at (324:2cm) {Divers};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=stealth'] (0,0) -- (5.5,0) node[below right,scale=0.5] {Durée (en minutes)};
\draw[->,>=stealth'] (0,0) -- (0,5.5) node[scale=0.5,right] {Effectif};
\filldraw[pattern=vertical lines] (0.5,0) rectangle +(1,0.17) node[midway,above] {5};
\filldraw[pattern=horizontal lines] (1.5,0) rectangle +(1,5);
\filldraw[pattern=bricks] (2.5,0) rectangle +(1,2);
\filldraw[pattern=north east lines] (3.5,0) rectangle +(1,0.83);
\node[above] at (2,5) {150};
\node[above] at (3,2) {60};
\node[above] at (4,0.83) {25};
\node[below] at (0.5,0) {2};
\node[below] at (1.5,0) {3};
\node[below] at (2.5,0) {4};
\node[below] at (3.5,0) {5};
\node[below] at (4.5,0) {6};
\end{tikzpicture}\\
Répartition selon la taille des fichiers & 
Répartition selon la durée des morceaux (en minutes)\\
\hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item Quel est le pourcentage de musiques de style \og Divers \fg{} ?
\item Combien de titres possède Vincent ? 
\item Combien de titres de Rap possède-t-il ?
\item Combien de titres qui durent entre 4 et 5 minutes a-t-il ?
\item Calculer la durée moyenne d'un titre. Donner le résultat en minutes et secondes.
\item Tous ces titres occupent 408 Mo.

Quel espace occupent les titres d'Electro ?
\item Vincent choisit au hasard un titre.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité pour que ce titre soit du Rap ?
\item Quelle est la probabilité pour que ce titre dure plus de 4 minutes ?
\end{enumerate}
\item Il choisit maintenant deux titres au hasard.

Quelle est la probabilité pour que les deux titres aient le m\^eme style (par exemple, 2 titres de rap) ?
\end{enumerate}

\newpage

\section{Baptiste le cycliste}

Baptiste a un vélo avec lequel il parcourt 1 km en 3 minutes. Il a remarqué que ses roues avaient fait 497 tours complets.

\begin{enumerate}
\item Calculer le rayon des roues de son vélo. Arrondir le résultat au centimètre.
\item Quelle a été sa vitesse moyenne (en km/h) sur ce parcourt ?
\item Baptiste continue son chemin après ce kilomètre parcouru. Une fois revenu chez lui, à l'aide d'un compteur qu'il a relié à son ordinateur, il a pu obtenir le tableau suivant  :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|Sc|}
\hline
\rowcolor{gray!30} & \bfseries A & \bfseries B\\
\hline\rowcolor{purple!10}
\cellcolor{gray!30}\bfseries 1 & 
\bfseries\textcolor{violet}{Kilomètres parcourus} & \bfseries\textcolor{violet}{Temps (en minutes)}\\
\hline
\cellcolor{gray!30}\bfseries 2 & 0 & 0\\\hline
\cellcolor{gray!30}\bfseries 3 & 1 & 3\\\hline
\cellcolor{gray!30}\bfseries 4 &2 & 6,2\\\hline
\cellcolor{gray!30}\bfseries 5 &3 & 9,6\\\hline
\cellcolor{gray!30}\bfseries 6 &4 & 13,2\\\hline
\cellcolor{gray!30}\bfseries 7 & 5 & 17\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

On pose $f(x)$ la fonction qui donne le temps (en minutes) nécessaire pour avoir parcouru $x$ kilomètre(s).

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $f$ n'est ni linéaire, ni affine.
\end{enumerate}

On cherche à savoir si on peut poser, pour $x\geqslant1$, $f(x)=ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres à trouver.

\begin{enumerate}[start=2]
\item Que vaut $f(0)$ ? Montrer alors que $c=0$.
\item Que vaut $f(1)$ ? En déduire que $a+b=3$.\label{ex10b}
\item Montrer que $25a+5b=17$.\label{ex10c}
\item Déduire des questions \ref{ex10b} et \ref{ex10c} les valeurs de $a$ et $b$.
\end{enumerate}

On admet que $f(x)=0,1x^2+2,9x$.

\item Quel temps faut-il à Baptiste pour parcourir 11 kilomètres ?

