\documentclass[10pt]{book}
\usepackage{pas-exos}
\begin{document}

\chapter*{Trigonométrie}

\exercice[Cours]

\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {O} -- (5,0) node[below right] {M} -- (0,2) node[above] {N} -- cycle;
\draw (0,0.2) -- (0.2,0.2) -- (0.2,0);
\end{tikzpicture}

\vspace*{3cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Compléter les formules suivantes :
\[ \sin\angle{ONM}=\dfrac{\ldots}{\ldots} \qquad ; \qquad \cos\angle{ONM}=\dfrac{\ldots}{\ldots} \qquad ; \qquad \tan\angle{ONM}=\dfrac{\ldots}{\ldots}\]

\item D'après les formules précédentes, compléter (en fonction de ON, OM et MN) les égalités suivantes :
\[ \left(\sin\angle{ONM}\right)^2=\dfrac{\ldots}{\ldots} \qquad ; \qquad \left(\cos\angle{ONM}\right)^2=\dfrac{\ldots}{\ldots}\]

\item En déduire une expression de $\left(\cos\angle{ONM}\right)^2+\left(\sin\angle{ONM}\right)^2$.

\item \'Ecrire l'égalité déduite du Pythagore appliqué dans MON. \\
En déduire que $\left(\cos\angle{ONM}\right)^2+\left(\sin\angle{ONM}\right)^2=1$.
\end{enumerate}
\end{minipage}

\exercice %%%%%%%%%%% 2

\`A l'aide de la calculatrice, donner l'arrondi au millième de :

\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\sin\left(36^\circ\right)$
\item $\sin\left(95^\circ\right)$
\item $\cos\left(74^\circ\right)$
\item $\tan\left(45^\circ\right)$
\item $\cos\left(18^\circ\right)$
\item $\tan\left(30^\circ\right)$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\exercice %%%%%%%%%%%% 3

\`A l'aide de la calculatrice, donner l'arrondi au degré de l'angle \angle{ABC} tel que :

\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\cos\angle{ABC}=\dfrac{1}{7}$
\item $\sin\angle{ABC}=0,6$
\item $\tan\angle{ABC}=2$
\item $\cos\angle{ABC}=0,5$
\item $\sin\angle{ABC}=0,1234$
\item $\tan\angle{ABC}=0,75$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\exercice %%%%%%%%% 4

Le triangle ABC, rectangle en A, est tel que AB = 3 cm et AC = 7 cm.
\begin{enumerate}
\item Calculer une valeur approchée au centième de $\tan\angle{BCA}$.\\
En déduire une valeur approchée au degré de \angle{BCA}.

\item En déduire une valeur approchée de BC, puis une valeur approchée au centième de $\cos\angle{BCA}$.
\end{enumerate}

\exercice %%%%%%%%%%%%%%% 5

Soit ABC un triangle isocèle en A, et soit D le milieu de [BC]. On donne : BC = 6 cm et AD = 5 cm.

\medskip

En considérant le triangle ABD par exemple, déterminer la valeur approchée de \angle{ABC} arrondie au degré.

\exercice %%%%%%%%%%%%%%% 6

Dans un triangle ABC rectangle en A, on sait que $\cos\angle{BCA}=\dfrac{2}{9}$.\\
Calculer $\sin\angle{BCA}$.

\newpage

\exercice %%%%%%%%%%%%%%% 7

\begin{minipage}{9cm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below] {O} -- (3.2,0) node[below] {I} -- (8,0) node[below] {H} -- (8,3.5) node[above] {S} -- (0,0);
\draw (0.5,0) arc (0:25:0.5cm);
\draw (3.2,0) -- (8,3.5);
\draw (3.7,0) arc (0:34:0.5cm);
\node[right,scale=0.8] at (0.5,0.15) {$25^\circ$};
\node[right] at (3.7,0.25) {$34^\circ$};
\draw (7.5,0) -- (7.5,0.5) -- (8,0.5);
\draw[<->,>=stealth'] (0,-0.5) -- (3.2,-0.5) node[midway,below] {64 m};
\draw[<->,>=stealth'] (3.2,-0.5) -- (8,-0.5) node[midway,below] {$x$};
\draw[<->,>=stealth'] (8.5,0) -- (8.5,3.5) node[midway,right] {$h$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-9.1cm}
\begin{enumerate}
\item Exprimer $\tan\angle{ISH}$. En déduire la distance $x$ en fonction de $h$.
\item Exprimer $\tan\angle{OSH}$. En déduire une autre expression de la distance $x$ en fonction de $h$.
\item En déduire $h$.
\end{enumerate}
\end{minipage}

