\documentclass[12pt]{book}
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\usepackage{cellspace}
\usepackage{numprint}
\begin{document}
\chapter*{Proportionnalité}

\exercice % 1

\begin{enumerate}
\item Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ? Justifiez.\\
Si c'est un tableau de proportionnalité, quel est le coefficient de proportionnalité pour passer de la première ligne à la seconde ?

\begin{center}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
2 & 3,5 & 4 & 5 & 7,5\\
\hline
3,28 & 5,74 & 6,56 & 8,2 & 12,3\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ? Justifiez.

\begin{center}
\begin{tabular}{|*4{c|}}
\hline
5 & 12 & 20 & 35\\
\hline
15 & 36 & 60 & 100\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\exercice % 2

Dans un collège de 360 élèves, 15\% des élèves sont en troisième.

\begin{enumerate}
\item Calculez le nombre d'élèves qui sont en troisième.
\item 108 élèves de ce collège sont en cinquième. Calculez le pourcentage que représentent les élèves de cinquième par rapport à l'ensemble du collège.
\item  On sait que 20\% des élèves de quatrième viennent à pieds, ce qui représente 15 élèves. Combien d'élèves sont en quatrième ?
\item Combien d'élèves sont en sixième ? Quel pourcentage cela représente-t-il par rapport à tous les élèves du collège (vous arrondirez le résultat au centième) ?
\end{enumerate}

\exercice % 3

La hauteur de la tour Eiffel est de 324 mètres. La distance entre deux pieds est de 125 mètres.\\
Une représentation de la tour Eiffel a pour hauteur 20 cm.

\begin{enumerate}
\item Calculer l'échelle utilisée pour faire cette représentation.
\item Quelle est la longueur entre deux pieds de la tour Eiffel sur cette représentation (vous arrondirez le résultat au millimètre près) ?
\end{enumerate}

\exercice % 4

Une bouteille contient 70 cl de sirop de menthe. Il est écrit sur l'étiquette que l'on doit diluer le sirop avec 8 volumes d'eau, c'est-à-dire que les 70 cl doivent être dilués dans 560 cl d'eau.

\medskip

Sachant qu'un verre peut contenir 30 cl d'eau, en plus du sirop, quel volume de sirop doit-on diluer dans un tel verre ?

\newpage

\exercice % 5

\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{ArcDeTriomphe.png}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.7\textwidth}
\begin{enumerate}
\item L'Arc de Triomphe de l'Etoile (à Paris) a une hauteur de 50 mètres.\\
Sur la photo ci-contre, on suppose que sa hauteur est de 10 cm.

\medskip

Calculer l'échelle de cette photo.

\item Quelle serait la hauteur de la photo du Parthénon d'Athènes avec la même échelle sachant que sa hauteur réelle est à peu près 30 mètres ?
\end{enumerate}
\end{minipage}

\exercice % 6

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\includegraphics[scale=0.5]{plan.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Déterminer une valeur approchée (au kilomètre) de la distance Paris-Bordeaux \og à vol d'oiseau \fg{} (en ligne droite) sur le plan ci-contre.

\item Un avion vole à environ 900 km/h.\\
Combien de temps dure, en moyenne, le trajet Paris-Bordeaux en avion ?

\item L'avion part à 10 h 47 min. \`A quelle heure arrive-t-il ?
\end{enumerate}
\end{minipage}

%===================================================
%================ CORRECTION =======================
%===================================================

\correction

\exercice % 1

\begin{enumerate}
\item Pour vérifier si un tableau est un tableau de proportionnalité, on calcule les quotients des nombres de la seconde ligne par ceux de la première.

\begin{multicols}{5}
$\dfrac{3,28}{2}=1,64$\\
$\dfrac{5,74}{3,5}=1,64$\\
$\dfrac{6,56}{4}=1,64$\\
$\dfrac{8,2}{5}=1,64$\\
$\dfrac{7,5}{12,3}=1,64$\\
\end{multicols}

Tous les quotients sont égaux. Par conséquent, c'est un tableau de proportionnalité.\\
Le coefficient de proportionnalité pour passer de la première ligne à la seconde est égal à chaque quotient obtenu, donc à 1,64.

\item On calcule chacun des quotients :

\begin{multicols}{4}
$\dfrac{15}{5}=3$\\
$\dfrac{36}{12}=3$\\
$\dfrac{60}{20}=3$\\
$\dfrac{100}{35}\approx 2,88$
\end{multicols}

Tous les quotients ne sont pas égaux donc ce n'est pas un tableau de proportionnalité.
\end{enumerate}

\exercice % 2

\begin{enumerate}
\item Calculons le nombre d'élèves qui sont en troisième :

\medskip

\begin{minipage}{.4\textwidth}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
Nombres d'élèves & 15 & $x$ \\
\hline
Totaux & 100 & 360\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.6\textwidth}
$x=\dfrac{15\times 360}{100}=54$

\medskip

\underline{Il y a donc 54 élèves en troisième.}
\end{minipage}

\item Calculons le pourcentage d'élève en cinquième dans ce collège :

\medskip

\begin{minipage}{.4\textwidth}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
Nombres d'élèves & $x$ & 108 \\
\hline
Totaux & 100 & 360\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.6\textwidth}
$x=\dfrac{180\times 100}{360}=30$

\medskip

\underline{Il y a donc 30\% d'élèves en cinquième.}
\end{minipage}

\item Calculons le nombre d'élèves en quatrième.

