\documentclass[10pt]{book}
\usepackage{pas-exos}
\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing,shadows}
\begin{document}

\chapter*{Thalès et équations}


%%%%%%%%%%%%%%%%% 1

\exercice 

\begin{minipage}{0.66\linewidth}
Soit $\mathscr{C}_1$ un cercle de centre O et de rayon 5 cm.\\
Soit $\mathscr{C}_2$ un cercle de centre O et de rayon inférieur à 5 cm.
$(d)$ et $(d')$ sont deux droites passant par O coupant $\mathscr{C}_1$ respectivement en A et B, et $\mathscr{C}_2$ respectivement en C et D de sorte que $\text{AB}=45~\text{mm}$ et $\text{CD}=20~\text{mm}$.

\begin{enumerate}
\item Construire une figure.
\item Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
\item Déterminer le rayon de $\mathscr{C}_2$ en millimètres. On donnera le résultat sous forme fractionnaire.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.34\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
\draw (0,0) circle (5cm);
\draw (0,0) circle (2cm);
\fill (0,0) circle (2pt) node[above] {O};
\node at (-4,4) {$\mathscr{C}_1$};
\node at (0,-2.75) {$\mathscr{C}_2$};
\coordinate (A) at (170:5);
\coordinate (AA) at (170:6);
\coordinate (B) at (220:5);
\coordinate (BB) at (220:6);
\coordinate (C) at (40:2);
\coordinate (CC) at (40:6);
\coordinate (D) at (-10:2);
\coordinate (DD) at (-10:6);
\draw (AA) -- (DD) node[above] {$(d')$};
\draw (BB) -- (CC) node[above] {$(d)$};
\node[above left] at (A) {A};
\node[below] at (B) {B};
\node[above] at (C) {C};
\node[below right] at (D) {D};
\draw[red] (A) -- (B);
\draw[red] (C) -- (D);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\exercice % 2

Soit un triangle EFG tel que EF = 12 cm, EG = 5 cm et FG = 13 cm.
\begin{enumerate}
\item Montrer que EFG est un triangle rectangle en E.
\item Soit B un point du segment [EF] tel que EB = 7 cm.\\
La droite passant par B et parallèle à (FG) coupe [EG] en M.\\
Calculer la valeur exacte de BM, puis donner l'arrondi au mm près.
\end{enumerate}

\exercice % 3

ABCD est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en O. Les points A, O, C ainsi que les points B, O, D sont alignés dans cet ordre.\\
On donne : OA = 1,7 cm, OB = 1,2 cm, OC = 5,1 cm et OD = 3,6 cm.
\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.
\item Le quadrilatère peut-il \^etre un parallélogramme ?
\end{enumerate}

\exercice % 4

On considère les points M, I et K alignés dans cet ordre ainsi que les points N, I et J alignés dans cet ordre.\\
On donne : IJ = 5, IK = $3x$, IM = $5x+3$ et IN = 10.\\
Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle les droites (JK) et (MN) sont parallèles.

\exercice % 5

\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.66]
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (5,0) node[below right] {B} -- (5,5) node[above right] {C} -- (0,5) node[above left] {D} -- (0,0);
\filldraw[pattern=dots] (2,0) node[below] {P} -- (5,1) node[right] {M} -- (0,5) -- (2,0);
\node[above] at (2.5,5) {5};
\node[right] at (5,0.5) {$x$};
\node[below] at (1,0) {2};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.67\linewidth}
ABCD est un carré de c\^oté 5 cm.\\
M est un point de [BC] tel que BM = $x$ cm. P est un point de [AB] tel que AP~=~2~cm.
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du triangle ADP.
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire des triangles PMB et MDC.
\item En déduire l'expression en fonction de $x$ de l'aire du triangle PMD.
\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire de PMD est-elle égale à 3,5 cm$^2$ ?
\item Pour quelles valeurs de $x$ l'aire de PMD est-elle inférieure à 5 cm$^2$ ?
\end{enumerate}
\end{minipage}

