\documentclass[10pt]{book}
\usepackage{pas-exos}
\begin{document}

\chapter*{Thalès}

\section*{Théorème de Thalès}

\emph{Nous allons voir ici un modèle pour rédiger une réponse où intervient le théorème de Thalès.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\rowcolor{gray!10}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-6cm}
Sur la figure ci-contre, on sait que (MN) et (AB) sont parallèles.\\
De plus, $\text{AB}=5$, $\text{AM}=2$, $\text{AC}=6$ et $\text{MN}=2,5$.

\medskip

Calculer AN et BC.
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3,2);
\coordinate (C) at (4,-1);
\coordinate (M) at ($0.6*(A)-0.4*(B)$);
\coordinate (N) at ($0.6*(A)-0.4*(C)$);
\draw (M) node[below] {M} -- (N) node[above] {N};
\draw (M) -- (B) node[above] {B};
\draw (N) -- (C) node[below] {C};
\draw (B) -- (C);
\node[below] at (A) {A};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{tabularx}

\bigskip

\emph{Voici comment nous pouvons rédiger la solution :}

\medskip

Je sais que :
\begin{itemize}
\item B, A et M sont alignés dans cet ordre ;
\item C, A et N sont alignés dans cet ordre ;
\item (MN) et (BC) sont parallèles.
\end{itemize}

\medskip

Ainsi, d'après le théorème de Thalès,
\[ 
\thales{AM}{AB}{AN}{AC}{MN}{BC},
\]
soit, en remplaçant par les valeurs que l'on connait :
\[
\thales{2}{5}{AN}{6}{2,5}{BC}.
\]

Je peux alors écrire :

\begin{itemize}
\item \thalesShort{2}{5}{AN}{6} donc $\text{AN}=\dfrac{2\times6}{5}=\dfrac{12}{5}$, soit \underline{$\text{AN}=2,4$}.
\item \thalesShort{2}{5}{2,5}{BC} dont $\text{BC}=\dfrac{5\times2,5}{2}=\dfrac{12,5}{2}$, soit \underline{$\text{BC}=6,25$}.
\end{itemize}

\newpage

\section*{Réciproque du théorème de Thalès}

\emph{Nous allons maintenant voir une rédaction possible pour la solution d'un exercice où l'on doit faire appel à la réciproque du théorème de Thalès.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\rowcolor{gray!10}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-6cm}
Sur la figure ci-contre, on sait que $\text{AB}=8$, $\text{AM}=2$, $\text{AC}=10$ et $\text{AN}=2,5$.

\medskip

Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3,2);
\coordinate (C) at (4,-1);
\coordinate (M) at ($0.6*(A)+0.4*(B)$);
\coordinate (N) at ($0.6*(A)+0.4*(C)$);
\draw (M) node[above] {M} -- (N) node[below] {N};
\draw (A) -- (B) node[above] {B};
\draw (A) -- (C) node[below] {C};
\draw (B) -- (C);
\node[below] at (A) {A};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{tabularx}

\bigskip

\emph{Voici une façon de répondre à la question :}

\medskip

Je sais que :
\begin{itemize}
\item A, M et B sont alignés dans cet ordre ;
\item A, N et C sont alignés dans cet ordre ;
\end{itemize}

De plus,

\begin{minipage}{\dimexpr0.5\linewidth-5mm}
\begin{itemize}
\item $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$ ;
\item $\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}=\dfrac{2,5}{10}=\dfrac{2,5\times2}{10\times2}=\dfrac{5}{20}=\dfrac{5\div5}{20\div5}=\dfrac{1}{4}$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{1cm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (0,3);
\node[circle,draw,fill=white] at (0,1.5) {ou};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr0.5\linewidth-5mm}
\begin{itemize}
\item $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{2}{8}$  et $\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}=\dfrac{2,5}{10}$.
\item $2\times10=20$ et $8\times2,5=20$.
\end{itemize}

Les produits en croix sont égaux donc les deux fractions sont égales.
\end{minipage}

Ainsi, $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}$.

\medskip

\underline{D'après la réciproque du théorème de Thalès, on peut conclure que (MN) et (BC) sont parallèles.}

\newpage

\section*{Contraposée du théorème de Thalès}

\emph{La contraposée du théorème de Thalès sert à démontrer que deux droites ne sont pas parallèles.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\rowcolor{gray!10}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-6cm}
Sur la figure ci-contre, on sait que $\text{AB}=7$, $\text{AM}=2$, $\text{AC}=10$ et $\text{AN}=2,5$.

\medskip

Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3,2);
\coordinate (C) at (4,-1);
\coordinate (M) at ($0.6*(A)+0.4*(B)$);
\coordinate (N) at ($0.6*(A)+0.4*(C)$);
\draw (M) node[above] {M} -- (N) node[below] {N};
\draw (A) -- (B) node[above] {B};
\draw (A) -- (C) node[below] {C};
\draw (B) -- (C);
\node[below] at (A) {A};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{tabularx}

\bigskip

\emph{Voici une façon de répondre à la question :}

\medskip

Je sais que :
\begin{itemize}
\item A, M et B sont alignés dans cet ordre ;
\item A, N et C sont alignés dans cet ordre ;
\end{itemize}

De plus,

\begin{minipage}{\dimexpr0.5\linewidth-5mm}
\begin{itemize}
\item $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{2}{7}=\dfrac{1}{4}$ ;
\item $\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}=\dfrac{2,5}{10}=\dfrac{2,5\times2}{10\times2}=\dfrac{5}{20}=\dfrac{5\div5}{20\div5}=\dfrac{1}{4}$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{1cm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (0,3);
\node[circle,draw,fill=white] at (0,1.5) {ou};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr0.5\linewidth-5mm}
\begin{itemize}
\item $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{2}{7}$  et $\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}=\dfrac{2,5}{10}$.
\item $2\times10=20$ et $7\times2,5=17,5$.
\end{itemize}

Les produits en croix ne sont pas égaux donc les deux fractions ne sont pas égales.
\end{minipage}

Ainsi, $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}\neq\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}$.

\medskip

\underline{D'après la contraposée du théorème de Thalès, on peut conclure que (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.}
\end{document}