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\begin{document}
\chap[num={01},pos=right,color=purple]{Notations \& vocabulaire mathématiques}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\bigskip

Nous allons voir dans ce chapitre toutes les notations mathématiques importantes qui seront utilisées dans les cours à venir.

\section{Les intervalles : notation et schématisation}

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a<b$.

\begin{itemize}
\item On notera \intervFF{a}{b} l'ensemble des nombres compris entre $a$ et $b$. Ici, $a$ et $b$ sont \emph{compris} dans l'intervalle car les crochets sont dirigés vers l'intérieur.

On dira que \intervFF{a}{b} est un \definmot{intervalle fermé}. On représentera par exemple \intervFF{-3}{4} ainsi :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-5,0) -- (5,0);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
{
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\draw[very thick,red] (-3,0) -- (4,0);
\draw[very thick,red] (-2.9,0.2) -- (-3,0.2) -- (-3,-0.2) -- (-2.9,-0.2);
\draw[very thick,red] (3.9,0.2) -- (4,0.2) -- (4,-0.2) -- (3.9,-0.2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On notera \intervOO{a}{b} l'ensemble des nombres compris entre $a$ et $b$, avec $a$ et $b$ qui ne sont pas compris dans l'intervalle car les crochets sont dirigés vers l'extérieur.

On dira que \intervFF{a}{b} est un \definmot{intervalle ouvert}. On représentera par exemple \intervOO{-3}{4} ainsi :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-5,0) -- (5,0);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
{
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\draw[very thick,red] (-3,0) -- (4,0);
\draw[very thick,red] (-3.1,0.2) -- (-3,0.2) -- (-3,-0.2) -- (-3.1,-0.2);
\draw[very thick,red] (4.1,0.2) -- (4,0.2) -- (4,-0.2) -- (4.1,-0.2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On notera \intervOF{a}{b} l'ensemble des nombres compris entre $a$ et $b$, avec $a$ non compris dans l'intervalle (car le crochet est dirigé vers l'extérieur du c\^oté de $a$) et $b$ compris dans l'intervalle (car le crochet est dirigé vers l'intérieur du c\^oté de $b$).

On représentera par exemple \intervOF{-3}{4} ainsi :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-5,0) -- (5,0);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
{
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\draw[very thick,red] (-3,0) -- (4,0);
\draw[very thick,red] (-3.1,0.2) -- (-3,0.2) -- (-3,-0.2) -- (-3.1,-0.2);
\draw[very thick,red] (3.9,0.2) -- (4,0.2) -- (4,-0.2) -- (3.9,-0.2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On notera \intervFO{a}{b} l'ensemble des nombres compris entre $a$ et $b$, avec $a$ compris dans l'intervalle (car le crochet est dirigé vers l'intérieur du c\^oté de $a$) et $b$ non compris dans l'intervalle (car le crochet est dirigé vers l'extérieur du c\^oté de $b$).

On représentera par exemple \intervFO{-3}{4} ainsi :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-5,0) -- (5,0);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
{
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\draw[very thick,red] (-3,0) -- (4,0);
\draw[very thick,red] (-2.9,0.2) -- (-3,0.2) -- (-3,-0.2) -- (-2.9,-0.2);
\draw[very thick,red] (4.1,0.2) -- (4,0.2) -- (4,-0.2) -- (4.1,-0.2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}

\section{Symboles d'appartenance et encadrements}

\begin{itemize}
\item Pour écrire qu'un nombre $x$ appartient à un intervalle \intervFF{a}{b} , on écrira :
\[ x\in\intervFF{a}{b}.\]
Cela signifie que $x$ est compris entre $a$ et $b$ et on pourra donc l'écrire aussi :
\[ a \leqslant x \leqslant b.\]

\begin{attention}[0.6]
Les signes d'inégalité sont choisis en fonction du sens des crochets de l'intervalle :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[double distance=2pt,->] (0,0) node[left] {$x\in\intervFF{a}{b}$} -- (3,0) node[right] {$a\leqslant x\leqslant b$};
\draw[double distance=2pt,->] (0,-1) node[left] {$x\in\intervOO{a}{b}$} -- (3,-1) node[right] {$a< x < b$};
\draw[double distance=2pt,->] (0,-2) node[left] {$x\in\intervOF{a}{b}$} -- (3,-2) node[right] {$a< x\leqslant b$};
\draw[double distance=2pt,->] (0,-3) node[left] {$x\in\intervFO{a}{b}$} -- (3,-3) node[right] {$a\leqslant x< b$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{attention}

\item Pour écrire qu'un nombre $x$ n'appartient pas à un intervalle \intervFF{a}{b} , on écrira :
\[ x\notin\intervFF{a}{b}.\]
\end{itemize}

\section{Union et intersection d'intervalles}

\begin{itemize}
\item Pour écrire qu'un nombre $x$ appartient à un intervalle \intervFF{a}{b} \textbf{ou} à un intervalle \intervFF{c}{d}, on écrira :
\[ x\in\intervFF{a}{b}\cup\intervFF{c}{d}.\]
On représentera l'union ainsi :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-5,0) -- (5,0);
\draw[very thick,red] (-4,0) -- (-2.5,0);
\draw[very thick,red] (-3.9,0.2) -- (-4,0.2)  -- (-4,-0.2) node[below] {$a$}-- (-3.9,-0.2);
\draw[very thick,red] (-2.6,0.2) -- (-2.5,0.2) -- (-2.5,-0.2) node[below] {$b$} -- (-2.6,-0.2);
\draw[very thick,red] (0,0) -- (2.5,0);
\draw[very thick,red] (0.1,0.2) -- (0,0.2) -- (0,-0.2) node[below] {$c$} -- (0.1,-0.2);
\draw[very thick,red] (2.4,0.2) -- (2.5,0.2) -- (2.5,-0.2) node[below] {$d$}-- (2.4,-0.2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{attention}[0.6]
Si les deux intervalles se chevauchent,