\item Baptiste souhaite reproduire le tableau dans un tableur. Quelle formule peut-il entrer dans la cellule B2 pour que, par copier/glisser vers le bas, la colonne B donne le temps correspondant aux valeurs de la colonne A ?
\end{enumerate}

\section{Le calcul astucieux}

\'Evariste est un génie. Aussi, quand son amie Sophie lui demande une astuce pour calculer $3,5\times4,5$, il lui dit :

\medskip

\og  Prend le carré de 3, ajoute 3 puis la moitié de 3. Ensuite, quel que soit le nombre de départ, il faut toujours ajouter 0,\numprint{3125}. \fg{} 

\begin{enumerate}
\item Effectuer le calcul d'\'Evariste. Qu'obtient-on ?
\item Comment pourrait-on faire sans calculatrice pour effectuer l'opération $6,25\times7,25$ ?
\item Justifier, à l'aide d'un calcul algébrique, l'affirmation d'\'Evariste.
\end{enumerate}

\section{Le pré d'Amédée}

Amédée possède un pré de forme circulaire. Il ne sait pas où est son centre. Ainsi, pour le trouver, il plante trois piquets au hasard (que l'on notera A, B et C) sur le périmètre de son pré puis il relie A et B, puis A et C. Il trace ensuite les médiatrices des segments [AB] et [AC].

\begin{enumerate}
\item Expliquer en quoi ceci permet de trouver le centre du pré. On pourra s'aider d'un dessin.
\end{enumerate}

Il souhaite cl\^oturer son pré de sorte à mettre 30 piquets régulièrement espacés sur le périmètre du cercle qui représente le pré. \`A l'aide du piquet A, il a mesuré le rayon et il a trouvé $R=30$ mètres. On note les 30 piquets : $A_1$, $A_2$, $A_3$, etc.  jusqu'à $A_{30}$, puis on note $O$ le centre du pré.

\begin{enumerate}[start=2]
\item Que doit valoir l'angle \angle{A_1OA_2} ?
\item Quelle est la distance qui sépare deux piquets sur le périmètre, c'est-à-dire la longueur de l'arc de cercle $\wideparen{A_1A_2}$ ? On arrondira le résultat au centimètre.\label{distpiq}
\item Amédée choisit un piquet au hasard. 
\begin{enumerate}
\item Expliquer la raison pour laquelle il existe toujours un piquet qui est diamétralement opposé à celui choisi.
\item On note P le piquet choisi, S le piquet suivant et D le piquet diamétralement opposé à P.

Que vaut \angle{SDP} ?

\item Calculer la mesure de \angle{OPS}.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur du segment [PS].
\end{enumerate}

\medskip

On note $d$ la différence entre la longueur du segment [PS] et celle de l'arc $\wideparen{PS}$ (trouvée à la question \ref{distpiq}), exprimée en pourcentage par rapport à la longueur de l'arc $\wideparen{PS}$.

\begin{enumerate}[start=2]
\item Calculer $d$ au centième près.

Expliquer alors pourquoi on peut dire que le périmètre du polyg\^one dont les sommets sont les piquets est à peu près égal à celui du près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{La tortue verte}

\og La tortue verte est la plus rapide des tortues marines : elle peut aller jusqu'à 35 km/h. Elle pèse entre 80 kg et 130 kg. Sa carapace ovale a une largeur d'environ \pourcent{88} sa longueur. Quant à sa t\^ete, elle représente \pourcent{20} de la longueur de sa carapace. \fg

\begin{flushright}
(\emph{Source : Wikipédia)}
\end{flushright}


On a représenté ci-dessous une tortue de façon schématique.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw (0,0) circle[x radius=2cm,y radius=1.76cm];
\draw (2.4,0) circle (4mm);
\draw[dotted] (-2,0) -- (-2,-2);
\draw[dotted] (2,0) -- (2,-2);
\draw[dotted] (2.8,0) -- (2.8,-2);
\draw[<->] (-2,-2) -- (2,-2) node[midway,below] {$L$};
\draw[<->] (2,-2) -- (2.8,-2) node[midway,below] {$t$};
\draw[<->] (0,-1.76) -- (0,1.76) node[midway,right] {$\ell$};
\end{tikzpicture}
\end{center}


Nous avons observé une telle tortue ; elle a laissé une trace de 110 cm de largeur. Nous l'avons chronométré pour voir qu'elle avait mis 10 minutes pour parcourir 6 km.


\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur de cette tortue ainsi que celle de sa t\^ete.
\item Cette tortue a-t-elle une vitesse similaire à celle donnée dans l'article de Wikipédia ?

Quelle est le pourcentage de différence entre sa vitesse et 35 km/h ? 

\item L'aire d'un ovale est donnée par la formule : 
\[
\mathscr{A}_{\text{ovale}}=\pi\times\frac{\ell}{2}\times\frac{L}{2}\;,
\]
en utilisant les lettres du schéma donné précédemment.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'aire de la tortue observée (vue de haut) est à peu près égale à\linebreak $\mathscr{A}_{\text{tortue}}=1,129~\text{m}^2$.

\item Pourquoi peut-on alors affirmer qu'en moyenne, une tortue pèse entre 71 kg/m$^2$ et 115 kg/m$^2$ ?

\item Une tortue a une aire égale à 1,625 m$^2$. 

Donner un encadrement à l'unité de son poids.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 

\correction %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Des vélos et des voitures}

Notons $x$ le nombre de voitures que possède monsieur Icks.

Comme il a 16 véhicules, le nombre de vélos peut s'exprimer par : $16-x$.

