\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}

\title{Simplifications de fractions}
\author{Stéphane PASQUET}
\date{\today}

\maketitle

\section*{Exemple}

On veut simplifier $\dfrac{252}{210}$. On regarde le numérateur et le dénominateur et on voit qu'on peut les diviser tous les deux par \og 2\fg. Donc on écrit :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
\node (deux) {
$\dfrac{252}{210}=\dfrac{252\textcolor{red}{\div 2}}{210\textcolor{red}{\div 2}}=\dfrac{126}{105}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On regarde maintenant la fraction $\dfrac{126}{105}$ : \og 126\fg\ est divisible par \og 2\fg\ mais pas 105. Donc on ne peut pas simplifier par \og 2\fg.\\
On passe donc à \og 3\fg\ et on remarque que $1+2+6=9$ donc que 126 est divisible par \og 3 \fg. De plus, $1+0+5=6$ donc 105 est aussi divisible par \og 3 \fg. Donc on écrit :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
\node (trois) {
$\dfrac{252}{210}=\dfrac{126}{105}=\dfrac{126\textcolor{red}{\div 3}}{105\textcolor{red}{\div 3}}=\dfrac{42}{35}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\og 42\fg\ est divisible par \og 3\fg\ (car $4+2=6$ et que \og 6\fg\ est dans la table de \og 3\fg) mais pas 35. On peut remarquer que \og 42\fg\ et \og 35\fg\ sont dans la table de \og 7\fg\ donc on peut écrire :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
\node (sept) {
$\dfrac{252}{210}=\dfrac{42}{35}=\dfrac{42\textcolor{red}{\div 7}}{35\textcolor{red}{\div 7}}=\dfrac{6}{5}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Comme \og 6\fg\ et \og 5\fg\ n'ont pas de diviseurs communs, la fraction $\dfrac{6}{5}$ est irréductible (on ne peut plus simplifier).

\medskip

On pourra écrire :

\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[every node/.style={inner xsep=10pt,outer ysep=5pt},remember picture]
\node (a) {$\dfrac{252}{210}$};
\node (b) at (a.east) {$=$};
\node (c) at (b.east) {$\dfrac{126}{105}$};
\node (d) at (c.east) {$=$};
\node (e) at (d.east) {$\dfrac{42}{35}$};
\node (f) at (e.east) {$=$};
\node (g) at (f.east) {$\dfrac{6}{5}$};

\draw[->,red] (a.north) to[bend left=30] (c.north);
\draw[->,red] (a.south) to[bend right=30] (c.south);

\draw[->,blue] (c.north) to[bend left=30] (e.north);
\draw[->,blue] (c.south) to[bend right=30] (e.south);

\draw[->,purple] (e.north) to[bend left=30] (g.north);
\draw[->,purple] (e.south) to[bend right=30] (g.south);

\node[above,red] at ($0.5*(a.north)+0.5*(c.north)$) {$\div 2$};
\node[below,red] at ($0.5*(a.south)+0.5*(c.south)$) {$\div 2$};

\node[above,blue] at ($0.5*(c.north)+0.5*(e.north)$) {$\div 3$};
\node[below,blue] at ($0.5*(c.south)+0.5*(e.south)$) {$\div 3$};

\node[above,purple] at ($0.5*(e.north)+0.5*(g.north)$) {$\div 7$};
\node[below,purple] at ($0.5*(e.south)+0.5*(g.south)$) {$\div 7$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.1\textwidth}
ou bien
\end{minipage}
\begin{minipage}{.4\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
\node (fin) {$\dfrac{252}{210}=\dfrac{6\textcolor{purple}{\times 7}\textcolor{blue}{\times 3}\textcolor{red}{\times 2}}{5\textcolor{purple}{\times 7}\textcolor{blue}{\times 3}\textcolor{red}{\times 2}}$};

\draw[->,overlay,purple,dashed,opacity=.5] (fin.80) to[bend right=10] (sept.335);
\draw[->,overlay,blue,dashed,opacity=.5] (fin.40) to[bend right=10] (trois.335);
\draw[->,overlay,red,dashed,opacity=.5] (fin.23) to[bend right=10] (deux.310);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\newpage

\section*{Exercices}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\dfrac{126}{216}=\dfrac{7}{12}$.
\item Montrer que $\dfrac{315}{465}=\dfrac{21}{31}$.
\end{enumerate}
\end{document}