\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{pas-math}
\usepackage[vmargin=1.5cm,rmargin=2cm,lmargin=1.5cm]{geometry}
\begin{document}
\chap[num=A,color=blue]{Médianes d'un triangle : concourance et aires}{Stéphane PASQUET, \today, \url{http://www.mathweb.fr}}

\itemclass{blue}
\begin{bclogo}[%
	couleur=blue!20,%
	couleurBord=blue!50!black,%
	arrondi=0.1,%
	logo=\bcquestion,%
	ombre=true,%
	couleurOmbre=blue!50!black!50,%
	blur,%
	barre=snake]{Intér\^ets de l'activité }
\begin{enumerate}
\item Revoir la géométrie du triangle
\item Démonstration d'une propriété sur les aires
\item Manipulations algébriques
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=act]
\emph{Dans toute cette activité, si XYZ est un triangle, on notera $\mathscr{A}_{\text{XYZ}}$ son aire.}
\begin{enumerate}
\item On considère un triangle quelconque ABC. Soit I le milieu de [BC].\\
Montrez que $\mathscr{A}_{\text{AIB}}=\mathscr{A}_{\text{AIC}}$.
\item Soient J et K les milieux respectifs de [AC] et [AB]. Soit G le point de concours de (AI), (BJ) et (CK).\\
Montrez que $\mathscr{A}_{\text{AKG}}=\mathscr{A}_{\text{AJG}}=\mathscr{A}_{\text{BGK}}=\mathscr{A}_{\text{BGI}}=\mathscr{A}_{\text{CGI}}=\mathscr{A}_{\text{CGJ}}$.
\item Déduisez-en que $\mathscr{A}_{\text{BAG}}=\mathscr{A}_{\text{BCG}}=\mathscr{A}_{\text{GAC}}$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{enumerate}
\item Considérons le triangle ABI :

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.65]
\clip (-4,-8) rectangle (5,1);
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(-3,-5){B}
\tkzDefPoint(4,-7){C}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzLabelPoint[above](A){A}
\tkzLabelPoint[left](B){B}
\tkzLabelPoint(C){C}
\tkzDefMidPoint(B,C)\tkzGetPoint{I}
\tkzDrawSegment(A,I)
\tkzLabelPoint[below](I){I}
\tkzDrawPolygon[line width=2pt,color=red](A,B,I)
\tkzDrawAltitude[dashed,color=red](B,I)(A)
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Son aire est donnée par la formule :
\[ \dfrac{b\times h}{2}\]
où $b$ représente par exemple BI et $h$ la hauteur relative à [BI] (donc issue de A) comme représentée sur la figure ci-contre.

\medskip

Donc $\mathscr{A}_{\text{ABI}}=\dfrac{\text{BI}\times h}{2}$.
\end{minipage}

Considérons maintenant le triangle ACI :

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.65]
\clip (-4,-8) rectangle (5,1);
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(-3,-5){B}
\tkzDefPoint(4,-7){C}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzLabelPoint[above](A){A}
\tkzLabelPoint[left](B){B}
\tkzLabelPoint(C){C}
\tkzDefMidPoint(B,C)\tkzGetPoint{I}
\tkzDrawSegment(A,I)
\tkzLabelPoint[below](I){I}
\tkzDrawPolygon[line width=2pt,color=red](A,C,I)
\tkzDrawAltitude[dashed,color=red](C,I)(A)
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
On a alors :

\[\mathscr{A}_{\text{ACI}}=\dfrac{\text{CI}\times h}{2}=\dfrac{\text{BI}\times h}{2}\]
car $\text{CI}=\text{BI}$.