\medskip

Il y a 4 roues pour une voiture, donc le nombre total de roues de voitures est : $4x$ ;

Il y a 2 roues sur un vélo donc le nombre total de roues de vélos est : $2(16-x)=32-2x$.

\medskip

Il y a en tout 58 roues donc :
\[
4x+32-2x=58
\]
Donc :
\begin{align*}
2x&=58-32\\
2x & = 26\\
x & = \dfrac{26}{2}\\
& = 13
\end{align*}

\underline{Monsieur Icks possède donc 13 voitures.}

\section{La société Electrix (inspiré du PISA 2012)}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item \textbf{Faux.} Sont produits en tout $\numprint{2000}+\numprint{6000}=\numprint{8000}$ lecteurs par jour.

Ainsi, la proportion de lecteurs vidéos est : $\dfrac{\numprint{2000}}{\numprint{8000}}=\dfrac{1}{4}$, et non $\dfrac{1}{3}$.

\item \textbf{Faux.} Il y a \pourcent{5} de lecteurs vidéo défectueux sur les \numprint{2000}, soit :
\[ 
\numprint{2000}\times\dfrac{5}{100}=100.
\]
Il y a donc 100 lecteurs vidéo défectueux sur les \numprint{2000}. Si l'on se ramène à 100 lecteurs vidéo :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
100 & $x$\\
\hline
\numprint{2000} & 100\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On cherche la 4\ieme{} proportionnelle :
\[
x=\dfrac{100\times100}{\numprint{2000}}=\dfrac{\numprint{10000}}{\numprint{2000}}=10.
\]

Il y a donc 10 lecteurs vidéo défectueux sur 100.

\item \textbf{Vrai.} Nous avons vu à la question précédente que sur \numprint{2000} lecteurs vidéo, 100 étaient défectueux.

Sur les \numprint{6000} lecteurs audio, il y en a :
\[ 
\numprint{6000}\times\dfrac{3}{100}=180.\]
Il y a donc en tout $180+100=280$ appareils défectueux sur les \numprint{8000}. La proportion est donc :
\[ 
\dfrac{280}{\numprint{8000}}\approx0,035.\]
Cette proportion correspond à la probabilité pour qu'un appareil choisi au hasard soit défectueux.
\end{enumerate}

\item Le testeur a tort. En effet, nous avons vu que 180 lecteurs audio étaient défectueux, contre 100 lecteurs vidéo.
\end{enumerate}

\section{Débit d'une perfusion (PISA 2012)}

\begin{enumerate}
\item Si on double la valeur de $n$, $D$ sera réduit de moitié.
\item De la formule du début, on déduit :
\[ v=\dfrac{60n\times D}{d}=\dfrac{60\times50\times3}{25}=360.\]
Le volume est donc 360 ml.
\end{enumerate}

\section{La grande roue (inspiré de PISA 2012)}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item La roue met 40 minutes pour faire un tour complet donc pour faire un quart de tour, elle met 10 minutes.

Donc, en 30 minutes, elle fait 3 quarts de tours. 

Hugo se trouvera donc au point S.

\item L'angle \angle{ROM} mesure $30\degres$, soit le tiers d'un quart de tour. Donc Hugo met le tiers de 10 minutes pour passer du point R au point M, soit 3,33 minutes, ou encore 3 minutes et $\frac{1}{3}\times60$ secondes, donc 3 minutes 20 secondes.

Donc en tout, pour passer du point P au point M, il met à peu près 23 minutes 20 secondes.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item $[\text{PR}]$ est un diamètre du cercle et Q est sur ce m\^eme cercle.

Or, \emph{tout triangle inscrit dans un cercle dont un c\^oté est un diamètre de ce cercle est rectangle.}

Donc PRQ est rectangle en Q.

De plus, RQ = PQ. Donc PRQ est rectangle isocèle.

\item Les angles \angle{PMQ} et \angle{PRQ} interceptent le m\^eme arc $\widearc{PQ}$ et sont inscrits dans le m\^eme cercle ; ils sont donc la m\^eme mesure.

Or, PRQ est un triangle isocèle rectangle en Q donc $\angle{PRQ}=45\degres$.

Ainsi, $\angle{PMQ}=45\degres$.
\end{enumerate}

\item Posons $x=\text{QR}$.

Le triangle PQR est rectangle en Q donc d'après le théorème de Pythagore,
\[ \text{PR}^2=x^2+x^2\]
donc :
\[ 140^2=2x^2\]
soit :
\[ x^2=\dfrac{140^2}{2}.\]
Donc $x=\sqrt{\dfrac{140^2}{2}}=\dfrac{\sqrt{140^2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{140}{\sqrt{2}}=\dfrac{140\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=70\sqrt{2}$.