\exercice[Extrait d'un sujet de Brevet] %%%%%%%%%%%% 8

Soient $\mathscr{C}$ un cercle de centre F et de diamètre AE = 6 cm et $\mathscr{C}^\prime$ un cercle de centre E et de rayon [AE].

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Placer sur le cercle $\mathscr{C}$ un point N tel que l'angle \angle{EAN} mesure $30^\circ$.
\item Quel est la nature du triangle ANE ?
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur NE.
\item Calculer la longueur AN. On donnera une valeur approchée à 0,1 près.
\end{enumerate}
\item La	droite (AN) coupe le cercle $\mathscr{C}^\prime$ en M.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (FN) et (EM) sont parallèles.
\item En déduire que N est le milieu de [AM].
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Construire la droite $d$ tangente en N au cercle $\mathscr{C}$.
\item Démontrer que les droites $d$ et (EM) sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Construire la droite $d'$ perpendiculaire à (EM) passant par M.
\item Que peut-on dire de la droite $d'$ par rapport au cercle $\mathscr{C}^\prime$ .
\item Démontrer que les droites $d$ et $d'$ sont parallèles.
\end{enumerate}
\item Les droites $d$ et (ME) se coupent en un point H.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'angle \angle{NMH} mesure $30^\circ$.
\item En utilisant le triangle NMH, calculer la valeur exacte de MH.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\correction %=============================================

\exercice %%% 1

\begin{enumerate}
\item On a: 
\[ \sin\angle{ONM}=\dfrac{OM}{MN} \qquad ; \qquad \cos\angle{ONM}=\dfrac{ON}{MN} \qquad ; \qquad \tan\angle{ONM}=\dfrac{OM}{ON}\]

\item On élève au carré dans les égalités précédentes :
\[ \left(\sin\angle{ONM}\right)^2=\dfrac{OM^2}{MN^2} \qquad ; \qquad \left(\cos\angle{ONM}\right)^2=\dfrac{ON^2}{MN^2}\]

\item On ajoute les résultats précédents :
\begin{align*} \left(\sin\angle{ONM}\right)^2+\left(\cos\angle{ONM}\right)^2 & =\dfrac{OM^2}{MN^2} +\dfrac{ON^2}{MN^2}\\
& = \dfrac{OM^2+ON^2}{MN^2}
\end{align*}

\item Le triangle MON est rectangle en O, donc d'après le théorème de Pythagore,
\[ MN^2=OM^2+ON^2\]
Donc, 
\[ \dfrac{OM^2+ON^2}{MN^2}=\dfrac{MN^2}{MN^2}=1\]
Ainsi, d'après la question 3, on a :
\[ \left(\sin\angle{ONM}\right)^2+\left(\cos\angle{ONM}\right)^2 =1\]
\end{enumerate}

\exercice %%%%%%%%%%% 2


\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\sin\left(36^\circ\right)\approx0,588$
\item $\sin\left(95^\circ\right)\approx0,996$
\item $\cos\left(74^\circ\right)\approx0,276$
\item $\tan\left(45^\circ\right)\approx1$
\item $\cos\left(18^\circ\right)\approx0,951$
\item $\tan\left(30^\circ\right)\approx0,557$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\exercice %%%%%%%%%%%% 3

