\documentclass[12pt]{article}
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\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\title{Une distance sur une diagonale}
\author{Stéphane PASQUET\\ \url{http://www.mathweb.fr}}
\maketitle

Soit ABCD un rectangle.\\
On sait que (AE) et (CF) sont perpendiculaires à (BD), que $AB=36$ et $BC=27$. Calculez EF.

\begin{center}
\shorthandoff{!}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (a) at (0,0);
\coordinate (d) at (0,-4);
\coordinate (b) at (6,0);
\coordinate (c) at (6,-4);
\draw (0,0) node[above left] {A} -- (6,0) node[above right] {B} -- (6,-4) node[below right] {C} -- (0,-4) node[below left] {D} -- cycle;
\draw[red] (d) -- (b);
\draw[blue] (a) -- ($(d)!(a)!(b)$) node[below] {E};
\draw[blue] (c) -- ($(d)!(c)!(b)$) node[above] {F};
\end{tikzpicture}
\shorthandon{!}
\end{center}

\medskip

\textbf{Réponse.}

\medskip

Pour des raisons de symétries évidentes, $ED = FB$.\\
Le triangle ABD est rectangle en A donc, d'après le théorème de Pythagore, $BD^2 = AD^2 + AB^2$.\\
On a alors $BD^2 = 36^2 + 27^2 = \numprint{1296} + 729 = \numprint{2025}$. Donc $BD = 45$.

\medskip

De plus,

\begin{itemize}
\item Dans le triangle AED rectangle en E, nous avons : $AE^2 = AD^2 - ED^2$ d'après le théorème de Pythagore.
\item Dans le triangle AEB rectangle en E, nous avons : $AE^2 = AB^2 - EB^2$ d'après le théorème de Pythagore.
\end{itemize}
    

Or, $EB = 45 - ED$. Ainsi, en prenant les deux égalités ci-dessus et en remplaçant EB par $(45-ED)$, on a :

\[ AD^2 - ED^2 = AB^2 -(45-ED)^2 \]

\[ AD^2 - ED^2 = AB^2 - 45^2 + 90ED - ED^2 \]

\[ AD^2 = AB^2 - 45^2 + 90ED \]

\[ 27^2 = 36^2 - 45^2 + 90ED \]

\[ 729 = \numprint{1296} - \numprint{2025} + 90ED \]

\[ 90ED = 729 + \numprint{2025} - \numprint{1296} \]

\[ 90ED = \numprint{1458} \]

\[ ED = \frac{\numprint{1458}}{90} \]

Finalement, on obtient \underline{$ED = 16,2$}.
\end{document}