Le périmètre de PQRS est donc :
\[ 
4x=4\times70\sqrt{2}=280\sqrt{2}\approx396~\text{m}.\]
\end{enumerate}

\section{L'héritage}

\begin{enumerate}
\item On calculer \pgcd*{\numprint{87500}}{\numprint{62500}} à l'aide de l'algorithme d'Euclide :

\medskip

\begin{tabular}{Sr@{~=~}Sl}
\numprint{87500} & $\numprint{62500}+\numprint{25000}$\\
\numprint{62500} & $2\times\numprint{25000}+\numprint{12500}$\\
\numprint{25000} & $2\times\numprint{12500}+0$
\end{tabular}

\medskip

Ainsi, $\pgcd*{\numprint{87500}}{\numprint{62500}}=\numprint{12500}$.

Madame Ygraic donnera donc à chacun de ses enfants \numprint{12500}~\euro.

\item $\dfrac{\numprint{87500}}{\numprint{12500}}=7$ et $\dfrac{\numprint{62500}}{\numprint{12500}}=5$ donc madame Ygraic a 7 garçons et 5 filles.
\end{enumerate}

\section{L'étagère}

\begin{enumerate}
\item Dans le triangle SAB, (DC) et (AB) sont parallèles (car perpendiculaires à (AD) toutes les deux). De plus, S, D, A d'une part, S, C, B d'autre part sont alignés dans cet ordre.

Donc d'après le théorème de Thalès, on a :
\[ 
\frac{\text{SD}}{\text{SA}}=\frac{\text{DC}}{\text{AB}}
\]
soit :
\[
\frac{x}{x+100}=\frac{50}{120}=\frac{5}{12}.
\]

Ainsi, 
\[ 12x=5(100+x)\]
soit :
\[ 12x=500+5x\]
ou encore :
\[ 7x=500.\]
Donc, $x=\dfrac{500}{7}$.

\item Dans le m\^eme triangle, toujours d'après le théorème de Thalès,
\[ 
\frac{\text{SE}}{\text{SA}}=\frac{\text{EF}}{\text{AB}}
\]
donc :
\[ 
\frac{x+50}{x+100}=\frac{\text{EF}}{120}
\]
ou encore :
\begin{align*}
\text{EF} & =\dfrac{120(x+5)}{x+100}\\
& = \dfrac{120\left(\frac{500}{7}+5\right)}{\frac{500}{7}+100}\\
& = \dfrac{120\times\frac{850}{7}}{\frac{\numprint{1200}}{7}}\\
& = 120\times\dfrac{850}{\cancel{7}}\times\dfrac{\cancel{7}}{\numprint{1200}}\\
& = \dfrac{120\times850}{\numprint{1200}}= 85.
\end{align*}

L'étagère mesure donc 85 mètres.
\end{enumerate}

\section{L'\oe uvre d'art}

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
\item On sait que si $k$ est le facteur de réduction de $\mathscr{S}$ à $\mathscr{S}'$, alors le volume de $\mathscr{S}'$ est égal à $k^3$ fois celui de $\mathscr{S}$.

Ici, $k^3=\dfrac{8}{125}=\dfrac{2^3}{5^3}$. Donc $k=\dfrac{2}{5}$.

\medskip

Le rayon de $\mathscr{S}'$ représente donc les deux cinquièmes de celui de $\mathscr{S}$.

\item Le volume, en cm$^3$, de $\mathscr{S}$ est donné par la formule :
\begin{align*}
\mathscr{V} & = \dfrac{4}{3}\times\pi\times r^3\\
& = \dfrac{4}{3}\times\pi\times20^3\\
& = \dfrac{4}{3}\pi\times\numprint{8000}\\
& = \dfrac{\numprint{32000}}{3}\pi
\end{align*}

Le volume $\mathscr{V}'$ de $\mathscr{S}'$ est, d'après la question 1 :
\begin{align*}
\mathscr{V}' & = \dfrac{8}{125}\mathscr{V}\\
& = \dfrac{8}{125}\times\dfrac{\numprint{32000}}{3}\pi\\
& = \dfrac{\numprint{256000}}{375}\pi
\end{align*}

Ainsi, le volume entre les deux sphères est :
\begin{align*}
\mathscr{V}-\mathscr{V}' & = \dfrac{\numprint{32000}}{3}\pi-\dfrac{\numprint{256000}}{375}\pi\\
& = \left(\dfrac{\numprint{32000}}{3}-\dfrac{\numprint{256000}}{375}\right)\pi\\
& = \left(\dfrac{\numprint{32000}\times125}{3\times125}-\dfrac{\numprint{256000}}{375}\right)\pi\\
& = \left(\dfrac{\numprint{12000000}}{375}-\dfrac{\numprint{256000}}{375}\right)\pi\\
& = \dfrac{\numprint{9440000}}{375}\pi\\
& \approx\numprint{91251}
\end{align*}

Le volume d'eau est donc \numprint{91251} cm$^3$, soit 91,251 L.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
\item $f$ est définie pour $0\leqslant h\leqslant 40$. En effet, $h$ est un nombre positif et sa valeur maximale est le double du rayon de la grande sphère, soit $2\times20=40$.