\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\angle{ABC}=\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{7}\right)\approx82^\circ$
\item $\angle{ABC}=\sin^{-1}(0,6)\approx37^\circ$
\item $\angle{ABC}=\tan^{-1}(2)\approx63^\circ$
\item $\angle{ABC}=\cos^{-1}(0,5)=60$
\item $\angle{ABC}=\sin^{-1}(0,1234)\approx7^\circ$
\item $\angle{ABC}=\tan^{-1}(0,75)=\approx37^\circ$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\exercice %%%%%%%%%%%%% 4

\begin{enumerate}
\item Le triangle ABC est rectangle en A donc :
\[ \tan\angle{BCA}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{7}\]
On en déduit alors que 
\[ \angle{BCA}=\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{7}\right)\approx23^\circ\]
\item On sait que \[\cos\angle{BCA}=\dfrac{AC}{BC}\] donc 
\[ \cos\left(23^\circ\right)=\dfrac{7}{BC}\]
\`A l'aide des produits en croix, on déduit :
\[ BC=\dfrac{7}{\cos\left(23^\circ\right)}\approx7,6~\text{cm}\]
\end{enumerate}

\exercice %%%%%%%%%%%%%% 5

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\draw[dashed] (0,5) node[above] {A} -- (0,0) node[below] {D};
\draw (-3,0) node[below] {B} -- (3,0) node[below] {C} -- (0,5) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
On sait que :
\begin{itemize}
\item ABC est un triangle isocèle en A ;
\item D est le milieu de [BC].
\end{itemize}

Or, dans un triangle isocèle, la droite issue du sommet principale et passant par le milieu du c\^oté opposé est la médiatrice de ce dernier c\^oté.

\medskip

Ainsi, ADB est un triangle rectangle.

\medskip

Par conséquent, 
\[ \tan\angle{ABD}=\frac{AD}{BD}=\dfrac{5}{3}\]
d'où :
\[ \angle{ABC}=\angle{ABD}=\tan^{-1}\left(\frac{5}{3}\right)\approx59^\circ.\]
\end{minipage}

\exercice %%%%%%%%%%%% 6

On sait que $\cos\angle{BCA}=\dfrac{2}{9}$ et que :
\[ \left(\cos\angle{BCA}\right)^2+\left(\sin\angle{BCA}\right)^2=1\]
donc :
\[ \left(\frac{2}{9}\right)^2+\left(\sin\angle{BCA}\right)^2=1.\]
Ainsi, 
\[ \left(\sin\angle{BCA}\right)^2=1-\dfrac{4}{81}=\frac{77}{81}\]
et donc :
\[ \sin\angle{BCA}=\sqrt{\frac{77}{81}}.\]

\exercice %%%%%%%%%%%% 7

\begin{enumerate}
\item Le triangle ISH est rectangle en H donc :
\[ \tan\angle{ISH}=\dfrac{IH}{SH}\]
donc 
\[ \tan(90-34)=\dfrac{x}{h}.\]
En utilisant les produits en croix, on obtient :
\[ \boxed{x=h\times\tan(56^\circ)}\]

\item Le triangle OSH est rectangle en H donc :
\[ \tan\angle{OSH}=\dfrac{OH}{SH}\]
donc 
\[ \tan(90-25)=\dfrac{x+64}{h}.\]
En utilisant les produits en croix, on obtient :
\[ \boxed{x=h\times\tan(65^\circ)-64}\]

\item On déduit des deux questions :
\[ h\times\tan(65^\circ)-64=h\times\tan(56^\circ)\]
\[ h\times\tan(65^\circ)-h\times\tan(56^\circ)=64\]
\[ h\left(\tan(65^\circ)-\tan(56^\circ)\right)=64\]
\[h = \dfrac{64}{\tan(65^\circ)-\tan(56^\circ)}\]
\[\underline{h\approx96,68~\text{m}}\]
\end{enumerate}

\exercice %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 8

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item La figure est la suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (3,0) circle (3cm);
\draw (0,0) node[left] {A} -- (6,0) node[right] {E};
\node at (4,-3.5) {$\mathscr{C}$};
\node at (8,6) {$\mathscr{C}^\prime$};
\draw (3,0.1) -- (3,-0.1) node[below] {F};
\draw (6,0) circle (6cm);
\draw (0,0) -- (30:5.2cm) node[above] {N} -- (6,0);
\draw (30:5.2cm) -- (30:10.4cm) node[above] {M};
\draw[dashed] (3,0) -- (30:5.2cm);
\draw[dashed] (6,0) -- (30:10.4cm);
\draw (0.5,0) arc(0:30:0.5cm);
\node[right] at (15:0.5cm) {$30^\circ$};
\draw (1.7,4.4) node[above] {$d$} -- (11.5,-1.8);
\node at (7,1.3) {H};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\newpage