\newpage

\exercice % 6

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation : $x+15\geqslant\dfrac{2}{3}(x+27)$.
\item Un bureau de recherche emploie 27 informaticiens et 15 mathématiciens. On envisage d'embaucher le m\^eme nombre $x$ d'informaticiens et de mathématiciens.\\
Combien faut-il embaucher de spécialistes de chaque domaine pour que le nombre de mathématiciens soit au moins égal aux deux tiers du nombre d'informaticiens ?
\end{enumerate}

\medskip

\begin{tikzpicture}[decoration={random steps,segment length=1mm}]
\node[draw,fill=white,decorate,inner sep=5mm,drop shadow] {\begin{minipage}{0.98\linewidth}
\textbf{Correction.} 
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
& x+15\geqslant\dfrac{2}{3}(x+27)\\
&x+15\geqslant\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}\times27\\
& x+15\geqslant\dfrac{2}{3}x+18\\
& x-\dfrac{2}{3}x\geqslant18-15\\
& \dfrac{1}{3}x\geqslant3\\
& 3\times\dfrac{1}{3}x \geqslant 3\times3\\
& x \geqslant 9
\end{aligned}$

\medskip

\textbf{L'ensemble solution de l'inéquation est donc l'ensemble des valeurs de $x$ supérieures ou égales à 9.}

\columnbreak

\item Exprimons en fonction de $x$ le nombre d'informaticiens et de mathématiciens après embauche :
\begin{itemize}
\item Il y a actuellement 27 informaticiens ; si l'on en embauche $x$, il y en aura alors $27+x$ ;
\item Il y a actuellement 15 mathématiciens ; si l'on en embauche $x$, il y en aura alors $15+x$.
\end{itemize}
Ainsi, si le nombre de mathématiciens est au moins égal aux deux tiers du nombre d'informaticiens, on a :
\[ 15+x \geqslant \frac{2}{3}(27+x).\]
Nous avons résolu cette inéquation à la question 1.\\
\textbf{On peut donc conclure qu'il faut embaucher au moins 9 spécialistes de chaque domaine.}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{minipage}};
\end{tikzpicture}

\exercice % 7

Résoudre l'inéquation : $\dfrac{-3-5x}{14}-2>-4-\dfrac{-2x-7}{21}$, puis représenter les solutions sur un axe.

\medskip

\begin{tikzpicture}[decoration={random steps,segment length=1mm}]
\node[draw,fill=white,decorate,inner sep=5mm,drop shadow] {\begin{minipage}{0.98\linewidth}
\textbf{Correction.}

\begin{multicols}{2}
$
\begin{aligned}[t]
\dfrac{-3-5x}{14}-2 & >-4-\dfrac{-2x-7}{21}\\
\dfrac{-3-5x}{14}-\dfrac{28}{14} & > \dfrac{-84}{21}-\dfrac{-2x-7}{21}\\
\dfrac{-3-5x-28}{14}& >\dfrac{-84-(-2x-7)}{21}\\
\dfrac{-31-5x}{14} & > \dfrac{-84+2x+7}{21}\\
\dfrac{(-31-5x)\times3}{14\times3}& >\dfrac{(-77+2x)\times2}{21\times2}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
\dfrac{-93-15x}{42} & > \dfrac{-154+4x}{42}\\
-93-15x & > -154+4x\\
-15x-4x & >-154+93\\
-19x & > -61\\
x  & < \dfrac{-61}{-19}\\
x & < \dfrac{61}{19}
\end{aligned}
$
\end{multicols}

L'ensemble solution est l'ensemble représenté en rouge ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=stealth'] (0,0) -- (10,0);
\draw (5,0.2) -- (5,-0.2) node[below] {0};
\draw[very thick,red] (7.2,0.2)--(7,0.2)--(7,-0.2)--(7.2,-0.2);
\draw[very thick,red] (7,0) -- (0,0);
\node[red,below] at (7,-0.1) {$\dfrac{61}{19}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace*{-2em}
\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
\end{document}