\item Pour $0\leqslant h\leqslant 12$, l'eau n'a pas atteinte la petite sphère car cette dernière a un rayon de 8~cm, et $20-8=12$.

Donc, le volume d'eau est donné directement par la formule de l'exercice en prenant $r=20$ (rayon de la grande sphère) et en divisant par \numprint{1000} pour convertir en litres :
\[
f(h)=\dfrac{\pi}{3}h^2(3\times20-h)\times\dfrac{1}{\numprint{1000}}=\dfrac{\pi}{\numprint{3000}}h^2(60-h).
\]

\item Pour $12\leqslant h\leqslant20$, il faut enlever au volume de la calotte celui correspondant à la calotte de la petite sphère. 

\medskip

La hauteur de la calotte dans $\mathscr{S}'$ est $h-12$ donc on remplace dans la formule $h$ par $h-12$ et $r$ par 8 (qui est le rayon de $\mathscr{S}'$). Donc, 
\begin{align*}
f(h) & =\underbrace{\dfrac{\pi}{\numprint{3000}}h^2(60-h)}_{\text{Volume normal sans }\mathscr{S}'}-\underbrace{\dfrac{\pi}{\numprint{3000}}(h-12)^2[3\times8-(h-12)]}_{\text{Volume de la calotte sphérique dans }\mathscr{S}'}\\
& = \dfrac{\pi}{\numprint{3000}}h^2(60-h)-\dfrac{\pi}{\numprint{3000}}(h-12)^2(24-h+12)\\
& = \dfrac{\pi}{\numprint{3000}}h^2(60-h)-\dfrac{\pi}{\numprint{3000}}(h-12)^2(36-h)\\
& = \dfrac{\pi}{\numprint{3000}}\left[h^2(60-h)-(h-12)^2(36-h)\right]\\
& = \dfrac{\pi}{\numprint{3000}}\left[60h^2-h^3-(h^2-24h+12^2)(36-h)\right]\\
& = \dfrac{\pi}{\numprint{3000}}\left[60h^2-h^3-(h^2-24h+144)(36-h)\right]\\
& = \dfrac{\pi}{\numprint{3000}}\left[60h^2-h^3-(36h^2-h^3-864h+24h^2+\numprint{5184}-144h)\right]\\
& = \dfrac{\pi}{\numprint{3000}}\left(60h^2-h^3-36h^2+h^3+864h-24h^2-\numprint{5184}+144h\right)\\
& = \dfrac{\pi}{\numprint{3000}}(\numprint{1008}h-\numprint{5184})\\
& = \pi\left(\dfrac{\numprint{1008}}{3000}h
-\dfrac{\numprint{5184}}{3000}\right)\\
\Aboxed{f(h) & = (0,336h-1,728)\pi}
\end{align*}

\item 
\begin{enumerate}
\item On lit $f(6)\approx 0,2$ donc le volume d'eau est égal à 0,2 L pour une hauteur de 6 cm.

\item Si $y=1,3$, on lit $h\approx17,5$ donc le volume d'eau est égal à 1,3 L pour une hauteur de 17,5 cm.
\end{enumerate}

\item Pour une hauteur de 34 cm, il faut enlever au volume total d'eau (3,244 L) celui de la calotte sphérique correspondant à une hauteur de 6 cm, soit (d'après la question \ref{q4a}) 0,2 L.

Cela fait donc à peut près 3 L.
\end{enumerate}

\section{Les aménagements}

Posons :
\begin{itemize}
\item $x$ le prix d'une chaise ;
\item $y$ le prix d'une table.
\end{itemize}

D'après l'énoncé, on a :
\[
\systeme{4x+y=640@L_1,14x+3y=2040@L_2}
\]
Résolvons ce système à l'aide de la méthode par addition :

\begin{align*}
\systeme{4x+y=840@L_1,14x+3y=2040@L_2} & \Longleftrightarrow \systeme{12x+3y=1920@L_1\leftarrow 3L_1,14x+3y=2040@L_2}\\
& \Longleftrightarrow \systeme{12x+3y=1920@L_1,2x=120@L_2\leftarrow L_2-L_1}\\
& \Longleftrightarrow \systeme{12x+3y=1920,x=60}\\
& \Longleftrightarrow \begin{cases}3y & = 1920-12\times60\\x & = 60\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow\begin{cases}3y&=1200\\x & = 60\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow\begin{cases}y & = 400\\x & = 60\end{cases}
\end{align*}

Ainsi, une chaise co\^ute 60 \euro et une table co\^ute 400 \euro.

