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\begin{document}
\title{Les lunules d'Hippocrate}
\author{Stéphane PASQUET\\ \url{http://www.mathweb.fr}}
\maketitle

Soit ABC un triangle rectangle en A. On note $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$.\\
On construit alors le demi-cercle de diamètre [BC] passant par A, puis les demi-cercles de diamètres respectifs [AB] et [AC] extérieurs au triangle.\\
Exprimez, en fonction de $b$ et $c$ l'aire de la surface bleue (que l'on nomme \textit{Lunules d'Hippocrate)}).

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\clip (-2,4) rectangle +(7,-6.5);
\filldraw[draw=black,fill=blue!20] (0,1.5) circle (1.5cm);
\fill[white] (0,0) rectangle +(2,4);
\filldraw[draw=black,fill=blue!20] (2,0) circle (2cm);
\fill[white] (0,0) rectangle +(5,3);
\filldraw[draw=black,fill=white] (2,1.5) circle (2.5cm);
\fill[white] (0,3) -- (4,0) -- (7,0) -- (7,5.2) -- (0,5.2) -- cycle;
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (0,3) node[above left] {B} -- (4,0) node[below right] {C} -- cycle;
\draw (0,.25) -- (.25,.25) -- (.25,0);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Réponse.}

\medskip

L'aire des lunules d'Hippocrate se calcule en faisant : \[ \mathscr{A} = \mathscr{A}_1+\mathscr{A}_2-\mathscr{A}_3+\mathscr{A}_{ABC}\]
où :\\ \\
$\mathscr{A}_1$ représente l'aire du demi-disque de diamètre [AB], \\
$\mathscr{A}_2$ représente l'aire du demi-disque de diamètre [AC], \\
$\mathscr{A}_3$ représente l'aire du demi-disque de diamètre [BC] et\\
$\mathscr{A}_{ABC}$ représente l'aire du triangle ABC. 

\medskip

On a donc :

\[ \mathscr{A} = \pi\frac{c^2}{8} + \pi\frac{b^2}{8} - \pi\frac{a^2}{8} + \frac{bc}{2}\]

Or, d'après le théorème de Pythagore, $a^2=b^2+c^2$. D'où : \[ \boxed{\mathscr{A} = \frac{bc}{2}}\]
\end{document}
