\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\chap[num=A,color=blue]{Divisions euclidiennes : le mystère des clés}{Stéphane PASQUET, \today, \url{http://www.mathweb.fr}}

\itemclass{blue}
\begin{bclogo}[%
	couleur=blue!20,%
	couleurBord=blue!50!black,%
	arrondi=0.1,%
	logo=\bcquestion,%
	ombre=true,%
	couleurOmbre=blue!50!black!50,%
	blur,%
	barre=snake]{Intér\^ets des activités}
\begin{enumerate}
\item Effectuer des divisions euclidiennes
\item Découvrir leur utilité en dans la vie quotidienne
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=act,name={Le numéro de sécurité sociale}]
La petite Zoé a pour numéro de sécurité sociale : 2 99 05 78 646 018 09.
\begin{itemize}
\item \og 2 \fg{}  signifie que c'est une fille (pour un garçon, on met un \og 1 \fg).
\item \og 99 \fg{} est les deux derniers chiffres de son année de naissance.
\item \og 05 \fg{} est le numéro du mois de sa naissance (ici, le cinquième mois est le mois de mai).
\item \og 78 \fg{} est le numéro du département où elle est née (elle est donc née dans les Yvelines).
\item \og 646 \fg{} est le code INSEE de la commune où elle est née (ici, c'est à Versailles).
\item \og 018 \fg{} signifie que c'est la 18\ieme{} naissance au cours du mois de sa naissance dans la commune où elle est née.
\item \og 09 \fg{} est ce que l'on appelle la \emph{clé} de son numéro de sécurité sociale.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item  Effectuez la division euclidienne de 2990578646018 par 97. Quel reste obtient-on ?
\item Soustrayez à 97 le reste obtenu. Qu'obtient-on ?\\
Comparez ce nombre à la clé.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{enumerate}
\item La division euclidienne est :
\begin{center}
\opidiv{2990578646018}{97}
\end{center}
\item $97-88=9$. On constate que le résultat est la clé de son numéro de sécurité sociale.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{pasbox}[degrade,style=act,name={\`A la banque}]
La petite Zoé accompagne son père à la banque afin que ce dernier ouvre un compte.\\
Le banquier lui donne alors un Relevé d'Identité Bancaire (RIB) où est inscrit : 18208 00003 01170928519 13.
\begin{itemize}
\item \og 18208 \fg{} correspond au code de la banque.
\item \og 00003 \fg{} correspond au code guichet.
\item \og 1170928519 \fg{} est le numéro du compte qu'a ouvert le père de Zoé.
\item \og 13 \fg{} est la clé du compte.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item  Effectuez la division euclidienne de 18208000030117092851900 par 97.
\item Enlevez à 97 le reste obtenu. Que constate-t-on  ?
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{enumerate}
\item La division euclidienne est :
\begin{center}
\opidiv{18208000030117092851900}{97}
\end{center}
\item $97-84=13$. On constate que le résultat est la clé du numéro de compte.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{pasbox}[degrade,style=act,name={Le numéro ISBN}]
La petite Zoé regarde un livre de son père. Elle y lit sur la deuxième page le numéro ISBN (International Standard Book Number) suivant : \textbf{2-9029-1825-9}.\\
C'est un nombre composé de 4 parties : 
\begin{itemize}
\item la première correspond à la zone linguistique : \og 2 \fg{} pour le français ; 
\item la deuxième indique l'éditeur ;
\item la troisième correspond au numéro d'ordre dans la production de l'éditeur ;
\item la dernière partie (chiffre ou lettre) correspond à la clé de contr\^ole.
\end{itemize}

Son père lui explique comment déterminer la clé :

\begin{enumerate}
\item Effectue le calcul : $(1\times2)+(2\times9)+(3\times0)+(4\times2)+\cdots+(9\times5)$.
\item Effectue ensuite la division euclidienne du résultat par 11. La clé est égale au reste de cette division.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{enumerate}
\item $(1\times2)+(2\times9)+(3\times0)+(4\times2)+(5\times9) +(6\times1)+(7\times8)+(8\times2)+(9\times5)=196$.

\item La division euclidienne de 196 par 11 est :
\begin{center}
\opidiv{196}{11}
\end{center}

Le reste est \og 9 \fg, ce qui correspond bien à la clé de contr\^ole.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=act,name={Les faux billets}]
Les billets en euro sont codés à l'aide d'une lettre et de onze chiffres. En remplaçant la lettre par son rang dans l'alphabet (1 pour A, 2 pour B, ...), on obtient un nombre dont le reste de la division euclidienne par 9 est toujours égal à 8 (sinon, c'est un faux billet !)

\medskip

La petite Zoé a trouvé le billet suivant sur la route :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{billet.jpg}
\end{center}

Est-il vrai ?
\end{pasbox}

\og U \fg{} correspond au nombre \og 21 \fg.\\
On doit donc effectuer la division euclidienne de 2113056999935 par 9.

\begin{center}
\opidiv{2113056999935}{9}
\end{center}

Le reste est bien égal à 8 donc le billet est vrai !
\end{document}