\section{De la musique}

\begin{enumerate}
\item On calcule :
\[ 100-(12,5+40+30) = 100-82,5=17,5.\]
\underline{Il y a donc \pourcent{17,5} de titres de style \og divers \fg. }

\item On calcule :
\[ 5+150+60+25=240.\]
\underline{Donc Vincent possède 240 titres.}

\item On calcule :
\[ 24\cancel{0}\times\dfrac{4\cancel{0}}{1\cancel{0}\cancel{0}}=24\times4=96.\]
\underline{Vincent possède donc 96 titres de rap.}

\item On lit sur le graphique de droite : \underline{Vincent possède 60 titres qui durent entre 4 et 5 minutes.}

\item On calcule la moyenne à partir du diagramme de droite :
\[
\frac{2,5\times5+3,5\times150+4,5\times60+5,5\times25}{240}=\frac{945}{240}=3,9375.
\]

On a de plus : $60\times0,9375=56,25$.

\medskip

\underline{Donc la durée moyenne est 3 minutes 56 secondes.}

\item On calcule :
\[ 408\times\frac{30}{100}=122,4.\]
\underline{Ainsi, la musique électro occupe 122,4 Mo.}

\item 
\begin{enumerate}
\item Il y a \pourcent{40} de titres de rap donc la probabilité de choisir un morceau de rap est $\dfrac{40}{100}$, soit $\dfrac{2}{5}$.

\item Il y a 85 morceaux qui durent plus de 4 minutes sur les 240 au total. 

La probabilité qu'il choisisse un morceau qui dure plus de 4 minutes est donc \linebreak$\dfrac{85}{240}=\dfrac{17}{48}$.
\end{enumerate}

\item La probabilité que les deux titres soient du rap est : $0,4\times0,4=0,16$.

La probabilité que les deux titres soient du rock est : $0,125\times0,125=\numprint{0,015625}$.

La probabilité que les deux titres soient de l'électro est : $0,3\times0,3=\numprint{0,09}$.

La probabilité que les deux titres soient du style \og divers \fg{}  est : $0,175\times0,175=\numprint{0,030625}$.

\medskip

On calcule alors :
\[ 0,16+\numprint{0,015625}+0,09+\numprint{0,030625}=\numprint{0,29625}.\]

La probabilité pour que les deux titres soient du m\^eme style est alors, arrondie au dixième, égale à 0,3.
\end{enumerate}

\section{Baptiste le cycliste}

\begin{enumerate}
\item Le périmètre d'une roue de son vélo est : $P=2\pi r$, où $r$ représente le rayon (en centimètres) d'une roue.

Dans 1 km, il y a 497 fois $P$ d'après l'énoncé.

1 km = \numprint{100000} m ; de plus, 
\[ \numprint{100000}\div497\approx\numprint{201,207243461}.\]

Donc, $P=\numprint{201,207243461}$.

Alors, $2\pi r=\numprint{201,207243461}$, soit $r=\dfrac{\numprint{201,207243461}}{2\pi}\approx32,02$.

\medskip

\underline{Ainsi, une roue de vélo a un rayon de 32 cm.}

\item La vitesse moyenne est donnée par la formule $v=\dfrac{d}{t}$ où $d$ est la distance en km et $t$ le temps en heures.

1 heure, c'est 60 minutes ; 3 minutes par rapport à 60 minutes, c'est : $\dfrac{3}{60}=\dfrac{1}{20}$. Donc,
\[ v=\dfrac{1}{\frac{1}{20}}=20.\]

\underline{La vitesse moyenne de Baptiste sur ce parcourt a été 20 km/h.}

\item
\begin{enumerate}
\item Si $f$ était linéaire, il y aurait proportionnalité entre le nombre de kilomètres parcourus et le temps nécessaire pour les faire. Donc, si Baptiste met 3 minutes pour faire 1 km, il devrait faire 2 km en 6 minutes, ce qui n'est pas le cas.

Si $f$ était affine, la différence entre deux temps consécutifs devrait \^etre identique. Or, $6,2-3=3,2$ et $9,6-6,2=3,4$ donc $f$ n'est pas linéaire.

\item $f(0)=0$ d'après le tableau. Or, $f(0)=a\times0^2+b\times0+c=c$. Donc $c=0$.

\item $f(1)=3$ d'après le tableau. Or, $f(1)=a\times1^2+b\times1+c=a+b+0$. Donc, $a+b=3$.

\item $f(5)=17$ d'après le tableau. Or, $f(5)=a\times5^2+b\times5+0=25a+5b$. Donc, $25a+5b=17$.

\item Il faut résoudre le système \systeme{a+b=3,25a+5b=17}. On peut, pour cela, utiliser la méthode par addition :

\begin{align*}
\systeme{a+b=3,25a+5b=17} & \Longleftrightarrow \systeme{25a+25b=75,25a+5b=17}\\
& \Longleftrightarrow \systeme{25a+25b=75,20b=58@L_1-L_2}\\
& \Longleftrightarrow \systeme{a+b=3,b=\frac{58}{20}}\\
& \Longleftrightarrow \systeme[][:]{a+b=3:b=2,9}\\
& \Longleftrightarrow \begin{cases}a+2,9&=3\\b&=2,9\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow \begin{cases}a&=0,1\\b&=2,9\end{cases}
\end{align*}

\underline{Donc $f(x)=0,1x^2+2,9x$.}
\end{enumerate}

\item $f(11)=0,1\times11^2+2,9\times11=12,1+31,9=44$.

