\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\chap[num=A,color=blue]{Critères de divisibilité}{Stéphane PASQUET, \today, \url{http://www.mathweb.fr}}

\itemclass{blue}
\begin{bclogo}[%
	couleur=blue!20,%
	couleurBord=blue!50!black,%
	arrondi=0.1,%
	logo=\bcquestion,%
	ombre=true,%
	couleurOmbre=blue!50!black!50,%
	blur,%
	barre=snake]{Intér\^ets des activités}
\begin{enumerate}
\item Découvrir ce qu'est le générateur d'un nombre
\item Découvrir de nouveaux critères de divisibilité
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=act,name={Générateur d'un nombre entier}]
\begin{enumerate}
\item  Effectuez la division décimale de 1 par 7, puis donnez la période du quotient.
\item Multipliez le chiffre des unités de cette période par 7 (c'est-à-dire le nombre par lequel nous avons divisé 1 précédemment), puis ajoutez 1 au résultat. Divisez ensuite le tout par 10. Que trouvez-vous ?\\
Ce nombre est appelé le générateur de 7.
\item Pour trouver le générateur de 9, on prend le chiffre des unités de la période du quotient de 1 par 9, on multiplie ce chiffre par 9 puis on ajoute 1. Que trouve-t-on ?
\item Trouvez le générateur de 3.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{enumerate}
\item $1\div7=0,\underline{142857}142857142857\ldots$ La période de ce quotient est donc égale à 142857.
\item Le chiffre de la période du quotient est \og 7 \fg. On calcule donc :
\begin{itemize}
\item $7\times7=49$
\item $49+1=50$
\item $50\div10=5$.
\end{itemize}
Le générateur de 7 est donc égal à 5.
\item $1\div9=0,\underline{1}111\ldots$ donc la période du quotient est \og 1 \fg.\\
Le générateur de 9 est donc égal à : $(9\times1+1)\div10=1$.
\item $1\div3=0,\underline{3}333\ldots$ donc la période du quotient est \og 3 \fg.\\
Le générateur de 3 est donc égal à : $(3\times3+1)\div10=1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=act,name={Critère de divisibilité par 7}]
On souhaite savoir si \numprint{62699} est divisible par 7. Nous allons nous aider du générateur de 7 trouvé précédemment.

\begin{enumerate}
\item Calculez $\numprint{6269}+(9\times5)$ [on a enlevé à \numprint{62699} son chiffre des unités pour obtenir \numprint{6269} puis on a ajouté le produit du chiffre des unités par le générateur de 7].

\item Au résultat trouvé, faites la m\^eme chose (enlevez le chiffre des unités puis ajoutez le produit de ce chiffre par 5).

\item Continuez comme cela jusqu'à obtenir un nombre à 2 chiffres. Si le nombre final est un diviseur de 7, alors il en est de m\^eme pour \numprint{62699}.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{enumerate}
\item $\numprint{6269}+(9\times5)=\numprint{6314}$.
\item $631+(4\times5)=651$.
\item $65+(1\times5)=70$.\\
\og 70 \fg{} étant un multiple de 7 ($70=7\times10$), alors \numprint{62699} est aussi un multiple de 7 (il est divisible par 7).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=act,name={Critère de divisibilité par 3}]
\begin{enumerate}
\item  Expliquez, à la vue du générateur de 3 trouvé précédemment, comment on arrive au critère de divisibilité par 3 déjà connu (vous pouvez prendre un nombre quelconque pour exemple).
\item Que peut-on alors dire du critère de divisibilité par 9 à la vue du générateur de 9 ?
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{enumerate}
\item Nous allons prendre par exemple le nombre \numprint{3912}. Si on applique ce qui a été fait pour savoir s'il est divisible par 3, voilà ce que cela donne (on rappelle que le générateur de 3 est égal à 1) :

\begin{itemize}
\item $391 + (2\times1) = 391 + 2 = 393$.
\item $39 + (3\times 1) = 39 + 3 = 42$.
\item $4 + (2\times1) = 6$.
\end{itemize}

En définitive, nous avons effectué la somme $2 + 1 + 9 + 3 = 15$ et $1 + 5 = 6$.\\
C'est exactement le critère que nous avons vu en cours.

\item  Le générateur de 9 étant égal à 1, il va se passer la m\^eme chose que pour 3. Le critère de divisibilité par 9 est donc le m\^eme que celui par 3 à cela près que la somme finale doit \^etre multiple de 9.
\end{enumerate}

\begin{pasbox}[degrade,style=act,name={Critère de divisibilité par 11}]
Inspirez-vous de ce qui précède pour voir si \numprint{173624} est divisible par 11 ou pas.\\ Détaillez vos calculs.
\end{pasbox}

$1\div11=0,\underline{09}0909\ldots$ donc la période du quotient est \og 09 \fg.\\
Le générateur de 11 est donc : $(11\times9+1)\div10=10$.

\begin{itemize}
\item $\numprint{17362}+(4\times10)=\numprint{17402}$.
\item $\numprint{1740}+(2\times10)=\numprint{1760}$.
\item $176 + (0\times10) = 176$.
\item $17 + (6\times10) = 77$.
\end{itemize}

77 est divisible par 11 ($77=11\times7$) donc \numprint{173624} est aussi divisible par 11.
\end{document}