\item On sait que :

\begin{itemize}
\item $\text{N}\in\mathscr{C}$ ;
\item $[\text{AE}]$ est un diamètre de $\mathscr{C}$.
\end{itemize}

Or, 
\begin{quote}
\emph{Un triangle inscrit dans un cercle dont un c\^oté est un diamètre de ce cercle est rectangle}
\end{quote}

\underline{Ainsi, ANE est un triangle rectangle en N.}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item ANE est un triangle rectangle en E donc :
\[ \sin\angle{EAN}=\frac{NE}{AE}\]
soit :
\[ \sin\left(30^\circ\right)=\dfrac{NE}{6}.\]
On en déduit alors que :
\[ NE = 6\sin\left(30^\circ\right)\]
\[ \underline{NE = 3~\text{cm}.}\]

\item Le triangle ANE est rectangle en N donc :
\[ \cos\angle{EAN}=\frac{AN}{AE}\]
soit :
\[ \cos\left(30^\circ\right)=\frac{AN}{6}\]
d'où :
\[ AN=6\cos\left(30^\circ\right)\]
\[ \underline{AN\approx5,2~\text{cm}.}\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Dans le triangle AEM :
\begin{itemize}
\item $\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
\item $\dfrac{FN}{EM}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
\end{itemize}

Ainsi, $\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{FN}{EM}$ et donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, \underline{les droites (FN) et (EM) sont parallèles.}

\item Dans le triangle AME, 
\begin{itemize}
\item F est le milieu de [AE] ;
\item (FN) // (EM) ;
\item $\text{N}\in[AM]$.
\end{itemize}

Or,
\begin{quote}
\emph{Dans un triangle, la droite passant par le milieu d'un c\^oté et parallèle à un autre c\^oté coupe le troisième c\^oté en son milieu.}
\end{quote}

\underline{Ainsi, N est le milieu de [AM].}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Voir figure.
\item $d$ est, par définition d'une tangente à un cercle, perpendiculaire au rayon [FN].\\
De plus, (FN) et (EM) sont parallèles.

\medskip

Or, si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

\medskip

\underline{Ainsi, $d$ et (EM) sont perpendiculaires.}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Voir figure.
\item $d'$ étant perpendiculaire à un rayon de $\mathscr{C}^\prime$ (à savoir [EM]) et passant par un point de ce cercle (le point M), on peut dire que $d'$ est tangente à $\mathscr{C}^\prime$.
\item On sait que :
\begin{itemize}
\item $d\perp(EM)$
\item $d'\perp(EM)$
\end{itemize}

Or,
\begin{quote}
\emph{Si deux droites sont perpendiculaire à une m\^eme droite, alors elles sont parallèles.}
\end{quote}

\underline{Ainsi, $d$ et $d'$ sont parallèles.}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Le triangle EMA est isocèle en E car EA = EM = 6 cm.\\
Ainsi, \angle{EAN} et \angle{NMH} ont la m\^eme mesure.\\
\underline{Donc $\angle{NMH}=30^\circ$.}

\item Dans le triangle NMH rectangle en H :
\[ \cos\angle{NMH}=\dfrac{MH}{MN}\]
donc :
\[ MH = MN\times\cos\left(30^\circ\right).\]
Or, AN = MN car N est le milieu de [AM].\\
Ainsi, d'après la question 2.b,
\[ MH = \underbrace{6\times\cos\left(30^\circ\right)}_{=AN}\times\cos\left(30^\circ\right)\]
Or, $\cos\left(30^\circ\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. D'où :
\[ MH = 6\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\]
et donc :
\[ \underline{MH=4,5~\text{cm}.}\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}