\underline{Il faut donc à Baptiste 44 minutes pour parcourir 11 kilomètres.}

\item Baptiste doit entrer dans la cellule B2 la formule :
\begin{center}
\texttt{=0,1*A2*A2+2,9*A2}
\end{center}
\end{enumerate}

\section{Le calcul astucieux}

\begin{enumerate}
\item Le calcul d'\'Evariste est :

\[ 3^2+3+\frac{3}{2}+0,\numprint{3125}=9+3+1,5+\numprint{3125}=\numprint{13,8125}.\]

\underline{On peut alors dire que $3,5\times4,5=\numprint{13,8125}$ d'après \'Evariste.}

\item Si on s'inspire du calcul précédent, on pourrait faire :
\[ 6,25\times7,25=6^2+6+\dfrac{6}{2}+0,\numprint{0,3125}=36+6+3+\numprint{0,3125}=\numprint{45,3125}.\]

\item $\begin{aligned}[t]
(n+0,25)(n+1+0,25) & = (n+0,25)(n+1,25)\\
& = n^2+1,25n+0,25n+0,25\times1,25\\
& = n^2+1,5n+\numprint{0,3125}\\
& = n^2+n+0,5n+\numprint{0,3125}\\
& = n^2+n+\frac{n}{2}+\numprint{0,3125}
\end{aligned}$
\end{enumerate}

\section{Le pré d'Amédée}

\begin{enumerate}
\item Représentons le près et les tracés par une figure :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzInit[xmin=-3.2,xmax=3.5,ymin=-3.2,ymax=3.5]
\tkzClip
\tkzDefPoint[label=above:A](120:3){A}
\tkzDefPoint[label=above:B](80:3){B}
\tkzDefPoint[label=right:C](0:3){C}
\draw (0,0) circle (3cm);
\tkzDrawSegments(A,B A,C)
\tkzDefLine[mediator](A,B)\tkzGetPoints{I}{J}
\tkzDrawLine[add=1 and 1](I,J)
\tkzDefLine[mediator](A,C)\tkzGetPoints{Q}{R}
\tkzDrawLine(Q,R)
\tkzInterLL(I,J)(Q,R)\tkzGetPoint{O}
\tkzDrawPoints(A,B,C,O)
\tkzLabelPoint[right](O){O}
\tkzDrawSegments[color=red,very thick](O,A O,B)
\tkzDrawSegments[color=purple](O,C O,B)
\tkzMarkSegment[color=red,pos=0.5,mark=s|](O,B)
\tkzMarkSegment[color=red,pos=0.5,mark=s|](O,A)
\tkzMarkSegment[color=purple,pos=0.7,mark=s||](O,B)
\tkzMarkSegment[color=purple,pos=0.7,mark=s||](O,C)
\end{tikzpicture}
\end{center}

Notons O le point d'intersection des médiatrices de [AB] et [BC].

O appartient à la médiatrice de [AB] donc OA = OB ;

O appartient à la médiatrice de [BC] donc OC = OB ;

Ainsi, OA = OB = OC ; O est donc le centre du cercle de rayon OA (ou OB, ou OC).

\item Il faut 30 piquets donc on divise l'angle plein (360$\degres$) par 30 pour obtenir l'angle au centre :
\[ \angle{A_1OA_2}=\dfrac{360\degres}{30}=12\degres.\]

\underline{Donc $\angle{A_1OA_2}=12\degres$}.

\item Pour savoir la distance entre deux piquets consécutifs (qui se suivent), on divise le périmètre du cercle par 30 :
\[ 
\frac{2\pi\times30}{30}\approx6,28.
\]

\underline{Chaque piquet est donc distant de 6,28 mètres.}

\item
\begin{enumerate}
\item $180\div12=15$ donc, quel que soit le piquet choisi, le 14\ieme{} piquet sera à 180\degres, donc diamétralement opposé.

\item Faisons un schéma :

\medskip

\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzInit[xmin=-3.2,xmax=3.5,ymin=-3.2,ymax=3.5]
\tkzClip
\tkzDefPoint[label=above:P](120:3){P}
\tkzDefPoint[label=above right:S](108:3){S}
\tkzDefPoint[label=below:D](300:3){D}
\tkzDefPoint[label=below:O](0,0){O}
\draw (0,0) circle (3cm);
\tkzDrawSegments(O,P O,S D,P S,D)
\tkzDrawPoints(O,D,S,P)
\tkzMarkAngle[fill=purple!30,draw,purple](S,O,P)
\tkzMarkAngle[fill=violet!30,draw,violet,size=2cm](S,D,P)
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-7cm}
L'angle au centre \angle{POS} intercepte le m\^eme arc que l'angle inscrit \angle{PDS} donc $\angle{PDS}=\dfrac{1}{2}\angle{POS}$, donc \underline{$\angle{PDS}=6\degres$}.
\end{minipage}

\item POS est isocèle en O car [OP] et [OS] représentent deux rayons du cercle, donc son de m\^eme longueur.