\medskip

\begin{minipage}{.4\textwidth}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
Nombres d'élèves & 20 & 15 \\
\hline
Totaux & 100 & $x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.6\textwidth}
$x=\dfrac{15\times 100}{20}=75$

\medskip

\underline{Il y a donc 75 élèves en quatrième.}
\end{minipage}
\item Calculons le nombre d'élèves en sixième :

\medskip

$360-(54+108+75)=360-237=123$.

\medskip

\underline{Il y a donc 123 élèves en sixième.}


\medskip

Calculons le pourcentage que cela représente dans le collège :

\medskip

\begin{minipage}{.4\textwidth}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
Nombres d'élèves & $x$ & 123 \\
\hline
Totaux & 100 & 360\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.6\textwidth}
$x=\dfrac{123\times 100}{360}\approx 34,17$

\medskip

\underline{Il y a donc à peu près 34,17\% d'élèves en sixième.}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\exercice % 3

\begin{enumerate}
\item Calculons l'échelle de la représentation :

\[ e=\dfrac{20}{\numprint{32400}}=\dfrac{1}{\numprint{1620}} \]

\medskip

L'échelle utilisée est donc $\dfrac{1}{\numprint{1620}}$.

\item Calculons la longueur entre deux pieds sur la représentation :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
Longueurs sur la représentation (en cm)& 20 & $x$\\
\hline
Longueurs réelles (en cm) & \numprint{32400} & \numprint{12500}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

$x=\dfrac{20\times \numprint{12500}}{\numprint{32400}}\approx 7,7$

\medskip

\underline{Deux pieds sont donc distants d'à peu près 7,7 cm (77 mm) sur la représentation.}
\end{enumerate}

\exercice % 4

Calculons le volume de sirop à diluer dans 30 cl d'eau :

\medskip

\begin{minipage}{.5\textwidth}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
Volume d'eau (en cl) & 560 & 30 cl \\
\hline
Volume de sirop (en cl) & 70 cl & $x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5\textwidth}
$x=\dfrac{30\times 70}{560}=3,75$

\medskip

Il faut donc diluer 3,75 cl de sirop dans 30 cl d'eau.
\end{minipage}

\exercice % 5

\begin{enumerate}
\item L'échelle d'une représentation est donnée par la formule :

\[ e=\frac{\text{dimension sur le dessin}}{dimension réelle}\]
où les dimensions sont dans la même unité.

\medskip

50 mètres = $50 \times 100$ cm = \numprint{5000} cm. Donc :
\[ e=\frac{10}{\numprint{5000}}=\frac{1}{500}\]
L'échelle de cette photo est donc $\dfrac{1}{500}$.

\item Avec la même échelle, la hauteur du Parthénon d'Athènes, dont la hauteur réelle est \numprint{3000}~cm, sera :
\[ h=e\times \numprint{3000} =\frac{1}{500}\times \numprint{3000}=\frac{\numprint{3000}}{500}=\frac{30}{5}=6\]
\underline{Donc, sa hauteur sur une photo de même échelle, sera égale à 6 cm.}
\end{enumerate}

\newpage

\exercice % 6

\begin{enumerate}
\item Il faut ici mesurer la longueur du segment qui représente 100 km pour trouver l'échelle du plan : on trouve 2 cm.
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|}
\hline
\bfseries Longueurs sur le plan (en cm) & 2 & 10 \\
\hline
\bfseries Distances réelles (en km) & 100 & $x$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On a alors :
\[ x=\dfrac{100\times10}{2}=500 \]
\underline{Ainsi, la distance Bordeaux-Paris à vol d'oiseau est égale à 500 km.}

\item Complétons le tableau de proportionnalité suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|}
\hline
\bfseries Distances (en km) & 900 & 500 \\
\hline
\bfseries Durées (en min) & 60 & $x$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\[ x=\frac{60\times500}{900}\approx33\]
\underline{Il faut donc à peu près 33 minutes à un avion pour aller de Paris à Bordeaux.}

\item On effectue l'opération :
\begin{center}
\begin{tabular}{*5{Sc}}
& 10 & h & 47 & min\\
+ & & & 33 & min\\
\hline
& 11 & h & 20 & min
\end{tabular}
\end{center}

\underline{L'avion arrivera alors à 11 h 20 min.}
\end{enumerate}
\end{document}