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-2,0) -- (2,0) node[right] (d) {~~devient :};
\draw[very thick,red] (-1.5,0) -- (1,0);
\draw[very thick,red] (-1.4,0.2) -- (-1.5,0.2)  -- (-1.5,-0.2) node[below] {$a$}-- (-1.4,-0.2);
\draw[very thick,red] (0.9,0.2) -- (1,0.2) -- (1,-0.2) node[below] {$b$} -- (0.9,-0.2);
\draw[thick,blue] (-.5,0) -- (1.5,0);
\draw[thick,blue] (-.4,0.2) -- (-.5,0.2)  -- (-.5,-0.2) node[below] {$c$}-- (-.4,-0.2);
\draw[thick,blue] (1.4,0.2) -- (1.5,0.2) -- (1.5,-0.2) node[below] {$d$} -- (1.4,-0.2);
\draw[->] ($(d.east)+(1,0)$) -- ($(d.east)+(5,0)$);
\draw[very thick,purple] ($(d.east)+(1.5,0)$) -- ($(d.east)+(4.5,0)$);
\draw[very thick,purple] ($(d.east)+(1.6,0.2)$) -- ($(d.east)+(1.5,0.2)$)  -- ($(d.east)+(1.5,-0.2)$) node[below] {$a$}-- ($(d.east)+(1.6,-0.2)$);
\draw[very thick,purple] ($(d.east)+(4.4,0.2)$) -- ($(d.east)+(4.5,0.2)$)  -- ($(d.east)+(4.5,-0.2)$) node[below] {$d$}-- ($(d.east)+(4.4,-0.2)$);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Dans ce cas (et uniquement dans ce cas), $\intervFF{a}{b}\cup\intervFF{c}{d}=\intervFF{a}{d}$.
\end{attention}

\item Pour écrire qu'un nombre $x$ appartient à un intervalle \intervFF{a}{b} \textbf{et} à un intervalle \intervFF{c}{d}, on écrira :
\[ x\in\intervFF{a}{b}\cap\intervFF{c}{d}.\]

\begin{itemize}
\item Si les deux intervalles ne se chevauchent pas, l'intersection est \emph{vide} (n'existe pas).

On notera alors : \[ \intervFF{a}{b}\cap\intervFF{c}{d}=\varnothing.\]

\item Si les deux intervalles se chevauchent, l'intersection est l'ensemble en commun aux deux intervalles :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-2,0) -- (2,0) node[right] (d) {~~intersecion :};
\draw[very thick,red] (-1.5,0) -- (1,0);
\draw[very thick,red] (-1.4,0.2) -- (-1.5,0.2)  -- (-1.5,-0.2) node[below] {$a$}-- (-1.4,-0.2);
\draw[very thick,red] (0.9,0.2) -- (1,0.2) -- (1,-0.2) node[below] {$b$} -- (0.9,-0.2);
\draw[thick,blue] (-.5,0) -- (1.5,0);
\draw[thick,blue] (-.4,0.2) -- (-.5,0.2)  -- (-.5,-0.2) node[below] {$c$}-- (-.4,-0.2);
\draw[thick,blue] (1.4,0.2) -- (1.5,0.2) -- (1.5,-0.2) node[below] {$d$} -- (1.4,-0.2);
\draw[->] ($(d.east)+(1,0)$) -- ($(d.east)+(5,0)$);
\draw[very thick,purple] ($(d.east)+(2.5,0)$) -- ($(d.east)+(4,0)$);
\draw[very thick,purple] ($(d.east)+(2.6,0.2)$) -- ($(d.east)+(2.5,0.2)$)  -- ($(d.east)+(2.5,-0.2)$) node[below] {$c$}-- ($(d.east)+(2.6,-0.2)$);
\draw[very thick,purple] ($(d.east)+(3.9,0.2)$) -- ($(d.east)+(4,0.2)$)  -- ($(d.east)+(4,-0.2)$) node[below] {$b$}-- ($(d.east)+(3.9,-0.2)$);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{itemize}

\section{Inclusion}

Si un intervalle \intervFF{c}{d} est \emph{inclus} dans un autre intervalle \intervFF{a}{b}, on écrira :
\[ \intervFF{c}{d}\subset\intervFF{a}{b}.\]
Cela se schématise de la façon suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-2,0) -- (2,0);
\draw[very thick,red] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw[very thick,red] (-1.4,0.2) -- (-1.5,0.2)  -- (-1.5,-0.2) node[below] {$a$}-- (-1.4,-0.2);
\draw[very thick,blue] (0.9,0.2) -- (1,0.2) -- (1,-0.2) node[below] {$d$} -- (0.9,-0.2);
\draw[thick,blue] (-.5,0) -- (1,0);
\draw[thick,blue] (-.4,0.2) -- (-.5,0.2)  -- (-.5,-0.2) node[below] {$c$}-- (-.4,-0.2);
\draw[very thick,red] (1.4,0.2) -- (1.5,0.2) -- (1.5,-0.2) node[below] {$b$} -- (1.4,-0.2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{document}	