Or, dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la m\^eme mesure, et dans un triangle, la somme de la mesure des angles est égale à 180\degres donc :
\[
\angle{POS}+2\angle{OPS}=180\;,
\]
c'est-à-dire :
\begin{align*}
12+2\angle{OPS}&=180\\
2\angle{OPS} & =180-12\\
2\angle{OPS}& =168\\
\angle{OPS}& =\dfrac{168}{2}\\
\angle{OPS} & = 84
\end{align*}

\underline{Ainsi, $\angle{OPS}=84\degres$.}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Le triangle PSD est inscrit dans le cercle de diamètre [PD] donc il est rectangle en S.

Donc, 

\begin{align*}
\sin\angle{PDS} & =\dfrac{\text{PS}}{\text{PD}}\\
\sin6\degres & = \dfrac{\text{PS}}{60}\\
\text{PS} & = 60\sin6\degres\\
\Aboxed{\text{PS} & \approx 6,27}
\end{align*}

\item La différence entre PS et la longueur de $\wideparen{PS}$ est :
\[ 6,28-6,27=0,01.\]
Donc,
\[ d = \dfrac{0,01}{6,28}\times100\approx\pourcent{0,16}.\]

La différence est donc \pourcent{0,16}, ce qui est très peu, ce qui justifie que l'on peut écrire :
\[ \rm{A_1A_2}\approx\wideparen{A_1A_2}\;,\]
et donc :
\[ 30\rm{A_1A_2}\approx30\wideparen{A_1A_2}.\]
Or, $30\wideparen{A_1A_2}$ représente le périmètre du cercle et $30\rm{A_1A_2}$ celui du polyg\^one régulier inscrit dans le cercle donc, si on note $\mathscr{P}_{\text{polyg\^one}}$ le périmètre du polyg\^one et $\mathscr{P}_{\text{cercle}}$ celui du cercle,
\[ \mathscr{P}_{\text{polyg\^one}}\approx\mathscr{P}_{\text{cercle}}.\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{La tortue verte}

\begin{enumerate}
\item On sait d'après l'énoncé que $\ell=0,88L$, donc $L=\dfrac{\ell}{0,88}=\dfrac{110}{0,88}=125$.

\underline{Ainsi, la longueur de cette tortue est 125 cm.}

\medskip

On sait d'après l'énoncé que $t=0,2L$, donc $t=0,2\times125=25$.

\underline{Donc sa t\^ete mesure 25 cm.}

\item La vitesse moyenne de cette tortue est :
\begin{align*}
v & = \dfrac{d}{t}\\
& = \dfrac{6}{\frac{1}{6}}\\
& = 6\times6\\
& = 36
\end{align*}

Ainsi, sa vitesse est égale à 36 km/h, ce qui est similaire à celle donnée dans l'article (à savoir 35 km/h).

\medskip

La différence est, en pourcentage :
\[ \dfrac{36-35}{35}\times100=\dfrac{1}{35}\times100\approx\pourcent{4}.\]

\item
\begin{enumerate}
\item L'aire de la carapace est, d'après la formule de l'énoncé :
\[
\mathscr{A}_{\text{carapace}}=\pi\times\dfrac{1,25}{2}\times\dfrac{1,10}{2}\approx\numprint{1,079921563}~\text{m}^2.
\]
L'aire de la t\^ete est celle d'un disque :
\[
\mathscr{A}_{t\^ete}=\pi r^2=\pi\times\left(\dfrac{t}{2}\right)^2=\pi\times\left(\dfrac{0,25}{2}\right)^2\approx\numprint{0,049087344}~\text{m}^2.
\]
Ainsi, l'aire de la tortue est :
\[
\mathscr{A}_{\text{tortue}}=\mathscr{A}_{\text{carapace}}+\mathscr{A}_{\text{t\^ete}}\approx\numprint{1,079921563}+\numprint{0,049087344}\approx\numprint{1,129008907}\text{m}^2.
\]

\underline{Donc l'aire de la tortue (vu du haut) est bien environ égale à 1,129 m$^2$.}

\item L'énoncé dit qu'une tortue pèse en moyenne entre 80 kg et 130 kg.

\[ \dfrac{80}{1,129}\approx70,86\qquad\text{et}\qquad\dfrac{130}{1,129}\approx115,15.\]

On peut donc dire, en en prenant les valeurs approchées à l'unité, qu'une tortue pèse entre 71 kg/m$^2$ et 115 kg/m$^2$.

\item On calcule :
\[ 71\times1,625=115,375\qquad ;\qquad 115\times1,625=186,875.\]

\underline{Le poids de la tortue est donc compris entre 115 kg et 187 kg.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}