\medskip

Finalement, on a bien $\mathscr{A}_{\text{ACI}}=\mathscr{A}_{\text{ABI}}$.
\end{minipage}

\newpage

\item On a la figure suivante :

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.65]
\clip (-4,-8) rectangle (5,1);
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(-3,-5){B}
\tkzDefPoint(4,-7){C}
\tkzLabelPoint[above](A){A}
\tkzLabelPoint[left](B){B}
\tkzLabelPoint(C){C}
\tkzDefMidPoint(B,C)\tkzGetPoint{I}
\tkzLabelPoint[below](I){I}
\tkzDefMidPoint(A,C)\tkzGetPoint{J}
\tkzLabelPoint[right](J){J}
\tkzDefMidPoint(B,A)\tkzGetPoint{K}
\tkzLabelPoint[left](K){K}
\tkzInterLL(C,K)(A,I)\tkzGetPoint{G}
\tkzFillPolygon[fill=blue!50](A,K,G)
\tkzFillPolygon[fill=blue](B,K,G)
\tkzFillPolygon[fill=red!50](A,J,G)
\tkzFillPolygon[fill=red](C,G,J)
\tkzFillPolygon[fill=green!50](B,G,I)
\tkzFillPolygon[fill=green!50!black](C,G,I)
\tkzDrawPoint(G)
\tkzLabelPoint[below left](G){G}
\tkzDrawSegment(C,K)
\tkzDrawSegment(B,J)
\tkzDrawSegment(A,I)
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzDefBarycentricPoint(A=1,K=1,G=1) \tkzGetPoint{a}
\tkzDefBarycentricPoint(B=1,K=1,G=1) \tkzGetPoint{b}
\tkzDefBarycentricPoint(A=1,J=1,G=1) \tkzGetPoint{c}
\tkzDefBarycentricPoint(C=1,J=1,G=1) \tkzGetPoint{d}
\tkzDefBarycentricPoint(B=1,I=1,G=1) \tkzGetPoint{e}
\tkzDefBarycentricPoint(C=1,I=3,G=1) \tkzGetPoint{f}
\tkzLabelPoints[below](a,c,e)
\tkzLabelPoints[above,text=white](b,d,f)
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Posons :
\begin{itemize}
\item $\mathscr{A}_{\text{ABG}}=\textcolor{blue!50}{\mathscr{A}_{\text{AKG}}}+\textcolor{blue}{\mathscr{A}_{\text{BKG}}}=\textcolor{blue!50}{a}+\textcolor{blue}{b}$ ;
\item $\mathscr{A}_{\text{ACG}}=\textcolor{red!50}{\mathscr{A}_{\text{AJG}}}+\textcolor{red}{\mathscr{A}_{\text{CGJ}}}=\textcolor{red!50}{c}+\textcolor{red}{d}$ ;
\item $\mathscr{A}_{\text{BGC}}=\textcolor{green!50}{\mathscr{A}_{\text{BGI}}}+\textcolor{green!50!black}{\mathscr{A}_{\text{CGI}}}=\textcolor{green!50}{e}+\textcolor{green!50!black}{f}$.
\end{itemize}

De la question précédente, on sait que :

\begin{itemize}
\item $\mathscr{A}_{\text{ABI}}=\mathscr{A}_{\text{ACI}}$ donc $\pmb{a+b}+e=c+\pmb{d+f}$.
\item $\mathscr{A}_{\text{ABJ}}=\mathscr{A}_{\text{BCJ}}$ (car (BJ) est aussi une médiane) donc $\pmb{a+b}+c=\pmb{d+f}+e$.
\end{itemize}
De ces deux dernières égalités, on en déduit que $e=c$.
\end{minipage}

Par un raisonnement analogue, on peut ensuite démontrer que $a=f$ et $b=d$.

\medskip

De plus, (GK) est une médiane de ABG donc $a=b$.\\
De m\^eme, $c=d$ et $e=f$.\\
Finalement, on a $a=b=c=d=e=f$.

\item On déduit de la question précédente que $a+b=c+d=e+f$ donc $\mathscr{A}_{\text{BAG}}=\mathscr{A}_{\text{BCG}}=\mathscr{A}_{\text{GAC}}$.
\end{enumerate}
\end{document}